SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNGTRƯỜNG THPT CHÍ LINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2014 Môn Thi : TOÁN Lần thứ 1 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.. b Viết phương trình tiếp tuyến
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT CHÍ LINH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2014
Môn Thi : TOÁN
Lần thứ 1
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề gồm 01 trang
Câu I ( 4,0 điểm) Cho hàm số
3 2
6
x
y= − x − mx+ 1) Với 1
2
m= a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
2) Tìm các số thực m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu trên [-1;1].
Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình sau
1)
sinx-cos3 2cos 2 cos
2 sin 2
x
+
=
2)
Câu III (2,0 điểm) Giải các bất phương trình sau
3
1) log (2x+ − +8) log (24 2− x+ ) 0.≤
.
Câu IV (2,0 điểm) Tính các tích phân
1) 2
0
(x 2) cosxdx
π
−
0
4 2
x dx
−∫ + +
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3 3 2 2
2 2
x y
− + + + − + =
+ − + =
Câu VI (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·ABC=60 ,0 cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 60 0
1) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD
3) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD theo a
Câu VII (2,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(4;2), B(-3;1), C là điểm có hoành độ dương nằm trên
đường thẳng (d):x+y=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC bằng 25
Câu VIII (1,0 điểm) Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người Hỏi có
bao nhiêu cách lập được tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân tổ viên
Câu IX (1,0 điểm) Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có một con đường quốc lộ Người ta xây dựng
một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh đường quốc lộ và con đường nối hai nông trường tới nhà máy Hỏi phải xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy như thế nào để cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất
Câu X (1,0 điểm) Cho các số thực a b, thoả mãn 5
3
a b a
+ ≥
≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a 2b
P= + − −a b
………….………Hết………
Trang 2Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:……….
Chữ kí giám thị 1:……….………… Chữ kí giám thị 2:………
Híng dÉn chÊm
I:(4,0 đ)
1.a)2,0đ
a)khi
3 2
3
x
m= ⇒ =y − x − +x
1 Tập xác định: D= ¡
2 Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cực của hàm số
3
2 3
x
0,25
* Lập bảng biến thiên 2
9
1 ( 1)
9
2
= − ⇒ − =
= ⇒ = −
0,25
bảng biến thiên
9 4 y'
-1
- ∞
- 9 2
+ ∞
+ ∞ 2
- ∞
y
x
0,5
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞ − ; 1) và (2;+ ∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2);
0.25
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 =>yct= , Hàm số đạt cực đại tại x=0=>ycđ= 0,25
3 Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2)
0,5
Trang 3ĐTHS đi qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2)
1.b)1,0đ Tập xác đinh : D= ¡
3 2
3
x
y= − x − +x
2
x
y = − x− y = − y = −
0,5
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là '(1)( 1) (1)
y=y x− +y
0,25
=-3(x-1)- 11
4 =-3x
1 4
2.(1,0 đ)
Tập xác đinh : D= ¡ ;
2
x
y = − x− m
Do y’ là tam thức bậc hai nên hàm số có cực đại, cực tiểu trên [-1;1]
0,25
2
x
⇔ − − = có hai nghiệm phân biệt , 2
4 4
m
có hai nghiệm phân biệt , ⇔đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số
2 ( )
4 4
f x = − tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ,
0,25
4
2
-2
-4
I
-9 8
1 2
-5 2
-9 2
9 4 y
x 7
2
2 O
-1
f x ( ) = x
3
2
-3 ⋅ x 2
4 -3⋅ x
2
Trang 4Lập bảng biến thiên ta được - 0,5
II.(2,0đ)
1.(1,0đ)
Giải phương trình
s inx-cos3 2cos 2 cos
2 sin 2
x
=
− +
(1) Điều kiện:
¢
1
1
π
−
0,25
(1) 2 sin 2 s inx-cos3 2cos 2 cos
2 sin 2 s inx-cos3 cos os3
0,25
2 sin 2 2 sin
4
2
4 4
sin 2 sin
2 4
4
π
π
π
0,25
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là
Thay vào (2) ta có
0,25
(thỏa mãn)
0,25
Trang 5Với 0,25
II.(2,0đ)
1.(1,0đ)
Giải các bất phương trình sau 3 1 1 2
3 1) log (2x+ − +8) log (24 2− x+ ) 0 (1)≤
Điều kiện : (1)
0,25
0,25 0,25 0,25 2.(1,0đ)
Điều kiên :
0,25
(3)
0,25
Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là T=[1;
0,25
IV.(2,0đ)
1.(1,0đ)
Đặt U dV= −x c xos dx2 V dU =sinxdx
⇒
0,25
Trang 60 (x 2) cosxdx (x 2)sinx sinxdx
π
0,25
2 0
π
π
3 2
π
Nếu x=-1 thì t=
Nếu x=0 thì t=
0,25
0,25
0,25
V.(1,0đ) Giải hệ phương trình
0,25
Trang 7Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là (-3;-1), (3;5).
VI.(4,0đ)
O M
H
600
600
a
D
C B
A S
1.(1,0đ) SA⊥(ABCD) =>AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên
(SC ABCD,( )) (= SC AC, )=SCA=60
0,25
tam giác ABC có AB=BC=a, ·ABC=60 ,0 nên tam giác ABC đều => AC=a trong tam giác SAC vuông tại A nên 0
.tan 60 3
0,25
ABCD ABC
a
Thể tích S.ABCD là . 1 3
S ABCD ABCD
a
2.(1,5đ)
Trong tam giác vuông SAH có 2 2 15
2
a
SH = SA +HA =
0,25
Do SA⊥(ABCD)⇒SA CD CD⊥ , ⊥AH ⇒CD⊥SH
Diện tích tam giác SAD là 1 . 2 15
SCD
a
S∆ = SH CD=
0,25
.
SCD
SAD
∆
∆
Trang 8Do AB//(SCD) nên d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))= 15
5
Kẻ Cx//SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD
0,25
Thật vậy Cx//SA ⇒Cx⊥(ABD)⇒OC⊥(ABD) mà CA=CB=CD nên OA=OB=OD mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA=OS ⇒
OA=OB=OD=OS ⇒O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r=OA
0,5
dẽ thấy MACO là hình chữ nhật nên 2 2 2 3 2 7
VII.(2,0đ) uuurAB=(-7;-1) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là nr= − ⇒(1; 7)
phương trình AB: 1 x 4( − −) (7 y 2− = ⇔ −) 0 x 7y+ =10 0
B A
C
I
2 2
( ) ( ; ) ( 0)
| 7 10 | | 8 10 |
50
C d C c c c
∈ ⇒ − >
+
0,5
diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta có
5
2
ABC
c c
c
∆
=
= − <
0,5
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:
( ) :C x +y −2ax 2− by c+ =0 (a + − >b c 0)
Do A, B, C nằm trên (C) nên ta có hệ
2 2
2 2
0,5
Trang 91 2 20
a b c
=
⇔ = − ⇒
= −
Phương trình đường tròn (C): 2 2
x +y − x+ y− =
0,5
VIII.(1,0đ) Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng trong 3 kĩ sư ⇒số cách chọn là 3 Được 1 tổ trưởng 0,25
Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhân⇒số cách chọn là 7 Được 1 tổ
trưởng, 1 tổ phó
0,25
Chọn 3 công nhân làm tổ viên trong 6 công nhân⇒số cách chọn là số tổ hợp chập
3 của 6 là 3
6
C
0,25
⇒số cách lập tổ công tác thỏa mãn đề bài là 3
6
IX.(1,0đ) Giả sử A, B là hai địa điểm tập trung nguyên liệu của hai nông trường chăn nuôi
bò sữa, đường quốc lộ là đường thẳng d, M là vị trí xây dựng nhà máy trên đường quốc lộ Xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy để cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất là ta phải tìm điểm M và đường MA, MB sao cho MA+MB ngắn nhất
0,5
Do A, B nằm về hai phía với d nên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng
0,25
Vậy phải xây dựng con đường nối hai địa điểm tập trung nguyên liệu A, B của hai nông trường và địa điểm xây dựng nhà máy sản xuất sữa M bên đường quốc lộ sao cho A, M, B thẳng hàng
0,25
X.(1,0đ) Xét f x( ) 2= x− −x (2 ln 2 1)(m − x m− ) ,m>0
'( ) 2 ln 2 1 (2 ln 2 1); '( ) 0x m
Lập bảng biến thiên ta được
( ) 2m 2x (2 ln 2 1)(m ) 2m , 0(*)
f x ≥ − ∀ ⇔m x − −x − x m− ≥ −m ∀x m>
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=m
0,5
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
2 (2 ln 2 1)( 3) 2 3 (1)
2 (2 ln 2 1)( 2) 2 2 (2)
a b
Cộng các vế của (1)(2) ta được
2 3 2 2 (2 ln 2 1)( 3) (4ln 2 1)( 2) ,
0,25
7 (4 ln 2 1)( 5) 4( 3) ln 2 7
Khi a=3,b=2 thì P=7 nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 7
0,25
