Giải tích 1 chương 4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến

iáo trình giải tích 1 đại học chương 4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến dành cho cao đẳng đại học, giáo trình này của hệ đại học giao thông vận tải hcm, các sinh viên trường khác có thể tham khảo, các chương khác sẽ được cập nhật thêm

Trang 1

Giải tích 1 – Chương 4 Trường ĐH GTVT TP.HCM

CHƯƠNG 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

4.1 Không gian  n

4.1.1 Định nghĩa không gian  n

Mỗi bộ có thứ tự gồm n số thực x( , ,x1 x n) được gọi là một điểm n chiều, các số x1, ,x gọi là tọa độ của điểm n x Tập hợp tất cả các điểm n chiều có thể có gọi là không gian n chiều, thường ký hiệu

Trang 2

Trong đó d được gọi là metric thông thường trên 2  n

Trong toàn bộ chương này, nếu không có thông tin gì thì metric

d được coi là metric thông thường trên  n

4.1.3 Hội tụ trong  n

Định nghĩa 1: Dãy điểm trong  n

Cho n dãy số thực  x k1 k, , x kn k Với mỗi k  , ta có một điểm x k (x k1, ,x kn) n Khi đó dãy  x k k

 được gọi là dãy điểm trong  n

Định nghĩa 2: Hội tụ trong  n

Ta nói dãy điểm  x k k hội tụ đến điểm x0 (x01, ,x0n) với metric d trên  khi n k  , ký hiệu là lim k 0

  , nếu và chỉ nếu dãy khoảng cách d x x hội tụ về 0 khi ( k, 0) k  

Định lý: Xét dãy điểm  x k k với x k (x k1, ,x kn) n và điểm

Trang 3

Trang 4

Trang 198

( , )

B x r E (hình 4.3) Tập hợp các điểm trong của E, ký hiệu là

0

E hay int( )E và gọi là phần trong của E

 xE được gọi là điểm cô lập của E nếu có r 0 thỏa

x   được gọi là điểm tụ của E nếu có dãy điểm

{ }x k k E\ { }x sao cho lim k

r  sao cho B x r( , )E Từ định nghĩa điểm trong, suy ra: mọi

điểm của E đều thuộc phần trong của nó, nghĩa là int( )E E

 Tập E được gọi là tập đóng trong  nếu các điểm biên của n E

đều thuộc E Vậy E đóng khi và chỉ khi EE

 Tập E được gọi là tập bị chặn trong  nếu có n r 0 sao cho

( , )

EB  r với  (0, , 0)  n

Trang 5

 Tập E được gọi là tập compact trong  nếu n E là tập đóng và bị chặn trong  n

Ví dụ 4.4 Hãy mô tả và biểu diễn hình học các quả cầu mở tâm

Trang 6

Trang 200

4.2 Hàm nhiều biến

4.2.1 Các định nghĩa hàm nhiều biến

Định nghĩa 1: định nghĩa hàm nhiều biến

Cho D (D  ) là một tập con của không gian  n

Một hàm giá trị thực f trên D là một quy tắc tương ứng mỗi phần tử ( , , x1 xn)  D với một số thực duy nhất, ký hiệu là :

Hình 4.8

Trang 7

Định nghĩa 2: Đồ thị, đường mức, đường biên của hàm hai biến

Cho hàm hai biến z f x y( , ) xác định trên miền D Tập hợp tất

cả các điểm ( , , ( , ))x y f x y trong không gian, với ( , )x y thuộc tập xác định của f , được gọi là đồ thị (the graph) của f Đồ thị của f cũng

được gọi là bề mặt (the surface) z f x y( , ), ký hiệu là:

TextStyle   FontFamily  "Times",

FontSize  13  , Boxed  False  ;

 4

 2 0 2 4 x

 4

 2

4 y

 2 0

2 z

 4

 2 0 2 x

Trang 8

Trang 202

4.2.2 Giới hạn của hàm hai biến

Định nghĩa 1: Định nghĩa về giới hạn hàm hai biến (Limits for functions of two variables)

Nếu giá trị của hàm f x y( , ) nằm tùy ý gần một số thực cố định L

với tất cả các điểm ( , )x y gần điểm ( ,x y từ bất kì hướng nào trong 0 0)tập xác định của f , ta nói rằng f dần tiến tới giới hạn L khi ( , )x y

dần tiến tới ( ,x y Ký hiệu giới hạn đó là: 0 0)

Định nghĩa 2: Định nghĩa chính xác về giới hạn hàm hai biến

Ta nói một hàm f x y( , ) dần tiến về giới hạn L khi ( , )x y dần tiến về ( ,x y , nếu với mọi 0 0)  0, tồn tại tương ứng số  0 sao cho tất cả ( , )x y trong tập xác định f ,

0 (xx (yy )  thì f x y( , )L 

Hình 4.10 Mô tả định nghĩa giới hạn hàm 2 biến

Định lý 1: Các tính chất của giới hạn của hàm hai biến

Giả sử

0 , 0 ) ( , )lim( ( , )

y

x y x f x y L

0 , 0 ) ( , )lim( ( , )

Trang 9

( , )lim

và nếu n chẵn, ta giả sử rằng L 0

Định lý 2: Định lí kẹp – The Sandwich Theorem

Cho ba hàm số f g h, , cùng xác định trên miền

Trang 10

4.2.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến

Định nghĩa: Hàm f x y( , ) là liên tục (continuous) tại điểm ( ,x y 0 0)nếu thỏa hai điều kiện sau:

Trang 11

1) Hàm f x y( , ) xác định trong một lân cận của điểm ( ,x y 0 0)

Định nghĩa về tính liên tục của hàm nhiều hơn hai biến được phát biểu tương tự

liên tục tại mọi điểm

( , )x y (0, 0) Tại ( , )x y (0, 0), theo ví dụ 4.9 thì không tồn tại giới hạn

4.3 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

4.3.1 Đạo hàm riêng (Partial Derivatives)

Cho hàm z f x y( , ) xác định trên miền D và (x0,y0)D Ta định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với x tại điểm ( ,x y chính là 0 0)đạo hàm thông thường của hàm f x y đối với ( , 0) x tại điểm xx0, và được ký hiệu là : f ( ,x y0 0)

Trang 12

(với điều kiện là giới hạn tồn tại)

2) Đạo hàm riêng của hàm f x y( , ) đối với y tại điểm ( ,x y là: 0 0)

Định nghĩa 2: Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

Đạo hàm riêng của hàm z f x( , ,1 x n) đối với x tại điểm 1

0( 01, , 0n)

0 0 1

h

f x f

M x

Định nghĩa tương tự cho đạo hàm riêng đối với các biến còn lại

Chú ý: Khi thực hành, chúng ta có thể áp dụng các quy tắc tính đạo

hàm của hàm một biến cho đạo hàm riêng khi coi các biến còn lại là hằng số

Ví dụ 4.11 Cho hàm số

,( , )

x



f y

Trang 13

Trong mathematica, khai báo hàm nhiều biến và tính đạo hàm

riêng như sau, chẳng hạn:

Trang 14

Lưu ý: Có thể giải bài toán trên theo một cách khác như sau:

Người ta chứng minh được công thức tìm hàm f x y( , ) khi biết các đạo hàm riêng của nó

/

( , )( , )

x y

Trang 15

x

4.3.2 Quy tắc xích (The chain rule)

Định lý 1: Quy tắc xích cho hàm một biến độc lập

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm đề cập đến một yếu tố biến thiên theo

thời điểm t của các điểm thuộc một đường cong Nếu wT x y z( , , ) là nhiệt độ tại mỗi điểm ( , , ) x y z thuộc đường cong C có phương trình tham số xx t y( ),  y t z( ), z t( ) thì hàm hợp wT x t y t z t ( ), ( ), ( )

thể hiện mối liên hệ nhiệt độ theo t dọc theo đường cong Đạo hàm

Trang 16

Trang 210

 ( ), ( ), ( )0 0 0 

M x t y t z t dọc theo đường cong

Ví dụ 4.15 Tính đạo hàm w t của mỗi hàm số sau đây bằng hai cách: /( )

(2 sin cos 2 sin )

vi Khi đó hàm w có các đạo hàm riêng tương ứng theo hai biến

độc lập r và s được xác định bởi các công thức:

Trang 17

2) Giả sử hàm w f x y z x( , , ), g r s y( , ), h r s z( , ), k r s( , ) là các hàm khả vi Khi đó hàm w có các đạo hàm riêng tương ứng

theo hai biến độc lập r và s được xác định bởi các công thức:

Trang 18

Trang 212

4.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng cấp hai của hàm f x y( , ) là đạo hàm riêng của các hàm số f x/, f Hàm hai biến y/ f x y( , ) có 4 đạo hàm riêng cấp 2 là:

2

/ / 2

sử dụng như nhau, biểu thức cuối là công thức tính Các đạo hàm hỗn hợp

// //

,

xy yx

f f được tính theo nguyên tắc “biến

ghi trước sẽ được tính đạo hàm trước” Định nghĩa tương tự cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn và đạo hàm riêng cấp cao của hàm n n ( 3) biến

Trang 19

Nhận xét: f xy//  f yx// 6x y z2 ,x y,

Ví dụ 4.19 Tính các đạo hàm z xy// , z , biết //yx

1 2

y x

Trang 20

Định lý: Định lý đạo hàm hỗn hợp – Mixed Derivative Theorem

Nếu hàm f x y( , ) và các đạo hàm riêng f x/,f y/,f xy//,f xác định yx//

khắp miền mở chứa điểm ( ,x y và liên tục tại 0 0) ( ,x y , khi đó: 0 0)

4.3.4 Hàm khả vi, vi phân toàn phần

Cho hàm hai biến z f x y( , ) xác định trên miền mở D   , và 2

điểm ( ,x y0 0)D

Định nghĩa 1: Cho x y, tương ứng các số gia  x, y sao cho

(x  x y,  y)D Khi đó số gia toàn phần (full increment) của

hàm f tại ( ,x y0 0)D ứng với  x, y được định nghĩa là:

Trang 21

Định lý 1: (điều kiện cần khả vi)

1) Nếu f x y( , ) khả vi tại ( ,x y thì nó liên tục tại đó 0 0)

2) Nếu f x y( , ) khả vi tại ( ,x y thì nó có các đạo hàm riêng tại 0 0)

Định lý 2: (điều kiện đủ khả vi)

Nếu các đạo hàm riêng f , f

x y

  liên tục tại ( ,x y thì hàm 0 0) fkhả vi tại ( ,x y 0 0)

Khi đó biểu thức số gia toàn phần sẽ là:

Trang 22

Trang 216

Định nghĩa 4: Hàm f được gọi là khả vi trên miền mở D nếu nó khả vi tại mọi điểm ( , )x y D, và nói rằng đồ thị của f là mặt trơn Biểu thức vi phân toàn phần tại điểm ( , )x y được viết ngắn gọn:

Định nghĩa 5: Vi phân toàn phần cấp 2 của hàm hai biến f x y( , )

Nếu df khả vi thì vi phân toàn phần của nó được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của hàm f , ký hiệu 2  

d f x y d df x y

Trang 23

Công thức tính vi phân toàn phần cấp hai của f x y( , ) như sau:

Trang 24

Định lý: (Công thức đạo hàm hàm ẩn 1 biến)

Giả sử hàm F x y( , ) thỏa các điều kiện sau:

1) F liên tục trong hình tròn mở B( ,x y0 0),r với  F x y( ,0 0) 0

2) Tồn tại các đạo hàm riêng F F liên tục trong x/, y/ B( ,x y0 0),r và /

Giải Ta có:

/ /

Trang 25

/ 2

Định nghĩa: Cho phương trình F x y z ( , , ) 0 (1), trong đó F x y z( , , )

là hàm ba biến xác định trong miền mở V  3 chứa điểm ( ,x y z0 0, 0)

và F x y z( ,0 0, 0)0 Giả thiết rằng với mỗi điểm ( , )x y B( ,x y0 0),

tồn tại duy nhất một zz x y( , ) sao cho x y z x y, , ( , )V và

F x y z x y  Khi đó hàm zz x y( , ) được gọi là hàm ẩn của

hai biến x y, xác định bởi phương trình (1)

Ví dụ 4.25 Phương trình x2y2z2  với 4 0 z 0 xác định duy nhất một hàm ẩn z 4x2y2

Định lý: (Công thức đạo hàm hàm ẩn 2 biến)

Giả sử hàm F x y z( , , ) thỏa các điều kiện sau:

1) F liên tục trong hình cầu mở B M r với ( 0, ) M x y z0( ,0 0, 0) và

/ /

x

F F

Trang 26

Trang 220

Tính các đạo hàm riêng z z /x, /y

Giải Ta có:

/ /

xz x

xz y

xz z

(0, 0, 0)(0, 0, 0)

y x

F F

4.3.6 Đạo hàm theo hướng và vector Gradient

a) Đạo hàm theo hướng (Directional Derivatives):

Cho hàm số f x y z( , , ) xác định trên miền D trong không gian

xyz

 chứa điểm M x y z0( ,0 0, 0)

Cho trước vector đơn vị l ( , , ),l l l1 2 3 l12l22l32 1

Qua điểm M ta dựng đường thẳng 0

Trang 27

Dọc theo đường thẳng ( )d , hàm f là hàm của một biến t , nghĩa

là s t( ) f x( 0l t y1 , 0l t z2 , 0l t3 ) Xét hai điểm M M trên 0, ( )d

tương ứng tại t 0 và th và xét tỷ số sai phân tại điểm M : 0

h





 là tốc độ biến thiên của hàm s t( ) tại t 0, và đây cũng chính là tốc độ biến thiên của hàm f x y z( , , ) tại điểm M theo hướng vector 0 l

Định nghĩa 1: (Đạo hàm theo hướng)

Đạo hàm của hàm f x y z( , , ) tại M x y z0( ,0 0, 0) theo hướng của vector đơn vị l( , , )l l l1 2 3

được ký hiệu và định nghĩa như sau:

0 0

nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn

Định lý 1: Nếu hàm f x y z( , , ) khả vi tại M x y z0( ,0 0, 0) thì tại đó hàm

f có đạo hàm theo mọi hướng l( , , )l l l1 2 3

Trang 28

Ví dụ 4.28 Cho hàm f x y z( , , )2x y ze x y Tính đạo hàm của f

tại điểm M0(1,1, 3) theo hướng vector v 2i  j2k

Trong đó: i(1, 0, 0),j (0,1, 0),k(0, 0,1)

tương ứng là các vector đơn vị theo các trục tọa độ 0 , 0x y và 0z

Giải Vector đơn vị theo hướng vector v

Định nghĩa 2: Vector gradient của f tại M ký hiệu 0 f M( 0) (đọc

là “del f ” ), hoặc là grad f M( 0)

và được định nghĩa như sau:

Trang 29

Ý nghĩa của vector gradient: f M( 0) cho biết phương theo nó tốc độ biến thiên của hàm f tại M có giá trị tuyệt đối cực đại, cụ thể : 0

 Hàm f tăng nhanh nhất khi cos1 hay  0 và l

z

f   y  f z/(M0) 2

Vector gradient của f tại điểm M là: 0

Trang 30

b) Hàm f tăng nhanh nhất theo hướng f M( 0)3i16j2k

Vector đơn vị theo hướng vector f M( 0) là:

0 0

c) Đạo hàm theo hướng, vector gradient đối với hàm hai biến:

Tương tự hàm ba biến, ta có các công thức sau đối với hàm

Trang 31

Trang 32

thỏa yêu cầu đó là:

4.4.1 Cực trị địa phương (Local extrema)

Định nghĩa 1: Cho f x y( , ) xác định trên miền D chứa điểm ( , )a b Khi đó:

1) f a b( , ) là giá trị cực đại địa phương (local maximum value)

của f nếu f a b( , ) f x y( , ) với mọi điểm ( , )x y của miền nằm trong một hình tròn mở tâm tại ( , )a b

2) f a b( , ) là giá trị cực tiểu địa phương (local minimum value)

của f nếu f a b( , ) f x y( , ) với mọi điểm ( , )x y của miền nằm trong một hình tròn mở tâm tại ( , )a b

Trang 33

Cực đại địa phương tương ứng

như các đỉnh núi của mặt z f x y( , )

và cực tiểu địa phương tương ứng

như các đáy thung lũng (hình 4.13)

Tại những điểm như thế mặt phẳng

tiếp xúc, khi đã tồn tại, phải nằm

ngang Cực đại và cực tiểu địa

phương được gọi chung là cực trị địa

phương, nó cũng được gọi là cực trị

tương đối (relative extrema) Cực trị

địa phương nếu không có gì nhầm lẫn

thì ta vẫn gọi là cực trị

Hình 4.13 Các điểm cực trị

Định nghĩa 2: (Cực trị địa phương cho hàm n biến)

Cho hàm f D : n  , P là một điểm trong của D

1) f P( ) là giá trị cực đại địa phương của f nếu có r 0 sao cho

Định lý 1: (Định lý Fermat – điều kiện cần của cực trị)

Nếu f x y( , ) có giá trị cực trị địa phương tại điểm trong ( , )a b

trong miền xác định của nó và nếu các đạo hàm riêng cấp một tại đó tồn tại, thì f x/( , )a b 0 và f y/( , )a b  0

Trang 34

x y

2) Điểm dừng của hàm f và điểm trong của miền D mà tại đó có

ít nhất một đạo hàm riêng cấp một f x/,f không tồn tại được y/

gọi là điểm tới hạn của hàm f

3) Điểm a b f a b trên mặt cong , , ( , ) z f x y( , ) được gọi là điểm yên ngựa của mặt nếu ( , )a b là điểm tới hạn của f và f

không đạt cực trị tại đó, nghĩa là trong mỗi hình trònmở tâm tại

( , )a b luôn có miền chứa các điểm ( , )x y thỏa f x y( , ) f a b( , )

và có miền chứa các điểm ( , )x y thỏa f x y( , ) f a b( , )

Ví dụ 4.31 Tìm các điểm tới hạn của hàm số

Các đạo hàm riêng này luôn tồn tại ở mọi điểm ( , )x y (0, 0), và

nó không tồn tại khi ( , )x y (0, 0)

Tiêu đề	Chương 4 Phép Tính Vi Phân Hàm Nhiều Biến
Trường học	Trường ĐH GTVT TP.HCM

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	1,44 MB