TÀI LIỆU BAO GỒM NHỮNG BÀI TOÁN TRỌNG TÂM PHẦN XÁC XUẤT GIÚP CHO CÁC BẠN HỌC SINH NẮM BẮT BÀI HỌC MỘT CÁCH CÓ HỆ THỐNG VÀ HIỆU QUẢ NHẤT .MONG RẰNG BỘ TÀI LIỆU SẼ GIÚP ÍCH CHO CÁC BẠN HỌC SINH,CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT các bài tập chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1 [ĐVH]: Ngày 06/04/2015 Bộ GD & ĐT bất ngờ ra công văn gây nhiều tranh cãi, làm xôn xao
cộng đồng mạng “ Đối với kỳ thi THPT Quốc gia, tất cả thí sinh đều phải thi 8 môn gồm Toán học, Vật lý,
Hóa học, Sinh học, Tiếng Anh, Ngữ Văn, Lịch sử và Địa lý Cụ thể, mỗi thí sinh sẽ phải làm 2 bài thi tổng hợp đánh giá năng lực từ 8 môn nêu trên, mỗi bài thi gồm 4 môn ” Có nhiều ý kiến đã được đưa ra
và một trong số đó là của GS Ngô Bảo Châu “ Theo tôi, đây là một phương án tuyển sinh hay mang tính
chất đột phá, đặc biệt hai môn Toán học và Lịch Sử cần nằm trong một bài thi ” Còn bạn, bạn nghĩ sao
khi đọc được công văn này Hãy tính xác xuất để ý kiến của GS Ngô Bảo Châu được thực hiện
Lời giải:
Mỗi bài thi gồm 4 môn, chia 8 môn thành 2 bài thi có 4 4
8 8 4 70
C C − = cách
Chọn 2 môn vào 1 trong 2 bài thi có 2 cách
Chọn 2 môn vào bài thi có 3 môn để lập thành một bài thi hoàn chỉnh có C8 22− =15 cách
Do đó số cách chọn để 2 môn cùng nằm trong một bài thi là 2.15=30 cách
Vậy xác suất cần tìm là 30 3
70=7
Ví dụ 2 [ĐVH]: Để chào mừng ngày Quốc tế Phụ nữ Việt Nam 20 – 10, một trường THPT Chất Lượng
Cao có tổ chức một cuộc thi để tuyển chọn ra các bạn nữ xinh đẹp Mỗi khối có 4 lớp từ A1 đến A4, mỗi lớp sẽ có một bạn nữ đại diện đi thi Trong ngày khai mạc cuộc thi, bất ngờ có sự xuất hiện của hai người
đẹp nổi tiếng là Hoa hậu Kỳ Duyên và Á hậu Huyền My Chelsea Vòng thi thứ nhất, các người đẹp
được chia thành 2 đội hoàn toàn bí mật và số lượng người đẹp của hai đội là như nhau Chuyện kể rằng,
Hoa hậu Kỳ Duyên đã tiên tri ba người đẹp của các lớp 12A1, 11A1, 10A1 sẽ cùng một đội còn Á hậu Huyền My Chelsea cho rằng ba người đẹp của các lớp 12A2, 11A3, 10A4 sẽ cùng một đội Còn bạn, bạn
có dự đoán, tiên tri gì Hãy tính xác suất để lời tiên tri của Hoa hậu Kỳ Duyên xảy ra
Lời giải:
Mỗi đội có 6 người đẹp, chia 12 người đẹp thành 2 đội có C C126 12 66− =924 cách
Chọn 3 người đẹp vào 1 trong 2 đội có 2 cách
Chọn 3 người đẹp vào một đội có 3 người đẹp để lập thành một đội hoàn chỉnh có C12 33− =84 cách
Do đó số cách chọn để 3 người đẹp cùng đội là 2.84 168= cách
Vậy xác suất cần tìm là 168 2
924 =11
Ví dụ 3 [ĐVH]: Một lớp đại học có 80 học sinh và bạn ĐVH có số thứ số 69 Một giáo viên chọn ngẫu nhiên 5 học sinh lên hát bài “ Không phải dạng vừa đâu” của Sơn Tùng MTP Tính xác suất để 4 bạn học sinh được chọn có số thứ tự nhỏ hơn và 1 bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn ĐVH
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ XÁC SUẤT
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Lời giải:
Chọn 5 học sinh trong 80 bạn có: C805 cách chọn
Chọn 4 bạn học sinh có STT nhỏ hơn 69 ta có: C684 cách chọn
Chọn 1 bạn có STT lớn hơn 69 ( từ 70 đến 80) có: C111 cách chọn
Vậy xác suất cần tìm của bài toán là:
4 1
68 11 5 80
8958235 24040016
C C p
C
= = là giá trị cần tìm
Ví dụ 4 [ĐVH]: Trong một giải cầu lông, có 8 vận động viên tham dự trong đó có Nam và Việt Các vận
động viên được chia thành hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người Giả sử việc chia bảng được thực hiện
một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để hai vận động viên Nam và Việt ở trong cùng một bảng đấu
Lời giải:
+) Trước tiên là tìm số cách chia 8 VĐV thành 2 bảng A và B, mỗi bảng 4 VĐV
• Chọn 4 trong 8 VĐV ta có C84 cách
• Cho 4 VĐV này vào 1 trong 2 bảng A hoặc B ta có 2 cách
Như vậy số cách là 2.C84 =140
+) Sau đó ta tìm số cách chia để Nam và Việt cùng 1 bảng
• Chọn 2 VĐV Nam và Việt
• Chọn 2 trong 6 VĐV còn lại để ghép với Nam và Việt thành 1 bảng ⇒ có C62cách
• Cho 4 VĐV vừa chọn trên 1 trong 2 bảng A hoặc B ta có 2 cách
Như vậy số cách là 2 C 26
Vậy xác suất cần tìm là
2 6 4 8
2 3
2 14
C P C
Ví dụ 5 [ĐVH]: Có 3 bó hoa Bó thứ nhất có 8 bông hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có
6 bông hoa huệ Chọn ngẫu nhiên 7 bông từ ba bó hoa trên để cắm vào một lọ hoa Tính xác suất để trong
7 bông được chọn có số bông hoa hồng bằng số bông ly
Lời giải:
Số cách chọn 7 bông hoa từ 21 bông hoa (3 bó hoa) là C217 =116280
Gọi số bông hoa hồng, hoa ly và hoa huệ lần lượt là a, b và c
Theo bài ta có : ( ) ( { ) ( ) ( ) }
7
a b c
b c
+ + =
≤ ≤
Nên số cách để chọn ra 7 bông mà số bông hoa hồng bằng hoa ly là C C C81 17 65+C C C82 72 63+C C C83 73 61 =23856 Vậy xác suất cân tìm là 23856 994
116280 4845
Ví dụ 6 [ĐVH]: Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi trong một ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi Bạn Thủy đã học thuộc 8 câu trong ngân hàng đề thi Tính xác suất để bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất hai câu đã thuộc
Lời giải:
Gọi a số câu trong đề Thủy học thuộc, b là số câu mà Thủy không học thuộc ⇒a+ =b 4
Số cách tạo ra đề thi 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi là C154 =1365
Khi Thủy rút được ngẫu nhiên đề thi mà có ít nhất 2 câu đã học thuộc thì a≥2mà a+ =b 4nên các khả năng có thể xảy ra là ( ) ( ) ( ) ( )a b; ∈{ 2;2 ; 3;1 ; 4;0 }
Thủy học thuộc 8 câu nên số câu Thủy không thuộc là 7 nên số khả năng xảy ra trường hợp trên là
2 2 3 1 4 0
8 7 8 7 8 7 1050
Trang 3Vậy xác suất xảy ra trường hợp trên là 1050 10.
1365 13
P= =
Ví dụ 7 [ĐVH]:Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số từ
M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền
trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ)
Lời giải:
Xét các số có 9 chữ số khác nhau:
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên
- Có A98 cách chọn 8 chữ số tiếp theo
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9.A98= 3265920
Xét các số thỏa mãn đề bài:
- Có C54 cách chọn 4 chữ số lẻ
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách xếp
- Tiếp theo ta có 2
4
A cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n(A)=C54.7.A42.6!=302400
Vậy xác suất cần tìm là
54
5 3265920
302400 )
(A = =
Ví dụ 8 [ĐVH]:Đề cương ôn tập cuối năm môn Toán lớp 12 có 40 câu hỏi Đề thi cuối năm gồm 3 câu
hỏi trong số 40 câu đó Một học sinh chỉ ôn 20 câu trong đề cương Giả sử các câu hỏi trong đề cương đều
có khả năng được chọn làm câu hỏi thi như nhau Hãy tính xác suất để có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi cuối năm nằm trong số 20 câu hỏi mà học sinh nói trên đã ôn
Lời giải:
Không gian mẫu Ω có Ω =C403 =9880 (phần tử)
Gọi A là biến cố “có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi nằm trong số 20 câu đã ôn”
Ta thấy xảy ra một trong hai TH sau :
• TH1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi trong 20 câu đã ôn
• TH2: Trong đề thi có đúng 3 câu hỏi trong 20 câu đã ôn
Do đó 2 1 1
20 20 20 1330
Ω = + = (phần tử)
Vậy xác suất cần tìm ( ) 1330 7
9880 52
A
P A Ω
Ω
Ví dụ 9 [ĐVH]:Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ Tính xác suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: ( ) 5
Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5 tấm thẻ mang
số chẵn và không chia hết cho 4
Gọi A là biến cố cần tính xác suất Ta có: ( ) 3 1 1
10 5 5 3000
Vậy, xác suất cần tính là: ( ) ( ) ( ) 3000 125
15504 646
n A
P A
n
Ví dụ 10 [ĐVH]:Chị bán hoa có 14 bông hoa hồng, trong đó có 6 bông hoa màu đỏ, 5 bông hoa màu hồng và 3 bông hoa màu vàng Trong ngày Valentine 1 anh chàng chọn 4 bông hoa để tạo thành một bó
Trang 4Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
hoa trong 14 bông hoa trên để tặng bạn gái của mình Tính xác suất để 4 bông hoa được chọn không có quá 2 loại hoa khác màu
Lời giải
Số cách chọn 4 bông hoa từ 14 bông hoa là: C144 =1001
Số cách chọn 4 bông hoa có đủ cả 3 màu được tính như sau :
Hoa đỏ có 2 bông, hoa hồng và hoa vàng có 1 bông Số cách chọn là C C C62 51 31=225
Hoa hồng có 1 bông, hoa đỏ và hoa vàng có 1 bông Số cách chọn là C C C61 52 31=180
Hoa vàng có 2 bông, hoa đỏ và hoa hồng có 1 bông Số cách chọn là C C C61 51 32 =90
Vậy theo quy tắc cộng có 225 180 90+ + =495cách chọn mà 4 bông hoa có đủ cả 3 màu
Gọi A là biến cố: “ 4 bông hoa đó không có quá 2 loại hoa khác màu”
Ta có: Ω =A 1001 495− =506 Do vậy ( ) 506 46
1001 91
p A = =
Ví dụ 11 [ĐVH]: Trong giải bóng đá tranh cúp C1 châu Âu có 16 CLB bóng đá tham dự và được chia thành 4 bảng khác nhau mỗi bảng 4 đội, trong 16 đội bóng có 4 đại diện nước Anh, 3 đại diện nước Tây Ban Nha, 3 đại diện nước Đức và 6 đội bóng thuộc các các nước khác Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 4 đội bóng để xếp hạt giống Tính xác suất để 4 đội bóng đó có 1 đội nước Anh, 1 đội Tây Ban Nha, 1 đội nước
Đức và 1 đội thuộc nước khác
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: C 164
Số cách chọn 4 đội bóng gồm 1 đội nước Anh, 1 đội Tây Ban Nha, 1 đội nước Đức và 1 đội thuộc nước khác là: 4.3.3.6=216
Do đó xác suất cần tìm là: 4
16
216 54 455
p C
Ví dụ 12 [ĐVH]:Trong kỳ thi Tiếng Anh có 50 câu trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D Mỗi
câu trả lời đúng được cộng 2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm, bạn Trang vì học rất kém môn Tiếng Anh nên bạn chọn random cả 50 câu trả lời Tính xác suất để Trang đạt được 10 điểm trong kỳ thi trên
Lời giải
Gọi x là số câu trả lời đúng vậy 50−x là số câu trả lời sai
Ta có số điểm của Trang là: 2x−(50− =x) 10⇔3x=60⇔ =x 20
Do vậy bạn Trang trả lời đúng 20 câu và trả lời sai 30 câu
Xác suất để đúng 1 câu là: 0, 25 và xác suất trả lời sai là 0, 75
Vậy xác suất để Trang đúng 20 câu là: 20 ( ) (20 )30
50 0, 25 0, 75
C là giá trị cần tìm
Ví dụ 13 [ĐVH]:Lớp 12C có 40 bạn học sinh, trong đó có 25 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ
Nhân dịp ngày nghỉ lễ 30/4 và 1/5 nhà trường tổ chức thi đấu kéo co trong đó mỗi lớp gồm 9 thành viên
tham gia Tính xác suất để lớp 12C chọn ra 9 bạn lập đội đi thi kéo co mà trong đội đó có cả các bạn nam
và bạn nữ tham gia
Lời giải
Chọn ra 9 bạn trong 40 bạn để lập đội có C cách chọn 409
Xét trường hợp chọn ra 9 bạn và 9 bạn được chọn chỉ có nam hoặc nữ có : C259 +C159 cách chọn
Vậy có 9 ( 9 9 )
40 25 15
C − C +C cách chọn ra 9 bạn đều là nam và nữ
Vậy xác suất cần tìm của bài toán là : 9 ( 9 9 )
40 25 15 9 40
0, 9925
p
C
Ví dụ 14 [ĐVH]: Lớp 10 A gồm 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Trong buổi họp đầu 5
năm học thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 bạn để làm cán sự lớp gồm Lớp trưởng, quản ca và bí thư Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào
Lời giải
Trang 5Chọn 3 học sinh từ 40 học sinh có C403 cách chọn
Chọn 1 cặp anh em sinh đôi trong 4 cặp anh em sinh đôi có: C14 cách chọn
Chọn 1 bạn học sinh còn lại trong 38 bạn có: C381 cách chọn
Số cách chọn 3 học sinh mà trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi là: C C381 41 cách
Vậy số cách chọn ra 3 bạn học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là:
40
9842 259 9842
260
C
Ví dụ 15 [ĐVH]:Một bạn học sinh có 3 loại tài liệu ôn thi đại học, trong đó bạn có 8 cuốn tài liệu toán hoc, 7 cuốn tài liệu vật lý và 3 cuốn tài liệu hoá học Bạn quyết định tặng cho bạn gái của mình 4 cuốn tài liệu để giúp bạn mình học tốt hơn để cùng nhau bước vào cổng trường đại học Tính xác suất để 4 cuốn tài liệu được chọn có đủ cả 3 môn Toán, Lý, Hoá
Lời giải
Gọi A là biến cố: Chọn 4 cuốn tài liệu có đủ cả 3 môn
Ta có: Ω =C184 và Ω =A C C C82 71 31+C C C81 72 31+C C C81 17 32
Do vậy xác suất cần tìm là: 7
17
A
p= Ω = Ω
Ví dụ 16 [ĐVH]:Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 người ta lập ra các số có 3 chữ số, gọi S là tập hợp các số
có 3 chữ số mà tổng các chữ số của số đó bằng 7 Chọn ra 2 số có 3 chữ số được lập từ 7 số đã cho, tính
xác suất để 2 số được chọn đều thuộc tập hợp S
Lời giải
Bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm {0; 1; 6} (a), {0; 2; 5} (b), {0; 3; 4} (c), {1; 2; 4} (d)
- Mỗi bộ trong các bô (a), (b), (c) có số cách lập là: 3! 1.2.1− =4 số (trừ chữ số 0 đứng đầu) suy ra 3 trường hợp đầu có 12 số được lập
- Bộ (d) có 3! = 6 số được lập
Vậy có 12 + 6 = 18 số được lập
Mặt khác có: 6.6.7=252 số có 3 chữ số được lập từ 7 số trên
Khi đó xác suất cần tìm là:
2 18 2 252
17 3514
C p C
= = là giá trị cần tìm
Ví dụ 17 [ĐVH]:Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số từ
tập M, tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc chữ số
đứng sau luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước
Lời giải
Tập M gồm 9A94 =27216 số
+) Xét trường hợp số có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước: Số đã cho không thể có chữ số 0, với mỗi cách chọn ra 5 chữ số khác 0 và khác nhau, ta chỉ lập được duy nhất 1 số cần tìm Vì vậy có
5
9 126
C = số
+) Xét trường hợp số có chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng trước:
Số đã cho có thể có chữ số 0, với mỗi cách chọn ra 5 chữ số khác nhau, ta cũng chỉ lập được duy nhất 1
số cần tìm Vì vậy có C105 =252 số
Vậy xác suất cần tìm là 126 252 1
27216 72
P= + =
CHÚC CÁC EM CÓ MỘT KÌ THI THÀNH CÔNG!