Các bài toán chọn lọc về hình chóp tứ diện

Tài liệu luyện thi Đại học - Cao đẳng môn Toán

TỨ DIỆN

VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC , AC) =AD=4cm, AB 3cm, BC= =5cm.Tính khoảng cách từ A đến (BCD )

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm

SB, SC Tính theo a diện tích AMN∆ biết (AMN) (⊥ SBC )

Giải:

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC) ⇒ Ο là trọng tâm ABC∆

Gọi I là trung điểm BC

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy là ABC∆ vuông tại C, SA⊥(ABC ,) CA a,=

CB=b, SA= Gọi D là trung điểm AB h

1 Tính cosin góc ϕ giữa AC và SD

2 Tính d AC,SD , d BC,SD ( ) ( )

Giải:

Trong (ABC vẽ tia Ax) ⊥AC

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A 0; 0; 0 , C 0; a; 0 , S 0; 0; h ( ) ( ) ( )

2 GI cắt d tại N Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc

3 Chứng minh AM.AN không đổi khi M di động trên d

Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc AC 2OB= ,

BC=2OA Vẽ OM⊥AC tại M, ON⊥BC tại N

ODtan

1 Tìm điều kiện của h để ( )α cắt cạnh SC tại K Tính diện tích ABK.∆

2 Tính h theo a để ( )α chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

Chứng tỏ khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau

Giải:

Trong mặt phẳng (ABC) vẽ Hy⊥HA

Chọn hệ trục tọa độ Hxyz sao cho: ( ) a 3 ( )

12a

+

−+

Vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp và tâm mặt cầu nội tiếp của SABC trùng nhau

Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A và B với AB a.= Trong ( )P lấy điểm C, trong ( )Q lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC=BD=AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD và d A, BCD ( ) theo a

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A 0; 0; 0 , B 0; a; 0 , C 0; 0; a , D a; a; 0 ( ) ( ) ( ) ( )

Phương trình mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−2α − β −x 2 y 2 zγ =0

2 2 2

x Δ

D A

C

B

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Cho ABC∆ vuông tại A có AB a, AC 2a.= = Trên đường thẳng vuông góc (ABC tại A lấy điểm S sao cho SA) =3a AD là đường cao tam giác ABC.∆ E, F

là trung điểm của SB, SC H là hình chiếu của A trên EF

1 Chứng minh H là trung điểm của SD

2 Tính cosin góc CP giữa hai mặt phẳng (ABC , ACF ) ( )

Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau

H là hình chiếu của O trên (ABC )

OH⊥ ABC tại H Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu của H lên các mặt 1 1 1

(OBC , OAC , OAB ) ( ) ( )

1 Tính thể tích tứ diện HA B C 1 1 1

2 Gọi S là điểm đối xứng H qua O Chứng minh tứ diện SABC đều

3 Chứng minh OH không vuông góc (A B C 1 1 1)

Bài tập 5: Cho tứ diện OABC và OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA a,=

OB=a 2, OC c a,c= ( >0 ) Gọi D là đỉnh đối diện O của hình chữ nhật

OADB, M là trung điểm BC mặt phẳng ( )α qua A và M cắt (OCD) theo đường thẳng vuông góc AM

1 Gọi E là giao điểm ( )α với OC Tính OE

2 Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( )α

3 Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( )α và chóp C.OADB

Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc

OA a, OB= =b, OC= c

1 Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp ( )S của OABC Tính bán kính r của ( )S

2 Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng góc giữa (NOM của ) (OMP) là vuông khi và chỉ khi

1 Tính OH, OG và S∆ABC theo a, b, c

2 Chứng minh ABC∆ có ba góc nhọn và a tan A2 =b tan B c tan C.2 = 2

Bài tập 8: Cho ABC∆ đều cạnh a Trên đường thẳng d⊥(ABC) tại A lấy điểm S,SA=h

1 Tính d A, SBC ( ) theo a và h

2 Đường thẳng ∆ ⊥(SBC) tại trực tâm H của SBC,∆ chứng tỏ ∆ luôn đi qua điểm

cố định khi S di động trên d

3 ∆ cắt d tại S' Tính h theo a để SS' nhỏ nhất

Bài tập 11: Cho tứ diện SABC có ABC∆ vuông cân tại B, AB a, SA= ⊥(ABC) và

SA a= 2 Gọi D là trung điểm của AC

1 Chứng minh khoảng cách từ A đến (SBC gấp đôi khoảng cách từ D đến ) (SBC )

2 Mặt phẳng ( )α qua A và vuông góc SC, α( ) cắt SC và SB tại M và N

- Chứng minh AMN∆ là thiết diện giữa ( )α và tứ diện SABC

- Tính thể tích hình chóp SAMN

3 Tính cosin góc ϕ giữa mặt phẳng (ASC) và (SCB)

Bài tập 15: Cho ABC∆ đều có đường cao AH=2a Gọi O là trung điểm của AH Trên đường thẳng vuông góc với (ABC tại O lấy điểm S sao cho OS) =2a

1 Tính góc cosin ϕ góc giữa (BSA) và (SAC)

2 Trên đoạn OH lấy điểm I Đặt OI=m 0 m a ( < < ) Mặt phẳng ( )α qua I vuông góc với AH cắt các cạnh AB, AC, SC, SB tại M, N, P, Q

- Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x

- Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất

Bài tập 20: Cho tứ diện SABC có ABC∆ vuông cân tại B, AB a, SA= ⊥(ABC) và

SA a AH= ⊥SB tại H, AK⊥SC tại K

1 Chứng minh rằng HK⊥SC

2 Gọi I=HK∩BC Chứng minh rằng B là trung điểm của CI

3 Tính sin góc ϕ giữa SB và (AHK )

4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC

Bài tập 21: Trong mặt phẳng ( )α có góc vuông xOy M, N lần lượt di động trên cạnh Ox, Oy sao cho OM ON a.+ = Trên đường thẳng vuông góc với ( )α tại O lấy điểm S sao cho OS=a

1 Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn nhất

2 Khi thể tích SOMN lớn nhất, hãy tính:

- d O, SMN  ( )

- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN

3 Khi M, N dị động sao cho OM ON a+ = chứng minh OSM OSN MSN+ + =90 °

VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC

Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C 0; 2a; 0 , ( ) ( ) ( )

B

C D

đường trung bình trong SBC∆ D 4a 2a; ; 0

5 5

2 Tính cosin góc CP giữa hai mặt phẳng (ABC , ACF ) ( )

Ta có BC⊥(SAD)⇒FE⊥(SAD) do FE song song với BC

10

32






B D

Thay x, y, z vào phương trình (ABC ta được: )

cos α +cos β cos cos n ,n cos n , n cos n , n

Vậy cos2α +cos2β+cos2γ =1

Bài tập 4: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C 0; 0; a( ) ( ) ( ) ( )

A

H

2 Chứng minh tứ diện SABC đều

Ta có AB AC= =BC=a 2

Vậy tứ diện SABC đều

3 Chứng minh OH không vuông góc (A B C 1 1 1)

3 Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( )α và chóp C.OADB

Trong (OCD gọi K) =EG∩CD⇒ Thiết diện là tứ giác AKME

abcr

H

2 2 2 2 2 2

abcOH

2Ssin A

Tương tự cho b tan B c tan C.2 = 2

Bài tập 8: Gọi I là trung điểm AB Trong (ABC vẽ Ay) ⊥AB

x

z

y H

I

C A

Bài tập 11: Trong mặt phẳng (ABC ,) vẽ Ay⊥AB

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; a; 0 , S 0; 0; a 2 ( ) ( ) ( ) ( )

d D, SB

6

22

y x

8a3

a

3a

R H

2 Chứng minh rằng B là trung điểm của CI

Vậy B là trung điểm của CI

3 Tính sin góc ϕ giữa SB và (AHK )

4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC

Gọi J x ; y ; z( 0 0 0) suy ra phương trình mặt cầu ( )S có dạng: