CÁC BÀI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAY NHẤT

TÀI LIỆU LÀ NHỮNG BÀI TOÁN PHẦN BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAY VÀ CHỌN LỌC VÀ ĐƯỢC COI LÀ TIÊU BIỂU TRONG PHẦN BẤT PHƯƠNG TRÌNH GIÚP CÁC BẠN HỌC SINH GIÀNH ĐƯỢC ĐIỂM GIỎI MÔN TOÁN ,CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG VÀ ĐẠT KẾT QUẢ TỐT NHẤT

Trang 1

Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95

x− + x− + x − x + x− ≥ x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện x≥1

Bất phương trình đã cho tương đương với x− − +1 1 2 3x− − +2 4 9x3−24x2+10x+ ≥4 0

2 2

2

1 1 2 3 2 2 2 9 6 2 0

2 3 6 2

2 3 1 3 0

1 1 3 2 2

−

x x

x + x + − − > − − = > ∀ ≥

Hơn nữa ( )1 ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 2 0 x 2 Kết hợp điều kiện thu được x≥2

1

x

− + + − − > ∈

Lời giải

Điều kiện 3 1 2

2 2 4 0

x

≥







Nhận xét x3+2x2+2x− ≥ + + − = > ∀ ≥4 1 2 2 4 1 0, x 1 Bất phương trình đã cho tương đương với

2 2

x

x + − − > − − = > ∀ ≥

1 2 5 4 1 2 2 ( )

Lời giải:

ĐK: x∈ℝ Khi đó ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 )

1 ⇔ x+1 2+ x −2x+ +5 2x 2 x + −1 x −2x+5 ≤0

2

+ − + −

+ + − +

x x x

+ −

+ + − +

2 3 1

x

DỰ ĐOÁN CÂU BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2015

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Trang 2

Do 2 ( )2 2

7x −4x+ = −5 x 2 +6x + >1 0 nên ( )2 ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ∈ −∞ −x 1 0 x 1 x ( ; 1 ]

Đ/s: x∈ −∞ −( ; 1 ]

2 5 1

x

+

Lời giải

Điều kiện 5

2

x≥ −

Bất phương trình đã cho tương đương với

x

+ − + + + ≥ + + ⇔ + − + + + − ≥

2

2x 5 x 6 + x+ > ∀ ≥ −x

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x≥1

x− x− + x ≥ −x x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 1

2

x≥

Nhận xét x=1không thỏa mãn bài toán, do đó 2x− ≠1 x

2

2 2

1

x

−

− +

⇔ − ≥ + ⇔ − ≥ + + ⇔ − − ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm 13 3

2

x≥ +

2x + 5x+ +6 7x+ <11 4x+9 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 6

5

x≥ −

2

x x

− − + + − + + + − + <

− + + − + +

+ + + + + +

3

x

x x + x x < + < ∀ ≥ −

1 ⇔x − − < ⇔x 2 0 x+1 x− < ⇔ − < <2 0 1 x 2 Kết luận nghiệm 1− < <x 2

Trang 3

x + + + +x x x + ≥x x + x+ x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện x≥ −2

Nhận xét x= −2 thỏa mãn bất phương trình đã cho

Xét trường hợp x> −2 thì bất phương trình đã cho tương đương

+ + − + + + + − + + ≥

⇔ + + − + + + − +

2 2

2

0

2 3 6

2 2

2 3 6

2 2

x

+ −

+ + +

2 3 6

2 2

x

+ + +

3x+1 >2x +5x+1 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 1

3

x≥ −

2 2

+ + − > + + − +

⇔ + + − > − + +

⇔ + + − > + − + +

⇔ + − + − − <

3

x+ + + > ∀ ≥ −x x nên

3 1 1

Xét hai trường hợp xảy ra

• Với ( ) 1

0

x

x x

x

>



− > ⇔

<

 thì ( )

2

0

0 0

x

x x

x

x x

<



<





≥

⇔ + > ⇔ ⇔ ⇔ <

≤ <

 − − <



• Với x x( − < ⇔ < <1) 0 0 x 1thì ( ) 2

2 3 1 2

4 3 1 0

x

< <



− − >

Kết luận nghiệm 1;1

3

S  

= − 

 

15 5 2 9

2 9 3

x

Lời giải

Điều kiện 5

3

x≥ Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với

Trang 4

( ) ( )( )

2

5

3

x

− + − < + + + −

⇔ − + − < ⇔ − + − <

⇔ − + − + < ⇔ − + < −

 − + < −  − + >  > ∨ <



Vậy bất phương tình ban đầu có nghiệm là 5 3

3≤ <x

+ + − < + −

Lời giải

Điều kiện: x≥1

+ + − + − + < + −

⇔ x −x x+ < x + x+ ( 2 ) ( ) 2

⇔ x −x x+ <x + +x

⇔ x −x x+ <x − +x x+

Đặt

2

( , 0) 2



≥



= +



a x x

a b

b x

3ab<a +2b ⇔ a−b a−2b >0

- TH1:

2 2

2

 > +





>  − > + − − >

> − > +  − − >  −



x

(do x≥1)

- TH2:

2 2

2



<  − < + − − <

⇔ ⇔ ⇔ − < < + ⇔ ≤ < +

< − < +  − − <

2

= +∞ ∪  +

4x 2x− +1 45x −75x +30x<4 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 1

2

x≥ Bất phương trình đã cho tương đương với

2 2

2

4

x x

x

− − + − + − <

⇔ − − + − − + <

⇔ + −  − − <

− +

⇔ −  + − − <

− +

x

+ − − >  −  − > ∀ ≥

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm 1;1

2

S  

= 

Trang 5

Lời giải:

Điều kiện

3

2

8 0

2

1 0

x







2

− ≤ − − + − + − + + +

⇔ − ≤ − + + +

⇔ − − − − − + + + + + ≤

⇔ − − − + + ≤ ⇔ − − = + +

⇔ − − = + + ⇔ = −

Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 13 [ĐVH]: Giải bất phương trình 10x2−50x− ≥3 2x2−5x+ −2 3 x−5

Lời giải:

Điều kiện

2 2

10 50 3 0

25 745

2 5 2 0

10 5

x



 ≥



Nhận xét

2 2

2

− +

− + + −

2

10 50 3 2 5 2 9 45 6 2 1 2 5

4 27 20 3 2 1 5 2 0

2 2 11 5 5 2 3 2 11 5 2 0

2x −11x+ =5 a; x− =2 b, a>0;b>0 ta thu được

− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm 3 22;

2

S

= + +∞

Câu 14 [ĐVH]: Giải bất phương trình 3x2−12x+ ≤5 x3− +1 x2−2x

Lời giải

Điều kiện

2

x x







3x −12x+ ≤ + −5 x x 2x− +1 2 x−1 x + +x 1 x x−2

Trang 6

( )( ) ( )

[ ]

⇔ − + − + − − + + ≥

⇔ + + − − + + − + + + ≥

Đặt 23 2 ( )

0

x x

t t

x − + =x x ≥

+ + thì

3

∗ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇔ − + ≤ + + ⇔ + + ≥

Nhận thấy [1] nghiệm đúng với x≥2 Kết luận nghiệm S =[2;+∞)

4x − 4x −12x+5 x −2x≤12x −9x+2

Lời giải:

0

x

x x

x

≥



− ≥ ⇔ 

≤

 +) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với

− + − − − + − ≤

⇔ −  − + − − − ≤ ⇔ − ≤

( ) 2 5 2 2 5 2

2x −5x+ −2 2x−5 x −2x =2 x −2x − 2x−5 t− + =x 2 2t − 2x−5 t− +x 2

2x 5 8 2 x 4x 20x 25 8x 16 4x 12x 9 2x 3

∆ = − − − = − + + − = − + = −

Do vậy phương trình ( ) 0 12

2

t x

f x

t

= −





= ⇔

= −



f x = x − x+ − x− x − x= x − x− +x x − x+

* ⇔ 2x−1 x −2x− +x 2 2 x −2x+ ≤ ⇔1 0 2x−1 x −2x− + ≤x 2 0, 1

(Do 2 x2−2x+ >1 0 với mọi x thuộc miền xác định)

Ta xét một số trường hợp sau:

2

x− = ⇔ =x (không thỏa mãn)

x

≥



2

x x x x

x x x

− >



− < − +

− < −



hệ vô nghiệm

Trang 7

• TH4:

2

x

x x x

− <



⇔ <



− > −



Kết hợp với đk ta được x≤0

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x≤0

2x +3x−2 1−x < 8x −2 2x+1

Lời giải

Điều kiện: 1−x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤0 1 x 1

Bất phương trình tương đương

2

− + − < − + ⇔ −  + − + − >

⇔ −  + + − + − > ⇔ −  + − + − − − >

⇔ − + − − + + − >

Vì 1− ≤ ≤x 1 nên 2x+ +4 3 1−x2 >0 , bất phương trình (*) trở thành ( ) ( 2)

2x−1 x+ −2 2 1−x >0

TH1:

2

2 2 1

x

TH2:

2

2 1 0

4 4 4 4

2 2 1

1

4 2

0

0 5

x

x x



<



⇔ ⇔ − < <

− < <



Kết hợp các trường hợp trên với điều kiện, vậy bất phương trình có tập nghiệm 4; 0 1;1

S    

= − ∪ 

   

4x −3x +6x− >7 3 x−1 x 4x +5x+7

Lời giải

Điều kiện: ( 2 )

x x + x+ ≥ ⇔ ≥x

Bất phương trình tương đương

2

2 2

4 11 7

4 5 7 4 7

1 4 7 0

4

Vậy bất phương trình có nghiệm là 7;

4

= +∞

 

3 x + −x 2 x+ < −1 x x x∈ℝ

Trang 8

ĐK: x≥ −1 * ( )

1 ⇔3 x−1 x+2 x+ <1 x x− ⇔1 x−1 3 x+2 x+ −1 x <0 (2)

1

+ =





+ =



⇒ + + − = + − = + − = + + + + − −

Khi đó (2) trở thành (x−1) ( x+ + +1 x 2 4)( x+ − − <1 x 2) 0 (3)

x

 + + + >



≥ − ⇒ 

+ + + >

 nên ( ) (3 ⇔ x−1 4) ( x+ − −1 x 2 4)( x+ + + <1 x 2) 0 (4)

2

1

1 0

6 4 3

1

x x

x

 >



 − > 

 > +







⇔ ⇔ < − ⇔

− <

  <

 − − <

− < < +





Kết hợp với (*) ta được 6 4 3

x

 > +



− < <

Đ/s: 6 4 3

x

 > +



− < <



• Đề giải (4) ta có thể đặt t= x+ ≥1 0

2x + x −5x+6 3x− ≥2 4x

Lời giải:

ĐK: 2

3

BPT ⇔ x x− + −x x− x− ≥

g x = x + −x x− = ta có : Đặt t= 3x− ≥2 0 Khi đó( ) ( ) ( ) 2

1 ⇔ 3x− − −2 x 3 3x− −2 2x −3x+ =2 0

3 2 3 2 0

∆ = − + + − = + + = +

Do đó:

2

2 2

− + +





− − −

 = = − −



Do vậy g x( )=(2x− −1 3x−2)(x+ +2 3x−2)

Trang 9





≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤



Kết hợp ĐK: Vậy nghiệm của BPT là: 3 [ )

4

x  

∈ ∪ +∞

Câu 20 [ĐVH]: Giải bất phương trình ( 3 2) ( 2 )

4 x −x ≥ 7x −4x−3 3x+1

Lời giải:

ĐK : 1

3

x≥ −

g x = x − x+ x+ = Đặt t= 3x+ >1 0 ta có: ( ) ( ) ( ) 2

1 ⇔2 3x+ +1 7x+3 3x+ −1 4x −6x− =2 0

2t 7x 3 t 6x 2x 2 0

7x 3 32x 48x 16 9x 5

∆ = + + + + = +

Khi đó:

4

t

− − + + +





− − − −



Do vây ta phân tích được g x( )= + −(x 1 2 3x+1 4)( x+ +2 3x+1)

Do vậy BPT ⇔(x−1) (x+ −1 2 3x+1 4)( x+ +2 3x+ ≥1) 0

2

10 3

1 2 3 1

x

 ≥ +

⇔ −  − +   − − ≥ ⇔

− ≤ ≤



Kết hợp ĐK: Vậy nghiệm của BPT là: x∈ −5 2 7;1∪ +5 2 7;+∞)

CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG BẤT PT TRONG ĐỀ THI 2015

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	164,2 KB