TỔNG hợp các DAO ĐỘNG điều HOÀ

Tổng hợp dao động điều hòa Xét một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có có biểu thức là.. Ví dụ điển hình phương pháp truyền thống Ví dụ 1: Mộ

TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

1 Tổng hợp dao động điều hòa

Xét một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có

có biểu thức là Trong đó:

Đặc điểm: - Biên độ dao động tổng hợp A luôn thỏa mãn :

- Độ lệch pha φ thỏa mãn:

2 Độ lệch pha của hai dao động và ứng dụng

a Khái niệm:

Độ lệch pha của hai dao động là hiệu hai pha của hai dao động đó và được kí hiệu là Δφ, được tính theo biểu thức Δφ = φ2 - φ1 hoặc Δφ = φ1 - φ2

b Một số các trường hợp đặc biệt:

• Khi Δφ = k2π thì hai dao động cùng pha: A = Amax = A1 + A2

• Khi Δφ = (2k + 1)π thì hai dao động ngược pha: A = Amin = |A2 - A1|

• Khi thì hai dao động vuông pha:

* Chú ý :

- Khi hai phương trình dao động chưa có cùng dạng (cùng dạng sin hoặc cùng dạng cosin) thì ta

phải sử dụng công thức lượng giác để đưa về cùng dạng Cụ thể ;

, hay để đơn giản dễ nhớ: khi chuyển phương trình sin về cosin ta bớt đi

còn đưa từ dạng cosin về sin ta thêm vào

- Khi hai dao động thành phần có cùng pha ban đầu φ1 = φ2 = φ hoặc có cùng biên độ dao động A1 = A2 = A thì ta có thể sử dụng ngay công thức lượng giác để tổng hợp dao động Cụ thể:

•

•

3 Ví dụ điển hình phương pháp truyền thống

Ví dụ 1: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có

phương trình lần lượt là :

x = πt−π cm x = πt+π cm

a Viết phương trình của dao động tổng hợp

b Vật có khối lượng là m = 100g, tính năng lượng dao động của vật

c Tính tốc độ của vật tại thời điểm t = 2s

Hướng dẫn giải:

a Ta chuyển x2 về dạng phương trình cosin để tổng hợp:

Khi đó hai dao động thành phần có cùng pha ban đầu, áp dụng chú ý ta được:

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là:

b Từ phương trình dao động tổng hợp ở câu a ta có A = 3cm; ω = 100π (rad/s)

Năng lượng dao động là:

c Từ phương trình dao động:

Tại t = 2s ta được:

Ví dụ 2: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có

đại của vật trong quá trình dao động là vmax = 140 (cm/s) Tính biên độ dao động A1 của vật

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Mà:

Giải phương trình ta được hai nghiệm là A1 = 8(cm) và A1 = -5 (cm)

Loại nghiệm âm ta được A1 = 8(cm)

4 PHƯƠNG PHÁP: Dùng máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus hoặc CASIO fx –

570MS.

a Cơ sở lý thuyết :

+Dao động điều hoà  x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay

ur

A

có độ dài

là biên độ A và tạo với trục hoành một góc ϕ Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới

dạng: z = a + bi

+Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ +i cosϕ) (với môđun: A=

2 2

a +b

) hay Z = Aej( ω t + ϕ ).

+Vì các dao động có cùng tần số góc ω nên thường viết quy ước z = Ae Jϕ, trong máy CASIO

fx- 570ES kí hiệu dưới dạng là: r ∠ θ (ta hiểu là: A ∠ ϕ).

+Đặc biệt giác số ϕ trong phạm vi : -1800< ϕ < 1800 hay -π<ϕ < π rất phù hợp với bài toán

tổng hợp dao động trên Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số bằng

phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng các số phức biểu diễn của các dao động đó

b.Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx – 570ES, 570ES Plus

Các bước Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết quả

Cài đặt ban đầu (Reset all): Bấm: SHIFT 9 3 = = Reset all

Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math.

Thực hiện phép tính về số phức Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX Dạng toạ độ cực: r (ta hiểu:A) Bấm: SHIFT MODE  3 2 Hiển thị số phức kiểu r  Tính dạng toạ độ đề các: a + ib Bấm: SHIFT MODE  3 1 Hiển thị số phức kiểu a+bi Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R

Để nhập ký hiệu góc  Bấm SHIFT (-) Màn hình hiển thị ký hiệu 

Ví dụ: Cách nhập: Máy tính CASIO fx – 570ES

Cho: x= 8cos(ωt+ π/3) sẽ được biểu diễn với số phức 8∠ 60 0 hay 8∠π /3 ta làm như sau:

-Chọn mode: Bấm máy: MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX

-Chọn đơn vị đo góc là độ (D) ta bấm: SHIFT MODE 3 trên màn hình hiển thị chữ D

-Nhập máy: 8 SHIFT (-) 60 sẽ hiển thị là: 8∠ 60

-Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R

Bấm: MODE 2 xuất hiện chữ CMPLX

-Nhập máy: 8 SHIFT (-) (π:3 sẽ hiển thị là: 8∠

1 π 3

Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad

nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang đơn vị rad

cho những bài toán theo đơn vị rad (Vì nhập theo đơn vị

rad phải có dấu ngoặc đơn ‘(‘‘)’nên thao tác nhập lâu hơn,

ví dụ: Nhập 90 độ thì nhanh hơn nhập (π/2)

Bảng chuyển đổi đơn vị góc: ϕ(Rad)=

φ(D).π 180

Đơn vị

Đơn vị

π 12

1 π 6

1 π 4

1 π 3

5 π 12

1 π 2

7 π 12

2 π 3

9 π 12

5 π 6

11 π 12

c.Lưu ý :Khi thực hiện phép tính kết quả được hiển thị dạng đại số : a +bi (hoặc dạng cực:

A∠ ϕ )

-Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A∠ ϕ , bấm SHIFT 2 3 =

Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 ->Nếu hiển thị: 4+ 4

3

i Ta bấm SHIFT 2 3 = kết quả: 8∠

1

π

3

-Chuyển từ dạng A∠ ϕ sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =

Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 -> Nếu hiển thị: 8∠

1 π 3

, ta bấm SHIFT 2 4 =  kết quả : 4+4

3

i

Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên

Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ )

Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi )

( đang thực hiện phép tính )

d Tìm dao động tổng hợp xác định A và ϕ bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng :

+Với máy FX570ES: Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.

-Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D

(hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )

-Nhập A1 SHIFT (-) φ1, + Nhập A2 SHIFT (-) φ2 nhấn = hiển thịkết quả

(Nếu hiển thị số phức dạng: a+bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả: A∠ϕ )

+Với máy FX570MS : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.

Nhập A1SHIFT (-) φ1 + Nhập A2 SHIFT (-) φ2 =

Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A SHIFT = hiển thị kết quả là: φ

+Lưu ý Chế độ hiển thị màn hình kết quả:

Sau khi nhập ta ấn dấu = có thể hiển thị kết quả dưới dạng số vô tỉ, muốn kết quả dưới dạng

thập phân ta ấn SHIFT = (hoặc dùng phím SD ) để chuyển đổi kết quả Hiển thị.

e.Các ví dụ:

Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có

phương trình:

x1 = 5cos(π

t +π

/3) (cm); x2 = 5cosπ

t (cm) Dao động tổng hợp của vật có phương trình

A x = 5 3cos(π

t -π /4 ) (cm) B.x = 5 3cos(π

t + π /6) (cm)

C x = 5cos(π

t + π

t - π /3) (cm) Đáp

án B

Phương pháp truyền thống Phương pháp dùng số phức

Biên độ:

Pha ban đầu : tan  =

Thế số:(Bấm máy tính)

A=

2 2

5 + +5 2.5.5.cos( / 3) 5 3π =

(cm) tan  =

5.sin( / 3) 5.sin 0 5 3 / 2 3

1 5cos( / 3) 5.cos 0 5. 1 3

2

π π

=>

 = /6 Vậy :x = 5

3 cos(π

t + π /6) (cm)

Giải 1: Máy FX570ES: Bấm: MODE 2

-Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT MODE 3

Nhập: 5 SHIFT (-) (60) + 5 SHIFT (-)  0 = Hiển thị kết quả: 5

3

30 Vậy :x = 5

3 cos(π

t + π /6) (cm) (Nếu Hiển thị dạng đề các:

15 5 3

2 + 2 i

thì

Bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 5

3

30 ) Chọn B

Giải 2: khi dùng đơn vị đo góc là Rad ( R): SHIFT MODE 4 Bấm MODE 2 xuất hiện:

CMPLX.

Tìm dao động tổng hợp:

2 2

1 1

2 2 1 1

cos cos

sin

sin

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

A A

A A

+ +

Nhập: 5 SHIFT (-).∠ (π/3) + 5 SHIFT (-)∠ 0 = Hiển thị: 5

3

∠

1 π 6 Hay:x = 5

3 cos(π

t + π /6) (cm)

Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương

trình:

x1 = √3cos(ωt + π/2) cm, x2 = cos(ωt + π) cm Phương trình dao động tổng hợp:

A x = 2cos(ωt - π/3) cm B x = 2cos(ωt + 2π/3)cm C x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D x = 2cos(ωt

- π/6) cm

Cách 1:

2

3 sin 1.sin

2

ϕ ϕ

π

π











Đáp án B

Cách 2: Dùng máy tính FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện : CMPLX

Chọn chế độ máy tính theo độ: SHIFT MODE 3

Tìm dao động tổng hợp: Nhập:

3  SHIFT (-).∠ (90) + 1 SHIFT (-) ∠ 180 = Hiển thị:2∠120

Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương

trình:

x1 = √3cos(ωt - π/2) cm, x2 = cos(ωt) cm Phương trình dao động tổng hợp:

A x = 2cos(ωt - π/3) cm B.x = 2cos(ωt + 2π/3)cm C.x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D.x = 2cos(ωt

- π/6) cm

Cách 1:

2

3 sin 1.sin 0

2

A co A co

ϕ ϕ

π

π









Đáp án A

Cách 2: Dùng máy tính FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Chọn chế độ máy tính theo radian(R): SHIFT MODE 4

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy:

3  SHIFT (-).∠ (-π/2) + 1 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị:2∠-π/3

Ví dụ 4: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao động: x1= 2

3

cos(2πt +3

π ) cm, x2 = 4cos (2πt +6

π ) cm ;x3= 8cos (2πt -2

π

) cm Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao động lần lượt là:

A 12πcm/s và 6

π

− rad B 12πcm/s và 3

π

rad C 16πcm/s và6

π

rad D 16πcm/s và 6

π

− rad

HD: Cách 1: Tổng hợp x2 vµ x3 có:

π+ −π

π+ −π

4 sin 8sin

3

4 cos 8cos

π

2 2

3

Tổng hợp x23 vµ x1 có:

π+ −π

π+ −π

2 3 sin 4 3 sin

1

tan

3

2 3 cos 4 3 cos

Đáp án A

( ) ( )

( )

Cách 2: Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 ; Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT MODE 3

Nhập: 2

3

 SHIFT (-)∠ 60 + 4 SHIFT (-)∠ 30 + 8 SHIFT (-)∠ -90 = Hiển thị kết quả:

6∠-30

( Nếu hiển thị dạng : 3

3 -3i thì bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 6 ∠-30 ) => vmax= Aω =12π (cm/s) ; ϕ=π/6

Ví dụ 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số

x1= cos(2πt + π)(cm), x2 =

3 cos(2πt - π/2)(cm) Phương trình của dao động tổng hợp

A x = 2.cos(2πt - 2π/3) (cm) B x = 4.cos(2πt + π/3) (cm)

C x = 2.cos(2πt + π/3) (cm) D x = 4.cos(2πt + 4π/3) (cm)

Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Chọn đơn vị đo góc là rad ( R): SHIFT MODE 4

-Nhập máy: 1 SHIFT(-) ∠π +

3

 SHIFT(-) ∠ (-π/2 = Hiển thị 2∠

-2 π 3 Đáp án A

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox có li độ

) ( ) 2 2 cos(

3

4 ) )(

6 2

cos(

3

4

cm t

cm t

Biên độ và pha ban đầu của dao động là:

A

3

;

4cm π rad

B

6

;

2 cm π rad

C

6

; 3

4 cm π rad

D

3

; 3

8

rad

cm π

Đáp án A

Giải 1: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Chọn đơn vị đo góc là radian( R): SHIFT MODE 4

Nhập máy:

4

3> >

SHIFT (-) ∠ (π/6) +

4

3> >

SHIFT (-) ∠ (π/2 = Hiển thị: 4 ∠

1 π 3

Giải 2: Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3

Nhập máy:

4

3> >

SHIFT (-) ∠ 30 +

4

3> >

SHIFT (-) ∠ 90 = Hiển thị: 4 ∠ 60

Ví dụ 7: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1= 4 cos(πt - π/2) (cm) , x2= 6cos(πt +π/2) (cm) và x3=2cos(πt) (cm) Dao động tổng hợp của 3 dao động này có biên độ và pha ban đầu là

A 2 2cm; π/4 rad B 2

3 cm; - π/4 rad C.12cm; + π/2 rad D.8cm; - π/2 rad

Giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Chọn đơn vị góc tính rad (R) SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy:

4 SHIFT(-)∠ (- π/2) + 6 SHIFT(-)∠ (π/2) + 2 SHIFT(-)∠ 0 = Hiển thị: 2 2∠π/4 Chọn A

Ví dụ 8: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

x1= a 2cos(πt+π/4)(cm) và x2 = a.cos(πt + π) (cm) có phương trình dao động tổng hợp là

A x = a 2cos(πt +2π/3)(cm) B x = a.cos(πt +π/2)(cm)

C x = 3a/2.cos(πt +π/4)(cm) D x = 2a/3.cos(πt +π/6)(cm) Chọn B

Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

chọn đơn vị góc tính theo độ ( D) Bấm : SHIFT MODE 3 ( Lưu ý : Không nhập a)

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 2  SHIFT(-)∠45 + 1 SHIFT(-)∠180 = Hiển thị: 1∠

90,

5.

Tìm dao động thành phần ( xác định A2 và ϕ 2 ) dùng máy tính thực hiện phép trừ :

Ví dụ tìm dao động thành phần x 2 : x 2 =x - x 1 với: x 2 = A 2 cos(ωt + ϕ2 )

Xác định A 2 và ϕ2 ?

a.Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

-Chọn đơn vị đo góc là độ ta bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D

(hoặc Chọn đơn vị đo góc là Radian ta bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )

Nhập A SHIFT (-) nhập φ; bấm - (trừ), Nhập A1 SHIFT (-) nhập φ1 , nhấn =kết quả.

(Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả trên màn hình là: A 2 ∠ ϕ 2 b.Với máy FX570MS : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ ;bấm - (trừ), Nhập A1 , bấm SHIFT (-) nhập φ1 nhấn =

Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A 2 bấm SHIFT = hiển thị kết quả là: φ 2 c.Các ví dụ :

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp x=5 2

cos(πt+5π/12)(cm) với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là x1=A 1cos(πt +

ϕ1) và x2=5cos(πt+π/6)(cm), Biên độ và pha ban đầu của dao động 1 là:

A 5cm; ϕ1 = 2π/3 B.10cm; ϕ1= π/2 C.5 2(cm) ϕ1 = π/4 D 5cm; ϕ1=

π/3

Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

-Chọn đơn vị đo góc là rad (R ): SHIFT MODE 4 Tìm dao động thành phần:

Nhập máy : 5 2 SHIFT(-) ∠ (5π/12) – 5 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 5∠

2 π 3 , chọn A

Ví dụ 2: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao

động: x1 = 2

3 cos(2πt + π/3) (cm), x2 = 4cos(2πt +π/6) (cm) và x2 = A 3cos(πt + ϕ 3) (cm) Phương trình dao động tổng hợp có dạng x = 6cos(2πt - π/6) (cm) Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:

A 8cm và - π/2 B 6cm và π/3 C 8cm và π/6 D 8cm và π/2 Chọn A

Giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Chọn đơn vị đo góc là rad ( R) SHIFT MODE 4 Tìm dao động thành phần thứ 3: x3 = x - x 1 –x 2

Nhập: 6 SHIFT(-) ∠ (-π/6) - 2

3

 SHIFT(-) ∠ (π/3) - 4 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 8∠ -1

π

2

6 BÀI TẬP TỔNG HỢP:

Bài 1 Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

có các phương trình là: (cm) và x2 = 3cos(10t + ) (cm) Xác định vận tốc

cực đại và gia tốc cực đại của vật

1

4 π

Hướng dẫn giải:

 vmax = ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; amax = ωA = 500 cm/s2 = 5 m/s2

Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

chọn đơn vị góc tính theo độ ( D) Bấm : SHIFT MODE 3

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 4  SHIFT(-)∠45 + 3 SHIFT(-)∠135 = Hiển thị: 5∠ 81,869,

Suy ra A = 5cm  vmax = ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; amax = ωA = 500 cm/s2 = 5 m/s2

Bài 2 Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5 cos(6πt

+ ) (cm) Dao động thứ nhất có biểu thức là x1 = 5cos(6πt + ) (cm) Tìm biểu thức của dao

động thứ hai

Hướng dẫn giải:

Vậy: x2 = 5cos(6πt + )(cm)

Cách 2: Máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX, SHIFT MODE 4

màn hình xuất hiện(R ): Chọn đơn vị đo góc là rad Tìm dao động thành phần thứ 2: x 2 = x - x 1

Nhập: 5

3

 SHIFT(-) ∠ (π/2) - 5 SHIFT(-) ∠ (π/3 = Hiển thị: 5∠

2 π 3 => x2 = 5cos(6πt + )(cm)

Bài 3 Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: x1 = 5cos5 π t (cm); x 2 = 3cos(5 π t + ) (cm) và x 3 = 8cos(5 π t - ) (cm) Xác định phương trình dao động tổng hợp của

vật

Hướng dẫn giải:

0 2

1

2 2

2

1 A 2 A A cos90

A + +

3

2

π

3 π

) cos(

2 1

2+A − AA ϕ−ϕ

A

1 1

1 1 cos cos

sin sin

ϕ ϕ

ϕ ϕ

A A

A A

−

−

3

2π

3

2π

3

2π

2

π

2 π