Các bài toán chọn loc về PT ,BPT mũ và lô ga rít.. 8 Chứng minh rằng với mọi x thuộc R ta có: Khi nào đẳng thức xảy ra?. HD : chuyển vế khảo sát hàm... HD mũ hóa dai số hóa bài toán... H
Trang 1Các bài toán chọn loc về PT ,BPT mũ
và lô ga rít
3
2
3x+ log x+ − m− =
1) Giải phơng trình (2) khi m = 2
2) Tìm m để phơng trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
1;3 3
HD : đặt t = log 2
3 x khảo sat hàm số 2) Giải bất phơng trình: logx(log3(9x - 72)) ≤ 1
HD : mũ hóa tơng đơng
3) Giải hệ phơng trình:
= + +
−
= +
y
y y
x
x x x
2 2
2 4
4 5
2
1
2 3
HD : thế y từ pt sau vao Pt trớc
4) Giải bất phơng trình: ( 1) 0
2
1 − 2 − + >
x
HD : biến đổi tơng , chia khoảng bỏ | |
5) Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn:
2
+
−
≤ +
HD : đánh giá hai vế
6) ) Giải phơng trình: 2x2−x −22+x−x2 =3 .
HD : Đặt ẩn phụ t =2x2 −x
7) Giải hệ phơng trình: ( )
= +
=
−
−
25
1 1
2 2
4 4
1 y x
y log x
y
log
HD : tìm quan hệ bậc nhất x và y thế vào pt sau
8) Chứng minh rằng với mọi x thuộc R ta có:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
HD : chuyển vế khảo sát hàm
Trang 29) Giải hệ phơng trình:
( )2 3
HD : tìm quan hệ x và y thay vào pt đầu
10) Chứng minh rằng: với mọi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
y x a
HD : thế và xét hàm
11) Giải bất phơng trình: log (4x 4) log (22x 1 3.2x)
2
1 2
HD : mũ hóa
12) Giải phơng trình: (x ) log (x 1) log ( )4x
4
1 3 log
2
1
2
8 4
HD : đa về cùng cơ số làm mất lô
=
−
− +
=
−
− +
3 5 3 2
log
3 5 3 2
log
2 3
2 3
x y y
y
y x x
x
y
x
HD: Mũ hóa hệ đx loại 2
14) Giải hệ phơng trình:
= +
=
3 2
2x y
x
y xy log y
log
HD : tìm quan hệ giữ x và y
15 ) Giải bất phơng trình: 15.2x+1 +1≥ 2x −1+2x+1
HD : đạt t = 2x
2 1
2
2 x −log x+m=
khoảng (0; 1)
HD : đặt t = log2x xét hàm
17 ) 4x− x2−5 −12.2x−1− x2−5 +8=0.
HD : đặt t=4x− x2− 5
18) Giải bất phơng trình: ( 1) (2 2) 3(4 ) 0
3
1 3
1 x− +log x+ +log −x <
log
HD : đa vè cùng cơ số mũ hóa
Trang 319) Cho phơng trình: ( 2 1) ( 2 1) 1 0
2 2
= +
− +
tham số)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
HD : đặt t = ( 2 +1)x2
20) log4(log2x) +log2(log4x) =2
Hd: mũ hóa >
21) ( )2,5 x −2( )0,4 x+1 +1,6<0.
HD : đa về cùng cơ số dăt ẩn phụ
22) Cho phơng trình: (3+2 2)tgx +(3−2 2)tgx =m
1) Giải phơng trình khi m = 6
2) Xác định m để phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt nằm trong
khoảng −π2;π2
HD : đặt t= ( 3+ 2 2)tanx
23) Giải bất phơng trình: 2( log 2 x )2 +xlog 2 x ≤ 4
HD : đặt ẩn phụ
24) ) Giải bất phơng trình: ( ) 43
16
1 3 1
3
4
1
4 x − log x − ≤
HD : rút gọn bt lo sau , dặt ẩn phụ
25) ) Cho bất phơng trình: log5(x2 +4x+m)−log5( )x2 +1 <1
Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (2 ; 3)
HD : làm mất lô dại số bài toán
26) Giải bất phơng trình: ( ) ( ) 1
3 3
1
3 10 3
− +
+
+
−
x x
x
≥ 0
3
) 3 10
+
x
Trang 427) ) Giải phơng trình: (x+1)log23x+4xlog3x−16=0
HD : đăt t = log3x pt hai biến
28) Giải hệ phơng trình: ( )
= +
= +
2 2 3
2 2 3
x y log
y x log y
x
HD : mũ hóa
29) Giải phơng trình: 4x2 +x.2x2+1 +3.2x2 >x2.2x2 +8x+12.
HD : đa về dạng tích
2 1
2
2x+log x − =m log x −
log
có nghiệm thuộc khoảng [32; +∞)
HD : đặt t = log2 x
31) Giải bất phơng trình: ( ) (lg 2 1)
2
1 3
lg x2 − > x2 − x+
HD : mũ hóa
32) Giải phơng trình: 32x2+2x+1 −28.3x2+x +9=0.
HD : đăt ẩn phụ
33) Giải bất phơng trình: ( )3
8
2
4 x +log x−1
HD : mũ hóa
34)
(3 2 4 2) 1 3(3 2 4 2)
9 x + x+ + >log x + x+
HD : đặt ẩn phụ
35) Tìm t để phơng trình: −x3 +3x2 −2 −log2t =0 có 6 nghiệm phân biệt
HD khảo sát hàm
36) Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số m:
2log3x−log3 x− −log3m=
HD mũ hóa dai số hóa bài toán
Trang 537) Giải hệ phơng trình:
= +
=
−
5
1152 2
3
2
2 x y log log
y x
HD : mũ hóa , lo ga rit hóa để dại số hóa bài toán
38) Cho x, y là hai số thực dơng khác 1
Chứng minh rằng nếu: logx(logyx) =logy(logxy) thì x = y
HD : dùng tính đ điệu
39) Giải bất phơng trình: logx−1(x+1) >logx2−1(x+1).
HD : biến đổi lô thuws2 đặt ẩn phụ
40) ) Giải bất phơng trình:
3 2
3 3 3
2
2x−log +x log x −log x ≥x − +xlog x
HD : đăt t = log 3x đa về hai biến
41) Giải phơng trình: ( 2+ 3) (x + 2− 3)x =4.
HD : đăt ẩn phụ
42) Chứng minh rằng với ∀x ≥ 0 và với ∀α > 1 ta luôn có:
x
xα +α−1≥α Từ đó chứng minh rằng với ba số dơng a, b, c bất kỳ thì:
a
c c
b b
a a
c c
b
b
a33 + 33 + 33 ≥ + +
HD : khảo sát hàm
43)
2 2
+
x log
x log x
log x log x
HD : biến đổi tơng và đặt ẩn phụ
44) Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số a:
a a
a +2x + −2x = .
Trang 6HD : đăt ẩn phụ dại số bài toán
45) Giải phơng trình: 2x−1 −2x2−x =(x−1)2 .
HD : chia khoang
46) Giải bất phơng trình: 1+logx2000 <2.
Hd : CHIA KHOảNG
47) Giải bất phơng trình: 0
1 3 2 5
5 lg
<
+
−
−
+
x x
x
x
HD : xét hai TH
48) Giải phơng trình: 4lg( 10x) −6lgx =2.3lg(100x2) .
HD : biến đổi tơng và dại số hóa bài toán
49) Giải phơng trình: 4x2−3x+2 +4x2+6x+5 =42x2+3x+7 +1.
HD : đặt ẩn phụ
50) Giải phơng trình: log2(x2 +3x+2)+log2(x2 +7x+12)=3+log23
HD : mũ hóa dại số hóa bài toán
51) Với những giá trị nào của m thì phơng trình:
1 5
2
+
−
=
x − x+ m m có bốn nghiệm phân biệt.
HD : khảo sát hàm số
2
1 2 6
5
3
1 3
1
2
3 x − x+ +log x− > log x+
HD : đại số hóa bài toàn
53) Giải và biện luận bất phơng trình sau theo tham số a: xloga ( )ax ≥( )ax 4
HD : biến đổi tơng đơng
54)
Trang 71 2
3
1
3 2− ≥ − −
x x x
x
HD : lo ga rit btoans
55) Giải phơng trình: 3x + 5x = 6x + 2
HD : khảo sat bt
56 ) Giải hệ phơng trình:
= +
+
= +
+
= +
+
2 2 2
16 16
4
9 9
3
4 4
2
y log x log z log
x log z log y log
z log y log x log
HD : chính quy bài toán , đại số hóa bài toán
57)
Giải bất phơng trình: 1
2 3
2 3
−
x x
x x
HD : xét các th , biến đổi tơng đơng
58) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phơng trình:
a.9x + (a - 1)3x + 2 + a - 1 > 0 nghiệm đúng với ∀x
HD : đại số hóa bài toán xét bt tam thức bậc hai
6
2 6
m
x x
1) Giải bất phơng trình f(x) ≥ 0 với m =
3
2
2) Tìm m để: (x−61−x)f( )x ≥ 0 với ∀x ∈ [0; 1]
HD : đặt ẩn phụ đại số hóa bài toán
60) Xác định a để hệ phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất:
= +
+ +
= +
1
2
2 2
2 y
x
a x y x
x
HD : dùng tính chất đặc biệt của hệ
Trang 861) Xác định m để mọi nghiệm của bất phơng trình: 12
3
1 3 3
12 + 1 1 >
cũng là nghiệm của bất phơng trình: (m −2)2x2 −3(m−6)x−(m+1)<0
HD : đặt ẩn phụ xét bài toán tam thức bậc hai
62) Trong các nghiệm (x, y) của bất phơng trình: logx2+y2(x+y) ≥ 1 Hãy tìm nghiệm có tổng x + 2y lớn nhất
HD : đại số hóa bài toán >
63) Giải hệ phơng trình:
+
= + +
=
+
1 1
3
2 3 2
2 2
3 2
1 3
x xy x
y x y
x
HD : tìm quan hệ x và y t pt 2
64) Giải và biện luận phơng trình: (x−2)x2+2x = x−2a (a là tham số)
Lo ga rit hóa bài toán
Hd :
65) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =
1
5
5
2
−
+
−
x
x
2) Từ (C) suy ra đồ thị y =
1
5 5 2
−
+
−
x
x x
Biện luận theo m số
nghiệm phơng trình: 4t −5.2t +5 =m( )2t −1
HD : s dụng đồ thi hàm số
66) Tìm a để hệ phơng trình sau có nghiệm với ∀x:
( ) ( )
= +
+
= + +
+
1
2 1 1
2
2 2
y x
bxy
a
b
HD : s dụng tc đặc biệt của bài toán
Trang 967) Giải hệ phơng trình:
+
=
=
−
x log
x log
y y
y
2
1 2
2
2 3
3
15 3
2
HD : pp thế
68 ) Giải hệ phơng trình:
= + + +
=
−
1 1 1
2 3 9
2 2
3
2 2
y x
xy log xy
log
HD : tìm qh x và y
69) Cho a > b > 0; x > y, x ∈ N, y ∈ N Chứng minh rằng:
y y
y y x
x
x
x
b a
b a
b
a
b
a
+
−
>
+
HD : xét hàm
70 ) Tìm m để phơng trình: ( +4 )+ (2 −2 −1) =
3 1
2
có nghiệm duy nhất
HD : đại số hóa bài toán
70) 1) Tìm m để bất phơng trình: (3m +1)12x +(2−m)6x +3x <0
đúng với ∀x > 0
HD : đại số hóa bài toàn
2) Giải phơng trình: ( 7+4 3) (sinx + 7−4 3)sinx =4
HD : đặt ẩn phụ
71) 1) Tìm m để hệ sau có nghiệm:
=
− +
−
=
− +
4 4
5
1 xy )
y x (
m xy
y x
−
= +
− +
− +
+
= +
− +
1 4
2 2 4
1
3 1
2
4
2 4 4
4 4
2 2
4
y
x log x
y y
log xy
log
y x log x
log y
x
log
HD : mũ hòa bài toán
Trang 1072) Giải hệ phơng trình:
+
−
=
−
= +
y x log y
x log x
y y x
3
32
HD : đại số hóa bài toán
73) Giải phơng trình:
2
1 2
1
3 − − + =
HD : đại số hóa bài toán
74) 1) Chứng minh rằng không tồn tại m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu: m.4x + (2m + 3)2x - 3m + 5 = 0
Hd : đại số hóa bài toán
2) Giải phơng trình: (x−1)log53+log5(3x+1 +3)=log5(11.3x −9)
HD : mũ hóa bài toán
75) ) Giải bất phơng trình:
2
1 2
2
4
−
−
x
x
HD : đại số hóa bài toàn
76) Cho a > 0 Chứng minh rằng: xn + (a - x)n≥ 2
n a
2
HD : xét hàm
77) Tìm điều kiện của y để bất phơng trình sau đúng với ∀x ∈ R
+ +
−
+ +
−
+
−
1 1
2 1
1 2 1
y
y log x
y
y log x
y
y
HD : dùng tc đặc biệt của bài toán
78) ) Giải và biện luận phơng trình:
2 1
2
2 x − x+ +log x−m =x−m− x − x+
HD : dại số hóa bài toán
79) Giải bất phơng trình: ( )
(5 ) 3
35 3 >
−
−
x log
x log
a
a (a là tham số > 0, ≠ 1)
HD : chia th làm mất lo
Trang 1180) Xác định m để phơng trình sau có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 +x22 >1
:
2 1 2
2
4 x −x+ m− m +log x +mx− m =
HD : đại Số BàI TOáN
81) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
(3 2) 3 ( )2 1
HD : dùng bđt cô si
82 ) ) Giải phơng trình:
2 x +x+ +log x −x+ =log x +x + +log x −x2 +
HD : đại số hóa bài toán
( )2 x 2
x
3x
HD :dạng tích
84) Tìm m để
x x
x sin x
cos
2 2
2
1 1
3 3
2
2
1
2
+ +
−
− +
−
+
HD : xét th
85) Giải phương trỡnh: 4 2 3 2 4 2 6 5 42 2 3 7 1
+
=
+
HD : dăt ẩn phụ
1 − − >
x
3
2
9 x + x+ + > x + x+
HD : đặt ẩn phụ
87) : Cho bất phương trỡnh: (m+ 4 ) 25x2+x− ( 5m+ 9 ) 15x2+x+ 5m 9x2+x ≥ 0 (1)
1) Giải bất phương trỡnh (1) khi m=5
2) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để bất phương trỡnh (1) được nghiệm đỳng với mọi x>0
HD : đặt ẩn phụ
Trang 1288) Giải hệ phương trỡnh:
+
= +
+
= +
5
2 log log
20
log
2
5 log log
5
log
5 5
5
2 2
2
y y
x x
x y
y x
.
HD : hệ đối xứng
89) Giải cỏc phương trỡnh sau:
4
Hd: đổi cơ số
90) Giải phương trỡnh:
) 1 (
log 1 log
2
3 ] ) 1 [(
log 1
4
3 4 2 2
2 2
16
2
HD : đổi cơ số
91) Giải hệ phương trỡnh:
=
− +
= +
−
−
0 6
) (
8
1 3
) (
4 4
4
4
y x
x y
y x
y x
.
HD : đại số hóa bài toán
5 1 3
2 5 3
HD : làm dần mất lô.
93) : Giải hệ:
= +
+
−
=
−
1
) 1 )(
log (log
2 2
2 2
y x
xy x y
e
e x y
.
HD : dùng tính đơn điệu
94) : Định m để bất phương trỡnh sau được nghiệm đỳng với mọi x thụục R:
) 4 (
log )
7
7
(
2
2
2 x + ≥ mx + x+m .
Hd : dại số hóa bài toán.