I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 2. f(x) = ĐS. F(x) = . f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = 5. f(x) = ĐS. F(x) = 6. f(x) = ĐS. F(x) = 7. f(x) = ĐS. F(x) = 8. f(x) = ĐS. F(x) = 9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx cotx – 4x + C 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx cotx + C 14. f(x) = ĐS. F(x) = cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
'
x =n x −
'
u =n u u −
1
1
n
n
+
+
1
n
+
+
+
'
2
= −
' 2
−
=
1 dx ln x C
.dx lnax b C
+
'
2
= −
' 2
'
−
=
k
+
∫
2
x
x
= ( )' '
2
u u
u
= ∫e dx x = +e x C 1
a
( )'
'
ln
x
a
( )'
.ln
a =a a ( )'
'.ln
a =a u a ∫sin x dx = −cosx+C ( ) 1 ( )
sin ax b dx cos ax b C
a
ln x
x
= ( )' '
lnu u
u
cos ax b dx sin ax b C
a
∫
log
.ln
a x
=
log
.ln
a
u u
cos x dx = x+C
sinx =cosx
sinu =u'.cosu 2
1
sinx x dx = − x+C
∫
cosx = −sinx
(cosu)'= −u'.sinu
t an x dx = −ln cosx +C
∫
2
1
t an
cos
x
x
=
t an '
cos
u u
u
= ∫cot x dx =ln sinx +C
2
1 cot
sin
x
x
= −
' cot '
sin
u u
u
= −
Một số công thức LG thường sử dụng để tính nguyên hàm
2
a b= a b− + a b+
2
a b= a b− − a+b
2
a b= a b− + a+b
sin
2
a
a = −
; 2 1 cos 2 cos
2
a
a = +
sin 2a =2 sin cosa a
2 2
cos sin cos 2 2 cos 1
1 2 sin
a
−
= −
Qui tắc đạo hàm
1 ( )'
u v =u v+u v
2
'
2
' '
−
=
Trang 2B TÍCH PHÂN
1
2 Tính chất
a) ( ) ( )
k f x dx =k f x dx
a
a
f x dx =
m ≤f x ≤M ⇒∫m dx ≤∫f x dx ≤∫M f x dx f) ( ) ( ) ( )
f x dx = f x dx+ f x dx
3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN
3.1 Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân
3.2 Tích phân hàm hữu tỷ: ( )
( )
b
a
f x dx
g x
- Nếu bậc f x( )≥ bậc g x( )→ Chia đa thức
- Nếu bậc f x( )< bậc g x : Ta sử dụng hệ số bất định ( )
0
−
3.3 Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) '
b
a
A =∫f u x u x dx Dạng 1:
Đặt t =u x( )⇒dt =u x dx'( ) ; đổi cận:
Ta được: ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
u b
u b
u a
u a
A = ∫ f t dt =F t
* Một số thủ thuật đặt t
Dạng
( )
b
a
( )
b n a
u x dx
b
a
x dx
b
u x a
e v x dx
a
dx x
2
t an cos
b
a
dx x
t u x ( ) t =v x( ) t =f (cosx) t =u x( ) t =f ( )lnx t =t anx
m lẻ t =cosx
m chẳn
m = 0
n chẳn âm
t an
t = x Dạng sin cos
b
a
∫
n chẳn t =sinx n chẳn
Hạ bậc
2 1 cos 2 sin
2
a
2 1 cos2 cos
2
a
a= + n = 0
m chẳn âm
cot
Dạng 2:
Dạng a2+x2 a2−x2 x2−a2
2 2
x asin ,t t 2 2;
π π
a
t
π π
= ∈ −
b
b a a
f x dx =F x =F b −F a
∫
x a b
t u a ( ) u b ( )
Trang 33.4 Phương pháp từng phần : b
a
B =∫u dv =u v −∫v du
Cách đặt u và dv :
Dạng ( ) sin
cos
b
a
x
x
b
x a
f x e dx
log
b
a a
x
x
2
cos sin
b
a
x dx x x
∫
loga
x x
dv sin
cos
x dx x
x
2
1 sin cos
dx x x
C BÀI TẬP
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản
1
∫
2
4
1
x x dx
+ +
∫
3
4 3
2
1
dx x
∫
4
2
3
1
2
x dx
x
+
∫
5
2
2
1
1
2
x
+
∫
0
3 sinx 3 cosx 2 dx
π
∫
7
2
1
3
2x 1 x dx
+
∫
8
2
0
4 x dx
π
π
−
∫
9 2( )
0
2 sin 3x dx
π
−
∫
10 1( )
0
2e x +1 dx
∫
11 ln 2( )
2
0
1
x
∫
12 ln 2( )
2 0
1
x
∫
13 1 ( )
0
∫
14
ln 3 2
0
x x x
dx e
+
15
2
1
2
x
x
+
16 1 2( )2 0
3
17 2( )3 1
2x −1 dx
18 1( )
0
3x +1 dx
∫
19
4 2 0
2 1 cos x dx
π
−
20
2 1
2
dx x
+ +
21
1
0
1
x dx x
− +
∫
22
1 3
0
dx x
+ + +
23
2
1
2 x 5 7x
dx x
+ −
∫
24
1
0
( x −1)(x+ x +1)dx
∫
25
2
2 4
2 1 sin x dx
π
π
−
26
4
2 0
1 cos
x
x
π
−
−
27
ln 2
0
2
x x
x
e
e
−
+
28
2
1
2
2x dx x
+
0
1
∫
30
2
1
1 1 dx
x x +
1
2x 1
dx x
−
32
4
0
cos 3 cosx x dx
π
33
4 2 3
1
4dx
x −
34
1 2 2 0
1
3 2dx
x − x +
Trang 435
4 2
1
dx x
2 0
1
37
4
0
sin 3 sinx x dx
π
1
0
1
x
x
e
dx e
−
39
4
6
1
sin x.cos x dx
π
π
∫
40
2
0
1 x dx−
41
3
2
0
2x−x dx
42
4
2
2
6 9
x − x+ dx
43.
4
2
1
−
− +
∫
44
0
1 cos 2x dx
π
+
∫
45
3
0
2x −4dx
∫
46
2
2
0
x −x dx
∫
47
3
2
0
1 cos 2x dx
π
−
∫
48
2
2
0
sin x dx
π
49
2
2
0
cos x dx
π
∫
50
2
4
0
sin x dx
π
∫
51
2 4 0
cos x dx
π
∫
52
2
0
sin 3 cos x x dx
π
0
2
x
e + x dx
54
1
0
1
x dx x
− +
55
8 2 0
cos 2x dx
π
56
2 4
2 0
2 cos 1
1 sin
x dx x
π
+
−
57.
2 4
2
1
x
+
∫
58.
1 2
0
1
dx x
− + +
59.
2
0
1 sin cos
dx
π
+
60.1( )7 0
2x 1 dx
− +
61.
0
3 1
4
3 5x dx
62
4
0
2x +1dx
63
7 3 3 0
3x +1dx
64
3
0
1
x + − x +
65
5
3
1
66.
1 2 0
5 13
x
dx
−
− +
67
1 4 2 2
x dx
x −
68
1 2 0
x
dx
− + +
69
2 1
dx
− + + +
70.
0 2 1
x
dx
−
+ + −
Bài 2: Tích các tích phân sau: (Đổi biến số)
DẠNG 1:
( ) ( ) '
b
a
A =∫f u x u x dx
3
0
1 x+ x dx
72
1 2 0
2
x
dx
+ + +
73
1 3 2
01
x dx x
+
74
1
3
x dx
x+
3
5 2 0
1
4 1
6 0
1
x
dx x
− +
77
1
2 3 0
1−x x dx
78
4
0
x
dx x
− + +
79.
6
2
1
2x + +1 4x +1dx
80.
2 3
2
x dx
x +
81
64
3 1
1
dx
x + x
82
ln 3
ln 2
1 1
x dx
e −
83.
ln 2
0
1
1+e−x dx
Trang 584
ln 5 2
ln 2 1
x
x
e
dx
e −
85
0
2
1 2
x
dx e
+ +
+
86
ln 5
x
e
dx
87
1
ln
2 ln
e
x
dx
x x
+
88
3
1
1 ln
e
x
dx x
+
89
1
1
ln 3 ln 2
e
dx
90
1
1 3 ln ln
e
dx x
+
91
2
4
0
sin x.cosx dx
π
92
2
5
0
cos x.sinxdx
π
93
2
5
0
sin x dx
π
94
2
3
0
cos x dx
π
95
2
0
1 3 sin cosx xdx
π
+
96
2
3
0
1 7 cos sinx xdx
π
+
97
2
0
1 3 sin sin 2 x x dx
π
+
98
2
3 0
sin
2 cos
x dx
x
π
+
99
2
0
cos
1 3 sin
x
dx x
π
+
100
2
0
sin cos
1 3 sin
dx x
π
+
101.
1 5 2
01
x dx x
+
102.
3 2
0
4 sin
1 cos
x dx x
π
+
103
3
1 1 ln
e
dx
x x
+
104
3 2
2 0
sin cos
1 cos
dx x
π
+
105
6 2 0
cos sin 5 sin 6
x
dx
π
106
4
1 1
dx
2
0 1 sin x sin 2xdx
π
+
∫
108
4 1
x e dx x
∫
109.
2
ln 8
ln 3
1
x x
e dx
e +
∫
110
2
2 sin 0
sin 2
x
π
∫
111
3 0
.
1 1
x dx
x + +
∫
112
1
0x (1 − x ) dx
∫
113
3
5 2
0 x x + 1 dx
∫
114. 2 sin
0 e x cos xdx
π
∫
115
3 7
0
1
x
dx x
+
∫
116
2
1 0
x
e− xdx
∫
117
3 3 0
1
x
dx
x +
∫
118 3
5 2
1
x dx x
+
∫
119
3 4
9
x dx
∫
120
4
xdx
x +
∫
121
2 2 1
3
I = ∫ x x + dx
122
2
1 2sin 0
.cos
x
π +
∫
123
6
0
sin 2 cos x x dx
π
∫
124
2
0
sin x cos x dx
π
∫
125
0
π
= ∫
126
4 4 6
1 sin x dx
π
π
∫
127
4 4 0
1 cos x dx
π
∫
128
2 2 0
2
sin x
dx x
π
+
∫
129
2
2 0
2
3 sin
sin x
dx x
π
−
∫
130
2
1
x dx x
∫
Trang 6131
2
2
2 sin
0
sin 2
x
π
+
∫
132
ln 3
ln 2
x
x
e
dx e
−
∫
133 ln 5( )
ln 2
3 1
x
dx e
+
−
∫
134
ln 5 2
ln 2
1
x
x
e
dx
∫
135
ln 4
ln 3
1
3
∫
136
2
4
1
.ln
e
e
dx
∫
137
ln 4
ln 3
1
5
∫
138 ln 5( ) 2
0
4 2
x
dx e
+
+
∫
140
ln 3
1
x
dx e
+
−
∫
141
2
1
ln 2 ln
e
dx x
+
∫
142
2
sin
4 cos 3
x
dx x
π
∫
143
2
0
sin 2
x dx x
π
+
∫
144 ln 5( )
ln 3
3 1
x
dx e
+
−
∫
145
4
2
6
1
sin x.cot x dx
π
π
∫
146.
3
2
3
6
cos
sin
x dx
x
π
π
∫
147.
4
2
t an
cos
x dx
x
π
∫
148
ln 2
0
dx
x x
x x
−
−
− +
∫
149
2
0
sin 2 cos 4 sin
x
dx
π
+
∫
150
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx
e + e− −
∫
151
2
2 0
sin 2 (2 sin )
x dx x
π
+
∫
152
2
0
sin 2 sin
1 3 cos
dx x
π
+ +
∫
153
2
0
sin 2 cos
1 cos
dx x
π
+
∫
154
2 sin 0
(e x cos ) cosx xdx
π
+
∫
155
2 4
0
1 2 sin
1 sin 2
x dx x
π
− +
∫
156
ln 2
x x
e dx
e +
∫
157
2 2
dx x
+ +
∫
158
2 3
dx x
+ +
∫
159
6
0
sin 2
2 sin os
x dx
π
+
∫
160.
3 2
2 0
osxsin
1 sin
dx x
π
+
∫
161
2
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
162
2
2 0
sin 2 (2 sin )
x dx x
π
+
∫
163
2 ln 1
1
e
dx x
+
∫
164.
2
1 ln ln
e
e
x dx
+
∫
165.
1
1 3 ln ln
e
dx x
+
∫
166
1
sin(ln )
e
x dx x
∫
167.
4 2 0
1 sin 2 cos
x dx x
π
+
∫
168
2
0
sin
1 3 cos
x dx x
π
+
169
1 2 2 1
x
e dx x
170.
2
0
sin
8 cos 1
x dx x
π
+
171
3
2
1
1 ln
e
e
dx
172.
2 3
6
sin x.cosx dx
π
173.1 ( )7 0
1
x x − dx
2
sin 2
1 cos
x dx x
π
175.13 ( )
0
2
x x − dx
176
2 2 1
1
x
dx
−
− −
177
2
2 6
cos
1 sin
x dx x
π
π
178.
19
3 2 0
3 8
xdx
x +
∫
179
3
1 4 ln
e
dx
Trang 7180 2
0
1
x x + dx
181
0
sin 2
4
.cos 2
x
π
−
182.
1
2
0
4
x
dx
x +
183. 2
1
1
0
x
xe − dx
184.
4
1 1
x
dx x
185.
2
1
1 ln
e
x dx x
+
186.
1
ln
ln 3
e
e
x dx
∫
187
7
3
0
1
x x + dx
188
0
5
4
−
−
189.
ln 3
0 1 x
dx
e−
+
190
2
0
4x+1dx
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
(Đổi biến số)
Dạng 2:
a −x
t an
191.
1
2
0
1
3+x dx
192
1
2 0
2−x dx
193
2
2
2
2
0 1
x
dx x
−
194.
1
2
0
1
1dx
x + +x
195
1
2 0
2x −x dx
196
2 0
1 4
dx x
−
197
1 2 0
1
1dx
x − +x
198
2 2 2
2
0 1
x dx x
−
∫
199
2
1
4
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau (Tích phân từng phần)
200
1
ln
e
x xdx
∫
201
1
2 0
∫
202
1
1
e
x
+
∫
203
2
0
( x c osx) s inx dx
π +
∫
204
2
2 1
ln( x + x dx )
∫
205
2
0
cos
x x dx
π
∫
206
1
0
x
xe dx
∫
207
1 3 0
x
x e dx
∫
208
2
0
(x 1) cosxdx
π
−
∫
209
6
0
(2 x)sin 3xdx
π
−
∫
210
2
0
.sin 2
π
∫
1
(1 ).ln
e
−
∫
212
1
4 ln x x dx
∫
213
1
2 0
.ln(3 )
∫
214
2 5 1
ln x
dx x
∫
215
2 2 0
cos
π
∫
216
3 2 0
sin cos
dx x
π
+
∫
217
4
2 0
(2 cos 1)
π
−
∫
218
2 2 1
ln(1 x)
dx x
+
∫
219
1
2 0
ln(1 )
∫
220
1
2 0
(x −2)e dx x
∫
1
ln ( 1)
e
e
x dx
x +
∫
222
2
0
(2x +7) ln(x+1)dx
∫
223
1
ln
e
x dx x
∫
224 ∫1e(3x+2 ln) x dx
225 3
1
ln
e x dx x
∫
226
2
1e x lnxdx
∫
227
2
1
ln
e xdx x
∫
228 1 ( )
2 0
ln 1
229 2 2
∫
230
1
3
e
x
−
∫
Trang 8231 2
0xln(x + +x 1)dx
∫
232 ( )
1
3 0
2
x
dx x
+
+
∫
233
2
0
cos
x
π
∫
234
3
2 1
3 ln
1
x dx x
+
+
∫
235
1
2 0
(x−2)e dx x
∫
236.1( )
0
1 x
x + e dx
237.1 ( )
0
2x e x −1 dx
238.
2
0
2 cosx x dx
π
239.4( )
0
2x 1 cosxdx
π
−
240. ( )
1
2 1 ln
e
241.3( )
0
1 x
x + e dx
∫
242.1( )
0
2x −1 e dx x
243.ln 2( )
0
1 x
x − e dx−
244
2
0
2 sinx xdx
π
245.4( )
0
1 sin 2
π
+
1
e
247.2( )
1
lnx−2 x dx
248
0
sin
x
π
249 2 1
0
x
xe −dx
250.2( )
0
1+e x xdx
251.
4
0
sin 2
π
252. 0 (1 x)cosxdx
π
−
−
253
1
ln
e
x dx
254.3 ( )
2
2 lnx x −1 dx
255.
4
1
x
e dx
Bài 5: Tính các tích phân sau:
(TỔNG HỢP)
0
e e− − x dx
257.
2
1
ln
dx x
+
1
ln 1
e
259
1
0
1 1
x x
dx e
+ + +
260
2 2
1
1
x
x e
dx x
+
0
cos
π
+
262.
4
1
x
dx x
+
263 4( )
0
cos sin
π
+
264.
2
0
1 sin
1 cos
x dx x
π
− +
265.
2
1
e
dx x
+
∫
266. ( 2 )
0
x
x x +e dx
267. 2
1
1 ln
e
dx x
+
268.2( )
1
1 2+ xe x dx
269.
3 4
2 0
1 sin
1 sin
x dx x
π
−
−
270.
1
0
1 1
x x
e xe
− +
271.
3 3 1 2
x dx x
272 2 ( )
0
ln 1 cosx sin 2xdx
π
+
∫
273
2 0
1
dx
− +
− +
∫
0
cos x 1 sin x dx
π
−
∫
275
1
0
1
x
dx xe
+ + +
∫
276
1
2
x
dx
x + −x
∫
277
1
0
1
dx x
+
∫
4
cos sin
dx
π
π
+ −
−
∫
279
3
2 1
ln
1 3 ln
e
xdx
∫
280
2
2 3
.ln
e
e
dx
+
∫
281.
3 2
2 0
x
π
−
+
Trang 9282.2 ( )
2 1
dx x
283
2014 4
2 0
1 2 t an
cos
dx x
π
− +
0
t an ln cos
cos
dx x
π
285
2
4
0
t an 3 t an 2
2 sin 2
dx x
π
+
286.
2
0
cos 2 1
cos sin
dx
π
+ +
287 1( 2 )
0
1
x
dx xe
+ +
+
288.
4
2 1 2
0
x
e + −dx
289.
2
2 4
3 cot 1
sin
dx x
π
π
+ +
290
1 3
4
0
2
1
dx x
−
+
291
ln 8 2
ln 3
2
1
x x
x
dx e
−
+
292
6
2 0
cos
4 sin
x
dx x
π
−
293. 2 2
0
sin
x
π
294
8
3 ln 1 ln
e
e
dx
295
2
3 1
1 x
+
1
2 0
3 2 ln 3 1
1
dx x
+
297 4 ( )
1
ln
298
3
2 1
ln
1 3 ln
e
xdx
299.
1
0
2 1
x
x
+
300.
2
0
cos 2 sin sin
1 3 cos
x
x
π
+
+
D TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
2014 1 1( )
0
1−xe x dx
2013 2.2( )
0
1 cos
π
+
2012 3 ln 2( )
2 0
1
e − e dx
2011 4
1
4 5 ln
e
x dx x
+
2010 5 1 2( )2
0
1
2009 6 ( )
0
1 cos
π
+
2008 7 1( )
0
4x+1 e dx x
E TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
Kh
B 2 2
2 1
dx
+ + +
2014
D 4( )
0
1 sin 2
π
+
A
2 2 2 1
1 ln
x
xdx x
−
Cđ
5
dx x
B
1
2 0
2
x −x dx
2013
D 1( )2
2 0
1 1
x
dx x
+ +
2 1
1 ln x 1
dx x
Cđ
3
x dx
x +
B
x
dx
2012
0
1 sin 2
π
+
0
sin 1 cos sin cos
dx
π
+ + +
∫
Cđ
2
1
1
x dx
x x
+ +
B 3
2 0
1 sin cos
dx x
π
+
2011
D
4
0
x
dx x
− + +
A
0
2
1 2
x
dx e
+ + +
∫
Cđ
1
0
1
x dx x
− +
B
1
ln
2 ln
e
x dx
2010
D
1
3
e
x
−
0
cos x 1 cos xdx
π
−
∫
B
3
2 1
3 ln 1
x dx x
+ +
2009
D
3
1 x 1
dx
e −
A 6 4
0
t an cos 2
x dx x
π
2008
D
2 3 1
lnx dx x
Trang 10
F ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1 ỨNG DỤNG 1:
Diện tích hình phẳng
a) Hình ( )H được giới hạn bởi:
( )
=
=
=
y f x
x a
x b
Truïc Ox
Diện tích hình ( )H
( )H b ( )
a
S =∫ f x dx
b) Hình ( )H được giới hạn bởi:
( )
( )
=
=
=
=
y f x
y g x
x a
x b
Diện tích hình ( )H
a
S =∫ f x −g x dx
2 ỨNG DỤNG 2:
Thể tích vật thể tròn xoay
a) Hình ( )H được giới hạn bởi:
( )
=
=
=
y f x
x a
x b
Truïc Ox
Thể tích vật thể do hình ( )H xoay quanh trục Ox :
( ) 2
b
Ox
a
V =π∫f x dx
b) Hình ( )H được giới hạn bởi:
( )
( )
=
=
=
=
y f x
y g x
x a
x b
Thể tích vật thể do hình ( )H xoay quanh trục Ox :
b Ox a
V =π∫ f x −g x dx
BÀI TẬP Bài 1: Tính diện tích của hình ( )H được giới hạn
bởi:
1 y =x3−3x +2; x = −1;x =3 và trục Ox
2.y = − −4 x2 và y =2x2−x4
3 y =x3−2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có
hoành độ bằng 1−
4 y =x3−x và y = −x x2
y = − x +x − x = x = và trục Ox
6 y =2x3−3x2; x =0;x =2 và trục Ox
7 y =x4 −2x2−3;y =x2+1;x =0;x =2
1
x y x
−
= + ; tiệm cận ngang; x =0;x =2
9 y =x3−12 ;x 2
y =x
10 y =x3−1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành
độ bằng 2−
11 y =x3−3x +2 và trục hoành
1
y
x
= + ; tiếp tuyến tại 3
2;
2
và x =5
13 y =x3−3 ;x y =x
14 2 4
x
−
− và trục Ox
9
y =x −x y = x −
16 y =ln ;x x =e−1;x =e và trục Ox
x
x
= + = =
18 y = 2 ;x x + =y 4 và trục hoành
19 y =x2−2 ;x x = −1;x =2 và trục Ox
20 y = − −x3 3x2 và trục hoành
21 y = +(e 1)x y; = +(1 e x)x
1
x y
x
− −
=
− ; x =0 và trục Ox
23 y =x2−2 ;x y = − +x2 4x
24
Trang 1125 y =x x3; = −2;x =2 và trục Ox
26 y =x3; y = −x2
2
1
1
x
−
28.y = − +x2 6x và trục hoành
29.y = − 4−x2;x2+3y =0
30.y = x y; = −2 x và trục Ox
Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi
hình ( )H khi quay quanh trục Ox
1 1 3 2
3
y = x −x x = x = và trục Ox
2 y =xln ;x x =e y; =0
3 y =xe x x; =e y; =0
4 y = −4 x2;y =x2+2
5 y =ln ;x x =2;y =0
6 y =e x;y =e2−x;x =0;x =2
7 sin ; 0;
2
y = x x = x =π
và trục Ox
y = − +x y = y =x x >
9.y =x3−3 ;x x =0;x =2;Ox
4
11 2
2
x
12 y =2x−x y2; =x
13 y =x3 −3 ;x2 y = −x 3
x
15 y = 2 ;x x+ =y 4;Oy
16 y =cos ;x x =0;x =π;Ox
17 y = −1 e x;x =1;Ox
18 y =e x x x; =1;Ox
19 y = −2 x2;y =1
20 y = x y; = −x 2;Ox
ĐÁP SỐ
1 137
12 2
2179
160 3
19
ln 4
2 + 4 15
2 ln 2
4 +
5 9 6 π 7 3 3
ln 3
2 9
1
3 π
− +
10 2e−1 11 2ln 2( ) 3
2
+
12 2ln 2( ) 7
2 +
13 e e( −1) 14 2+ln 3 15 ( ) 2
2ln 2 + −e e
16 17
10 17 10 18
2 ln 3
ln 3
+
19 2
4
π
2ln 2
2+
21 2 3 ln 2− 22 11 28
ln 2
5
4
π −
26 e4 2
π
2 28
1 2(ln 2 )
ln 2 +
29 1
30 30 2 ln 2( )−ln 3 31 2 2 ln 2+ 32 1
4
ln
4 3 34
3 ln
2 35
181
6 36
1
3
37 1
4 38
2
e
− + +
39 2 3
3 40 1 41
8
3 42.1
43.17
2 44 2 2 45
1 4 ln 2
ln 2
+
46.1 47 3 2 48
4
π
49
4
π
50 3 16
π
51 3 16
π
52 1
2 53
2
1 ln 2+
54 2 3 ln 2− 55 1
8 16
π
2
π
12
7 ln 2 2
2
288 62
26
3
63 15
4 64
68 4
6
15 5
ln 2
3 66 −ln 18
ln 3
24 −2 68. 64 5
ln
3−
ln 2 ln 3
71.15
16 72
1 3
ln ln 2
2 2 + 73 1 1ln 2
2 − 2 74 1
8 75.
37
4
76 11
160 77
2
15 78.
10 ln
3 + 5 79.ln3 1
2 − 12 80 1
11 6 ln
3 + 82. 4
ln
3 83.
3 ln
2 84
8 10 2
3 3
− +
85 1 1 2 1 ln
e
+ +
86.1 5 ln
3 3 87.
4
ln 1
9 + 88.5
4 89.
3
2 90.
116
135
91.3 16
π
92. 8
15 93.
8
15 94.
2
3 95.
14
9 96.
45
28 97.
232
135 98.
5
72
99 2
3 100.
8
27 101.
ln 2
2 − 4 102.2 103.2 104 1 1
ln 2
2 − 2
105. 10 ln
9 106.
16 ln
9 107.
7
3 108.
2
2e − 2e 109.32
3 110.e−1
111.5
3 112.
1
40 113.
848
105 114.e−1 115.141
20 116.
1 1
2 − 2e
Trang 129 118.
32
9 119.
134
3 120.
10
3 121.
8 7 7
3 + 3 122.1 3 1
2e − 2e
123.2 1 3
3 − 4 124. 2
35 125.
4
15126.
4
2 3 3
− 127.4
3128.
4 ln
3
129.ln3
2 130.
11
4 ln 2
3 − 131.e3 −e2 132.1ln6
2 5 133.1 ln 16+
134.3 ln 2 − 135.ln 2 1ln 7
3
− 136. 7
24 137.
3
ln 2 ln 3 5
−
138.20 4 ln3
7
+ 140.13 4 ln3
2 + 2141. 2 2 3
3
− + 142.1ln3
4 7
143.1ln 2
2 144.2 4 ln 2 + 145.1
ln 3
2 146.
3
9 45
2
8 − 64 147.2
3
148. 5
ln
4149.
2
3 150.
3 ln
2 151.
9 2 ln
4 − 3152 34
27 153.− +1 ln 4
4 e
π + − 155.1
ln 2
2 156.4 2 3− 157.1 1
ln 2
2 − 2 158.44
ln 5
15 −
159. 5
ln
4 160
1 1
ln 2
2 − 2 161.4
3 162.
9 2 ln
4 − 3 163.
3 2
e −e
164.3
ln 2
2 + 165.116
135166.1 cos1− 167.ln 2 1 + 168.2
ln 2 3
169.e− e170.1
2171 −ln 2172 15
64 173.
1 72
− 1 74.ln 2 175. 15
4
−
ln 2 ln 3
4
− + 177.1
6 178.
45
4 179.2 180.
1 2 2
3 3
− +
181.1 1
2 − 2e 182.ln 3 183.1 1
2e− 2 184 1
24185.
13
24 186.2 3 ln 2−
187.1209
28 188.
506 15
− 189.ln 2 190.13
3 191.
3 18
π 192.1
2 4
π +
193. 1
8 4
π − 194. 3
9
π 195.
4
π 196.
6
π 197.2 3
9
π 198. 1
8 4
π −
199 3 2
4 3
π
+ 200.1 1 2
4 + 4e 201. 1
ln 2 2
− + 202.3 1 2
4 + 4e 203.3
2
204.− + 2 3 ln 3 205. 1
2
π − 206.
1207.1 2 3
9 + 9e 208. 2
2
π − 209.5
9
210.
4
π
211.8 2 3
9 − 9e 212.− + 8 18 ln 3 213 3 1
ln 3 4 ln 2
214. 15 1
ln 2
256 − 64 215
2 1
4 16
π
1 ln 2 3
π
4 8
π
− +
3 ln 2 ln 3
2
− 219. 1
ln 2 2
− + 220.5 3 2
4 − 4e 221.0
222.− + 14 24 ln 3223.4 2 − e224.11 3 2
4 + 4e 225
2
1 3
4 − 4e
226 4 8 3
9 + 9e 227.4228. 1
ln 2 2
− + 229 3 8 ln 2
4 ln 2
− + 230. 1 2
1
2e
− +
ln 3
12 4
π
ln 2 ln 3
12 18 2
2 2e
π
− +
234 4 2 1
ln 3 ln 5
5 + − 5 2 235 5 3 2
4 − 4e 236.e 237.1238.π − 2
239.π − 3240.3 1 2
2 + 2e 241 3 15 6
4 4e
− + 242 3 −e243. 1
ln 2 2
−
244.2245.3
4246.
2
3 1
2 − 2e 247 15
2 ln 2
4 + 248.1 1
2 2e
π
+
249 1 1
4e+ 4e250.3 +e2251.1
4252.−2253.1254. 7
8 ln 2 2
− +
255.2e 256.2 − 2257. 1 2
1 ln 2 2
+ 258 3 1 2
4 4e e
ln 2 ln 1
2
e
− + + 260.e2 + ln 2261.
3 2 3
π
2 2
3 − +e e
263 1 2 1
2
4 8 2
π
− + 264.1 ln 2 − 265.5 1 2
4 + 4e 266.5 +e2267.3 1
2 −e
268.1 2 + e2269. 3
3 2 2
− 270.1 ln − (e+ 1)271.12
5 272.
1
2273.
4 3
274. 2
5 4
π
− + 275 2 ln + (e+ 1)276.2 2
3 277.
1
2 2
π −
π π
+ −
4
27280
ln 2
2e 2e
− + + 281 10
3
4 ln 2
2 ln 3
− 283 2016
ln 2
2015 2
π + − 284.1 2 ln 2 − 285.1 1
ln 3
2 + 2
1 ln 3 2 2
2 2
π
− + + + 287.1 ln + (e+ 1)288.2e
2 ln 2
π + + − 290.1
ln 2
π
− 291.58
3 292
1 5 ln
4 3
293. 1 1 2
5 5e π
− + 294. 3
ln
2295.
7 4 ln
3 + 5296. 3
4 ln 2 2
− +
297 173
16 ln 2
20 + 298 4
27299.3 2 ln 2− 300 118
405 4
π +
