Tiểu luận phương pháp toán lý cao học

Đồng thời với đó là sự pháp triển vượt bậc của công nghệ thông tin, ra đời nhiều phần mềm toán học ứng dụng như Mathematica, MathLab, … giúp chúng ta kiểm tra chính xác các nghiệm của bà

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 2

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC 3

Bài tập 1: (Bài 14/trang 89 GT Hàm biến phức – Tạ Lê Lợi – Đại học Đà Lạt) 3

Bài tập 2: (Bài 17/trang 89 GT Hàm biến phức – Tạ Lê Lợi – Đại học Đà Lạt) 5

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 7

Bài tập 1: (Bài tập 130/trang 59 Chương 2-2 tài liệu Nguyễn Thanh Vũ) 7

Bài tập 2: (Bài tập 212/trang 75 – Chương 4 tài liệu Nguyễn Thanh Vũ) 8

CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG 10

Bài tập 1:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình hyperbolic, tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng ) 10

Bài tập 2:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình Eliptic- tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng) 12

Bài tập 3:(Bài tập III.1/ trang 56- chương 4 Phương trình Parabolic- Tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng) 15

CHƯƠNG V PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE – PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 16

Bài tập 1: (Bài tập 1f trang 99 – Giáo trình toán chuyên đề - Bùi Tuấn Khang) 16 Bài tập 2: (Bài tập 187.f – Trang 63 “Toán A4 - Chương 2 – GV Nguyễn Thanh Vũ – 2008) 18

CHƯƠNG VI: NHÂN XUNG ĐỐI VÀ NHÂN SUY BIẾN 19

Bài tập 1: Giải phương trình sau bằng phương pháp lặp: 19

Bài tập 2: Giải phương trình sau bằng phương pháp đại số: 20

KẾT LUẬN 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

PHỤC LỤC CHƯƠNG TRÌNH MATHEMATICA 25

LỜI MỞ ĐẦU

Ngày này, Giải tích toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ Trong đó, lĩnh vực

số phức, phương trình vi phân không ngừng phát triển có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đặt biệt là trong vật lý Nó là công cụ giúp nhà vật lý giải quyết các bài toán trong vật lý Đồng thời với đó là sự pháp triển vượt bậc của công nghệ thông tin, ra đời nhiều phần mềm toán học ứng dụng như Mathematica, MathLab, … giúp chúng

ta kiểm tra chính xác các nghiệm của bài toán, mô tả các hiện tượng trong vật lý,

dựng các đồ thị,…Trên cơ sở đó tôi chọn đề tài “Giải một số bài toán giải tích bằng theo phương pháp thông thường và bằng phần mềm Mathematica.” để kết thúc học

phần môn phương pháp toán lý

Trong tiểu luận này tôi xin trình bày cách giải các bài toán ứng dụng các kết quả cuối cùng của các phép biến đổi để đi tìm nghiệm của bài toán mà không giải chi tiết từng bước cụ thể Cùng với đó khi sử dụng Mathematica để kiểm tra lại nghiệm của bài toán thì có một số bài tôi có thực hiện với Mathematica nhưng có một số bài không thể thực hiện được vì phần mềm này không phải là vạn năng có thể giải quyết được tất cả các vấn đề trong thực tế

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC

(Bài tập phần thặng dư và ứng dụng thặng dư.)

Bài tập 1: (Bài 14/trang 89 GT Hàm biến phức – Tạ Lê Lợi – Đại học Đà Lạt)

Tính thặng dự của hàm tại các điểm kì dị của hàm:

  =

1 3



+ z2   2 i

Res[f(z),z2] =    

2 2

Print["Câu a) Cho hàm f(z) = ",f[z], "tính thặng dư tại các điểm kì di (bất thường) của nó."];

lim

m

m m

lim( (e ))z z

d dz

* Cách 2:Giải bằng Mathematica

Chương trình tính thặng dư Lệnh nhập:

Print["Câu b) Cho hàm f(z) = ",f[z], "tính thặng dư tại các điểm kì di (bất thường) của nó."];

z  có các điểm kì dị được tìm từ điều kiện:  2

dz z

1 1 lim

z

z d z dz

1 1 lim

z

z d z dz

dz z

Trong đó Sin[i] = i.Sinh[1]

Nghiệm tổng quát trên R là: y = C1e 2x + C2e-5x

Theo điều kiện ban đầu ta có: 1 2

C C

e e

* Cách 2:Giải bằng Mathematica:(Code Demo )

Kết quả giải bài toán:

Bài tập 2: (Bài tập 212/trang 75 – Chương 4 tài liệu Nguyễn Thanh Vũ)

Hãy tìm nghiệm của hệ phương trình:

* Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường:

Ta có thể viết lại hệ phương trình trên dưới dạng:

'

x y

 

 

  =

2 4

3 2

x y

1 2

b b

b b

* Cách 2:Giải bằng Mathematica: (code demo)

Kết quả giải bài toán:

CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG

(Phương trình hyperbolic, phương trình parabolic, phương trinh eleptic)

Bài tập 1:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình hyperbolic, tài liệu phương trình

vi phân đạo hàm riêng )

Tìm nghiệm bài toán

* Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường:

Đặt u(x,t) = X(x).T(t) thay vào phương trình utt = 4uxx và thực hiện tách biến tìm được nghiệm bài toán dưới dạng tổng quát:





  a1 = 1 và an = 0 với n ≥ 2 + Tìm bn:

Vậy nghiệm của bài toán là: u(x,t) =[cos(2t) – sin(2t)]sinx + 2sin4t.sin2x

* Cách 2:Giải bằng Mathematica: (code demo)

Vòng lặp For[] cho giá trị n chạy trong khoảng cho phép giúp lệnh Integrate[] tính được giá trị, còn lệnh Print[] xuất các giá trị un(x,t) ứng với mỗi giá trị của n

Kết quả bài toán với giá trị a,L, điều kiện biên cụ thể:

Nghiệm bài toán giải bằng chương trình là tổng các giá trị u n theo công thức:

Bài tập 2:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình Eliptic- tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng)

Giải bài toán Diriclet 2 2

* Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường:

Xét bài toán trong tọa độ cực x = rcosφ, y = rsinφ Khi đó phương trình Laplace trong tọa độ cực sẽ được viết lại dưới dạng:

u      cos  = -5 + 8cos2φ + 8cos3φ - 8cosφ (2)

Đặt u(r,φ) = Φ(φ).R(r) Sử dụng phương pháp tách biến ta tìm được nghiệm của bài toán Dirichlet trên mặt tròn trong tọa độ cầu dưới dạng tổng quát sau:

u(r,φ) =  

0

,

n n

Việc xác định các hệ số A0, An, Bn có thể tìm theo hai hướng:

* Hướng thứ nhất: Áp dụng các công thức khai triển Fourier

Tìm hệ số A0, An, Bn theo các công thức sau:

A0 =

2

2 0

u(r,φ) = 8r3(4cos3φ - cosφ) + 8r2(2cos2φ - 1) - 8rcosφ - 5

= 32r3cos3φ + 16r2cos2φ - 24r3cosφ- 8rcosφ - 8r2 - 5

 u(x,y) = 8x3 + 8x2 -8y2 -8x(3x2 + 3y2 +1) - 5

Vậy: u(x,y) = 8x 3 + 8x 2 -8y 2 -8x(3x 2 + 3y 2 +1) - 5 (5)

* Hướng thứ 2: Đồng nhất hệ số hai vế của phương trình sau:

* Cách 2:Giải bằng Mathematica: (code demo)

Kết bài toán ứng với điều kiện biên cụ thể:

Nghiệm bài toán giải bằng chương trình là tổng các giá trị u n theo công thức:

Bài tập 3:(Bài tập III.1/ trang 56- chương 4 Phương trình Parabolic- Tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng)

Giải bài toán điều kiện ban đầu: 16 , 20,

* Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường:

Áp dụng công thức Poison: u(x,t) = G a y , x t g y dy,   

y x t

2 64

1

cos 4 2

y x t

1

(1 cos8 ) 4

y x t

Kết quả bài toán với các giá trị điều kiện biên và hệ số a cụ thể:

CHƯƠNG V PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE – PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Bài tập 1: (Bài tập 1f trang 99 – Giáo trình toán chuyên đề - Bùi Tuấn Khang)

t i

Bài tập 2: (Bài tập 187.f – Trang 63 “Toán A4 - Chương 2 – GV Nguyễn Thanh

Vũ – 2008)

Tìm nghiệm tổng quát trên R của phương trình:

y’’ + 3y’ + 2y = 3 – 2.ex; y(0) = 0, y’(0) = 0

Kết quả tính với bài toán cụ thể

CHƯƠNG VI: NHÂN XUNG ĐỐI VÀ NHÂN SUY BIẾN

(Phương trình tích phân Fredhoml)

Bài tập 1: Giải phương trình sau bằng phương pháp lặp:

* Cách 1: Giải bằng phương pháp đại số

Đặt K(x,t) = cos(x+t) = cosx.cost – sinx.sint (2)

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: y(x) = 1 + A.cosx – Bsinx (5)

Chuyển y(x) thanh y(t): y(t) = 1 + Acost – Bsint (5’)

Thay (5’) vào (3) ta được:

KẾT LUẬN

Tiểu luận trình bày về giải một số bài toán giải tích như thặng dư, ứng dụng thặng dư, phương trình vi phân bậc hai, hệ phương trình vi phân, các bài toán đạo hàm riêng, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier, phương trình tích phân Fredholm 2 Tuy nhiên tiêu luận chỉ dừng lại ở việc giải một đến hai ví dụ trong mỗi loại, không đi sâu vào trình bày phương pháp giải mà chỉ ứng dụng các kết quả cuối cùng trong toán học để giải bài toán

Đối với việc kiểm tra lại kết quả bài toán bằng phần mềm Mathematica tôi đã xây dựng được một số chương trình cụ thể để giải quyết một số bài toán như:

+ Phương trình vi phân tuyến tính bậc 2

+ Hệ phương trình trình vi phân bậc nhất

+ Bài toán truyền nhiệt

+ Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace

Riêng đối với các tập về thặng dư, ứng dụng thặng dư, bài toán Dirichlet, … tôi chỉ viết một số lệnh cơ bản để kiểm tra nghiệm đối với bài toán cụ thể

Còn đối với phương trình tích phân tôi chỉ giải theo phương pháp thông thường

Trong quá trình thực hiện tiểu luận có nhiều cố gắng nhưng vì thời gian ngắn

và mới làm quen với phần mềm Mathematica nên các kiến thức về phần mềm Mathematica chưa sâu do đó không tránh được những sai làm thiếu sót Kính mong thầy cô giáo đóng góp ý kiến để đề tài ngày hoàn thiện hơn

Học viên thực hiện

Kiều Quang Vũ

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Lê Lợi, Giáo trình hàm biến phức, Đại học Đà Lạt

[2] Bùi Tuấn Khang, Giáo trình toán chuyên đề, đại học Đà Nẵng, 2004

[3] Nguyễn Thanh Vũ, Toán A4, 2008

[4] Bộ môn giải tích, Phương trình đạo hàm riêng, Hà Nội, 2006

[5] Bùi Hữu Hùng, Nguyễn Công Trí, Đại số tuyến tính với Mathematica tập 1

[8] https://mathworld.wolfram.com/Legendre Diffrential Equation.html

[9] Craig Beasley, Laplace Transform in Mathematica, Department of Electrical and Systems Engineering Washington University, 2012

PHỤC LỤC CHƯƠNG TRÌNH MATHEMATICA

Một số chương trình mathematica được tạo ra để phục vụ tiểu luận:

Chương 1:

- chuong 1 bai tap tinh gia tri thang du.nb

- chuong 1 bai tap ung dung thang du tinh tich phan.nb

Chuong 2:

- chuong 2 he phuong trinh vi phan khong dk bien.nb

- chuong 2 he phuong trinh vi phan co dieu kien bien.nb

- chuong 2 phuong trinh vi phan bac hai co dieu kien bien.nb

-chuong 2 phuong trinh vi phan bac hai khong dieu kien bien.nb

Chương 3:

- chuong 3 bai toan eleptic.nb

- chuong 3 bai toan hypebolic.nb

- chuong 3 bai toan parabolic (truyen nhiet).nb