Phân loại và hướng dẫn giải các bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG Người thực hiện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG

ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG

Người thực hiện : Hoàng Thị Thúy

Chức vụ: Giáo Viên

SKKN môn: Vật lí

Thanh hóa , năm 2016

MỤC LỤC Nội Dung Trang

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạycũng như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển Cụ thể làphương pháp kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan Trắcnghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chấtlượng dạy và học trong nhà trường THPT Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức kiểmtra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức củachương trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thituyển học sinh không những phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải cóphản ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt các dạng toán mang tính chất khảo sát

mà các em thường gặp

Đối với môn vật lý cũng là môn thi trắc nghiệm Trong thi trung học phổ thôngquốc gia : số lượng câu tương đối lớn, lượng kiến thức giàn chải cả chương trình, sốcâu tính toán chiếm hơn 2/3 tổng số câu Mà thời gian làm bài tương đối ít, mỗi câuchỉ dành thời gian 1,5 phút Vì vậy đòi hỏi học sinh phải nắm vững các phương pháp

giải toán cho từng dạng, biết được phương pháp giải nhanh cho từng dạng bài tập

đặc biệt

Trong các bài toán về tổng hợp hai dao động điều hòa với những bài toán đơn

giản học sinh có thể nhớ công thức để áp dụng Bên cạnh đó có một số bài chỉ “ biến

tướng” đi một chút như: khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa hai vật dao động điều,

hòa tìm vận tốc, li độ dao động và thời điểm khi hai vật gặp nhau lần thứ N, bài toán

về hai dao động khác tần số, bài toán cho hệ thức liên hệ như 1 2 3

x

x x+ =

v v v Ngoài racòn mở rộng các bài toán liên quan về điện tích và cường độ dòng điện trong mạch daođộng LC , các bài toán về giao thoa sóng, sóng dừng, bài toán điện xoay chiều Vớiloại bài toán khác nhau có phương pháp giải riêng do đó tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến

“ Phân loại và hướng dẫn giải các bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa cùng

phương” Trong sáng kiến của mình tôi cố gắng phân loại từ dễ đến khó, từ dạng

cùng tần số tới dạng không cùng tần số và đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài

toán cụ thể và mỗi loại có ví dụ và bài tập vận dụng để học sinh có thể hiểu rõ phươngpháp và vận dụng để có kĩ năng, kĩ xão giải nhanh mỗi dạng

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP

1.1 Loại 1: Các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

Đối với bài toán này chia làm rất nhiều dạng từ cơ bản đến nâng cao tôi chia làm cácdạng sau:

Dạng 1: Tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số.

Đây là bài toán đơn giản nhất trong loại bài toán về dao động điều hòa cùng phươngcùng tần số, học sinh có thể sử dụng máy tính để tổng hợp hai, ba, bốn dao động cùngphương cùng tần số Và dựa vào dao động tổng hợp có tính toán tiếp như cơ năng củavật dao động, vận tốc, lực hồi phục

Dạng 2: Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp

Đây là bài toán đòi hỏi sự vận dụng cao hơn loại một, hay nói cách khác đó là một bàitoán ngược bài toán trên Trong dạng này ngoài bài đơn thuần là cho dao động tổnghợp và một dao động thành phần tìm dao động còn lại, còn có các bài toán tìm daođộng thành phần khi có giới hạn về pha dao động thành phần, hoặc bài toán cho nănglượng dao động tổng hợp tìm dao động thành phần

Dạng 3: Bài toán tìm biên độ thành phần hoặc biên độ tổng hợp cực đại, cực tiểu khi

có điều kiện ràng buộc

Với bài toán này có nhiều cách giải khác nhau song vẫn dựa vào phương pháp cơ bản

cách của hai vật cách nhau một khoảng cho trước, hoặc gặp nhau Hoặc cho khoảngcách cực đại giữa hai dao động cùng pha tìm tỉ số động năng ,thế năng ở thời điểm chotrước Ngoài vận dụng kiến thức tổng hợp hai dao động còn có các kiến thức trước đó

về dao động điều hòa để làm

Dạng 5: Bài toán liên quan đến hệ thức li độ, vận tốc của hai dao động hoặc li độ của

các dao động

Loại bài toán này khá phức tạp và đòi hỏi các kiến thức đạo của toán học, các biến đổinhanh nhạy linh hoạt thì học sinh mới giải quyết được, nếu chưa gặp lần nào thì họcsinh cảm thấy rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian để giải quyết

Dạng 6: Đồ thị hai dao động điều hòa

Dạng này dễ song học sinh thường ngại làm, và kêu khó

1.2 Loại 2: Hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số

Dạng 1: Hai dao động điều hòa cùng phương, khác tần số cùng biên độ gặp nhau và tỉ

số vận tốc giữa hai dao động khi chúng gặp nhau

Dạng 2: Thời gian gặp nhau của hai con lắc trùng phùng

Dạng 3: Cho hệ thức liên hệ giữa li độ và vận tốc của các dao động tìm li độ dao động

hoặc tốc độ khi biết li độ hoặc tốc độ của dao động khác

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Để giải quyết hai loại bài toán trên ta dùng các phương pháp “chuyên biệt” cho từng

dạng dựa trên cơ sở lý thuyết sau

2.1 Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số

2.1.1 Dao động điều hòa , biểu diễn dao động điều hòa

Dao động điều hòa là dao động mà li độ dao động được biểu diễn dưới dạng sin hoặccosin theo thời gian x = Acos(t + ) với A, ω, φ là hằng số

Trong đó : A>0 là biên độ dao động

ω là tần số góc mà ω= 2πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo f=2πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo /T hoặc đối với con lắc lò xo ω= k

m , con lắc đơn ω= g

l với f là tần số dao động, T là chu kì dao động

ωt+φ là pha ban dao động, φ là pha ban đầu

-Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay OM có:

+ Gốc: tại O + Độ dài OM = A + (OM ,Ox)

(Chọn chiều dương là chiều dương của đường tròn lượng giác).

2.1.2 Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

Xét vật thực hiện đồng thời hai DĐĐH cùng phương cùng tần số

x1 = A1cos(t+1) và x2 = A2cos(t+2)

khi đó dao động tổng hợp của vật là : x = x1 + x2

2.1.2.1 Phương pháp giản đồ Fre-nen

Biểu diễn x1, x2 bằng các vecto quay OM 1

, OM 2trên trục Oxy, hợp với Ox góc tương ứng là φ1, φ2

OM=OM +OM  

Vectơ OM là một vectơ quay với tốc độ góc  quanh O

 OM biểu diễn phương trình dao động điều hoà tổng hợp:

x = Acos(t + )

Từ giản đồ Fre-nen ta chiếu lên hai trục tọa độ

A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2

A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin φ2 (2.1)

A cos +A cos (2.2)

Dựa vào định lý hàm số cos trong tam giác ta có biên độ dao động

A =A +A +2A A os( - )2 12 22 1 2c  2 1 (2.3)

Ảnh hưởng của độ lệch pha

TH1: Nếu các dao động thành phần cùng pha

Từ đó suy ra : Amin  A  Amax  |A1 - A2|  A  A1 + A2

Ngoài cách tổng hợp dao động điều hòa theo giản đồ Fre-nen ta có thể sử dụng sốphức

2.1.2.2 Phương pháp số phức

Ta đã biết một đại lượng biến thiên điều hòa theo thời gianx A costcó thể biểudiễn dưới dạng số phức

Số phức x a bi  với a là phần thực; b là phần ảo và i là dơn vị ảo i 2 1

Biểu diễn số phức x a bi  trên mặt phẳng phức:

mođun của số phức r a2b2 ; acgumen số phức là với tan b

Dạng lượng giác của số phức

cos isin 

x a bi r     với a r cosv b rà  sin

Theo công thức ole ta có x a bi rcos isin  re i A

Biểu diễn dao động điều hòa bằng số phức

Hàm dao động điều hòa x A cost khi t = 0 thì

A OA A A

Ta thấy aAcos và b A sin

=> tại t = 0 biểu diễn x bằng số phức x a bi  Acos isin Ae i  A 

Vậy một hàm dao động diều hòa (xét tại t = 0) có thể viết dưới dạng số phức như sau:

Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và 

Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A còn Shift = thì ra φ

2.1.3 Mở rộng

2.1.3.1 Phương pháp giản đồ Fren-nen

+ Tổng hợp nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

từ hệ thức (2.1)

A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2+ A3 cosφ3+

A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin φ2 + A3 sin φ3 + (2.4)

+ Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp

Giả sử biết được dao động x1= A1 cos(ωt+φ1) và x= A cos (ωt+φ) tìm dao động thànhphần thứ 2

Từ (2.1) A2 cosφ2 = A cosφ - A1 cosφ1

A2 sin φ2 =A sin φ- A1 sin φ1 (2.6)

y

b

O

a x x

r 



x1 = A1cos(t+1) và x2 = A2cos(t+2)

Đặt khoảng cách giữa hai dao động là x = x -x1 2 vì đây là hiệu của hai dao động điềuhòa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng tần số với daođộng trên nên x Acos(ωt+φ) (2.9)

áp dụng các kiến thức trên ta dễ dàng suy ra 2 2 2

từ biểu thức (2.9) ta tìm ra được khoảng cách min, max,khoảng cách giữa hai dao động

bất kì chú ý ở đây là ta vẫn biểu diễn nó giống dao động điều hòa rồi lấy trị tuyệt đối

2.1.3.2 Phương pháp số phức

Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp và các dao động thành phần

khác

Ví dụ: Một vật thực hiện ba dao động điều hòa tìm dao động điều hòa thứ hai biết dao

động tổng hợp và hai dao động thành phần là x1A1cost1, x3A3cost3

nhập A,shift φ - A 1 shift1 -A 3 shift3

Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và 2

Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 còn Shift = thì ra φ 2

2.2 Dao động điều hòa cùng phương khác tần số

2.2.1.Bài toán hai dao động điều hòa cùng phương cùng biên độ gặp nhau

Dạng 1 : Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng phương

Dạng 2 : Bài toán hai con lắc trùng phùng là bài toán mở rộng trường hợp trên khi hai

con lắc đơn ở thời điểm ban đầu đều cùng ở vị trí cân bằng và chuyển động cùng chiềusau thời gian Δt thì hai con lắc lại gặp nhau.t thì hai con lắc lại gặp nhau

Khi đó Δt thì hai con lắc lại gặp nhau.t=n1.T1=n2.T2 với T1 và T2 là chu kì dao động của hai dao động

Dạng 3 : Thông thường ta có hệ thức liên hệ sau

3.1 Phương pháp giải loại 1 hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 3.1.1 Dạng 1 : Tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

Giả sử cho bài toán : Một vật thực hiện đồng thời các dao động điều hòa sau :

x1 = A1cos(t+1), x2 = A2cos(t+2), x3 = A3cos(t+3), x4 = A4cos(t+4)

Hãy viết phương trình dao động tổng hợp

Để giải quyết bài toán này cách đơn giản nhất là dùng phương pháp số phức

Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R)

(fx 500ES)

Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R)

(fx 570 MS)

nhập A 1 shift1 +A 2 shift2 +

Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và 

Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A còn Shift = thì ra φ

Đối với những bài toán này ta nên dùng máy tính là nhanh nhất tức sử dụng cách 2

a 3shift πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo

2

 +3shift 0 =3 2 πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo

4



Phương trình dao động tổng hợp là x3 2 cos(5t  / 4)

b Đổi x2 sang hàm số cos ta có x2=5 cos(πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo t-5πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo

6 ) 5shift πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo

VD 3 Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có

phương trình lần lượt là: x1 = A1cos(2t +2

Định hướng cách giải :

- Dựa vào hai thời điểm của một dao động ta tính được A

- Tổng hợp ba dao động điều hòa bằng máy tính

1

2 2

2

2 2

2 2

3

2 2

Dùng máy tính ta có 40shift (2 )

3



 +80 shift 0+80 shift   2 / 3 =40   / 3Phương trình dao động tổng hợp là : x = 40cos(2t - /3) (cm)

* Giả sử cho bài toán : Cho phương trình dao động tổng hợp của hai dao động là x=

Acos(ω.t+φ) và phương trình dao động thành phần x1= A1 cos(ω.t+φ1) và x3= A3

cos(ω.t+φ3) tìm dao động thứ 2

Phương pháp giải dùng máy tính

Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R)

(fx 500ES)

Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R)

(fx 570 MS)

nhập A,shift φ - A 1 shift1 -A 3 shift3

Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và 2

Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 còn Shift = thì ra φ 2

* Giả sử cho bài toán Cho vật thực hiện hai dao động điều hòa, cho biết các thông số

thành phần còn thông số A2 chưa biết Song có các giá trị cơ năng, hoặc vận tốc cựcđại của vật dao động để tìm ra biên độ tổng hợp từ đó tìm biên độ A2

Định hướng cách giải :

- Dựa vào giữ liệu ban đầu ta tính được A

- Để làm bài toán này ta không thể dùng số phức ta dùng giản đồ Fren-nen

A =A +A +2A A os( - )2 12 22 1 2c  2 1

*Giả sử cho bài toán Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần

số có phương trình x1 = A1cos(t+1) , x2 = A2cos(t+2) và phương trình tổng hợp x= Acos(ω.t+φ) với A1, ω, A2 , A,φ đã biết góc giớ hạn của hai dao động là

Sử dụng phương pháp giản đồ Fren-nen ta có

A cos +A cos A =A +A +2A A os( - )2 12 22 1 2c  2 1

VÍ DỤ MINH HỌA VD1: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức

Phương trình dao động thứ hai là x2=5 cos(6πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo t+πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo /3) cm

VD2: Một vật thực hiện đồng thời được hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần

Ta có vmax=Aω suy ra A=7 (cm)

áp dụng A =A +A +2A A os( - )2 21 22 1 2c  2 1 thay vào ta được 2 2 2  

giải ra ta có A1= 8 và A1= -5 ta lấy kết quả A1= 8 cm

VD3: Một vật thực hiện đồng thời được hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần

số là : x1=2 cos(4.t+φ1) và x2=2cos(4t+φ2) cm với 0  2 1 Biết phương trìnhdao động tổng hợp là x=2 cos (4.t+

6



) cm Hãy xác định φ1

Giải:

Từ công thức A =A +A +2A A os( - )2 21 22 1 2c  2 1 suy ra φ2-φ1= 2πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo /3 (*)

Áp dụng các công thức giản đồ Fren-nen để tìm mối liên hệ đưa ra góc φ1

= A1cos10t; x2 = A2cos(10t +2) Phương trình dao động tổng hợp x = A1 3cos(10t+), trong đó có 2 -  =

A: ½ hoặc ¾ B: 1/3 hoặc 2/3 C: ¾ hoặc 2/5 D: 2/5 hoặc 4/3

3.1.3 Tìm biên độ dao động thành phần, tổng hợp cực đại hoặc cực tiểu

- Đối với bài toán này dựa vào công thứcA =A +A +2A A os( - )2 12 22 1 2c  2 1 nếu đề bài cho

rõ hai góc pha ban đầu

- Áp dụng công thức A =A +A -2A.A cos(φ-φ )22 2 12 1 1 nếu cho biết pha thành phần và tổnghợp.Từ đó ta đánh giá theo hàm bậc 2 để đưa ra

VÍ DỤ MINH HỌA VD1: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có

phương trình dao động lần lượt là x2 10cos 2 t   cm; x 1 A cos 2 t 1 cm

- Để năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ tổng hợp phải cực đại

- Xem bài toán cho biết góc nào ?

- Viết biểu thức biên độ theo các góc đã cho

- Biện luận theo Δt thì hai con lắc lại gặp nhau

3.1.4: Khoảng cách giữa hai dao động điều hòa

Tìm khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

x1 = A1cos(t+1) và x2 = A2cos(t+2)

Đặt khoảng cách giữa hai dao động là d= x = x -x1 2 vì đây là hiệu của hai dao độngđiều hòa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng tần số với daođộng trên nên x Acos(ωt+φ)

Từ biểu thức (2.9) ta coi khoảng cách của hai dao động điều hòa là một hàm biến thiêntuần hoàn theo thời gian với chu kì T’=πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo /ω

Dựa vào tính chất trên ta đưa ra khoảng cách lớn nhất dmax= A, khoảng cách nhỏ nhất

x1 = 4 cos( 4t + πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo / 3) cm và x2 = 4 2cos( 4t + πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo /12) cm Coi rằng trong quá trình daođộng hai chất điểm không va chạm vào nhau Hỏi trong quá trình dao động khoảngcách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu ?

Giải Khoảng cách giữa hai vật là dx Acos(4t  )

Bấm máy tính 4 2shift ( 12 )-4shift ( 3)=4  0,5236

Phương trình khoảng cách là d x 4cos(4t 0,5235)

Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là 4cm, khoảng cách nhỏ nhất là 0 cm