Tiểu luận phương pháp toán trong tin học Logic vị từ và ứng dụng

Định nghĩa: Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toánhọc không được định nghĩa mà chỉ được mô tả.Mệnh đề toán họcgọi tắt là mệnh đề là mộtkhẳng định có giá trị chân lý xác địnhđúng h

Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Đại học Công Nghệ Thông Tin Khoa Khoa Học Máy Tính

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TRONG TIN HỌC

LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG

DỤNG

GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Học Viên : Vũ Thế Nhân – CH1301030

Mục Lục

I Mệnh đề 2

1 Định nghĩa 2

2 Chân trị mệnh đề 2

II Vị từ 2

1 Điểm yếu của logic mệnh đề 3

2 Định nghĩa 4

3 Không gian vị từ 4

4 Trọng lượng vị từ 5

5 Thành phần vị từ 5

6 Phép toán vị từ 6

III Lượng từ 6

1 Lượng từ tồn tại 6

2 Lượng từ với mọi 6

3 Tầm vực của lượng từ 7

4 Cách định chân trị 7

5 Các đinh lý thường dùng 8

6 Công thức tương đương 10

7 Dạng chuẩn PRENEX 11

IV Áp dụng 13

I Mệnh đề:

1 Định nghĩa:

Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toánhọc không được định nghĩa mà chỉ được mô tả.Mệnh đề toán học(gọi tắt là mệnh đề) là mộtkhẳng định có giá trị chân

lý xác định(đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai)

Ví dụ:

- “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng

- “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam” là một mệnh đề sai

- “Bạn có khỏe không ? ” không phải là một mệnh đề toán học vì đây là một câu hỏi không thể phản ánh một điều đúng hay một điều sai

Ký hiệu mệnh đề :

Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, …

Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại bằng các liên từ (và, hay, nếu…thì…) hoặc trạng từ “không”

Ví dụ:

- Nếu trời tốt thì tôi đi dạo.

2 Chân trị của mệnh đề:

Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai Khi mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P cóchân trị sai Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1 hay Đ(đúng), T(true) và 0 hay S(sai), F(false)

Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh đề kia, ta có các cách sau

- Lập bảng chân trị.

- Sử dụng phép thay thế.

- Các qui tắc thay thế:

a Quy tắc thay thế thứ 1

Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh

đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E

b Quy tắc thay thế thứ 2

Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r…) là một hằng đúng Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p‟,q‟,r‟) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r…,p‟,q‟,r‟,… vẫn còn là 1 hằng đúng

II Vị từ

1 Điểm yếu của logic mệnh đề:

Không thể hiện được các phát biểu có các biến

Ví dụ:

x = y + 3

x > 3

Bởi vì các biến chưa có giá trị Tuy nhiên, phát biểu dạng như trên xuất hiện rất

nhiều

Những sự tương đương sau không biểu diễn được bằng logic mệnh đề

"Không phải tất cả bánh đều ăn được" và "Chỉ một số bánh ăn được"

Để suy diễn, mỗi mệnh đề phải được liệt kê riêng lẽ

Khắc phục các điểm yếu nêu trên

- Phát biểu x > 3 có 2 phần:

• Biến x

• Tính chất của biến x (> 3), được gọi là vị từ (predicate)

- Nói cách khác

Predicate là vị từ mô tả tính chất của những đối tượng, hoặc quan hệ giữa chúng

- Ký hiệu phát biểu P(x)

⇒ P(2), P(4) là mệnh đề

Xét các câu sau:

- "The car Tom is driving is blue"

- "The sky is blue"

- "The cover of this book is blue"

Chúng ta có thể có 1 vị từ "is blue", viết tắt là B.

B(x) nghĩa là "x is blue"

Khi đó, ta có thể biểu diễn các câu như sau

- B(The car Tom is driving)

- B(The sky)

- B(The cover of this book)

2 Định nghĩa:

Cho A là một tập hợp khác rỗng Giả sử,ứng với mỗi x = a Є A ta có một mệnh đề p(a) Khi đó, ta nói p = p(x) là một vị từ theo một biến (xác định trên A) Nói cách khác, vị từ có thể xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào,

nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ

Ví dụ:

Câu {n là chẳn} là một vị từ Nhưng, khi cho n là một số cụ thể là chẳn hay là lẻ ta được một mệnh đề:

- n = 2 :{2 là chẳn}: mệnh đề đúng.

- n = 5 :{5 là chẳn}: mệnh đề sai.

- Vị từ {n là chẳn} có 2 phần Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu Phần

thứ hai "là chẳn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có

- Ký hiệu: P(n) = {n là chẳn}

Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n Một khi biến n được gán trị thì P(n) là một mệnh đề

3 Không gian của vị từ:

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử x thuộc tập hợp E

ta được một ảnh P(x)∈ {∅, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh

đề đúng hoặc sai

4 Trọng lượng của vị từ:

Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đósố biến được gọi là trọng lượng của vị từ

Ví dụ:

Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N Ta nói P có trọng lượng 2

Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, , xn) có trọng lượng là (n-1) Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ∅

5 Thành phần vị từ:

a Hằng:

Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ các hằng được ký hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính

b Biến:

Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự

Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y" Quả bóng xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ X, Y là biến

c Tham số:

Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng

Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y)

Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các ký hiệu thay cho

các đối tượng của bài toán

d Hàm :

Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệhàm số

Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc

Hoa và Đông là bạn của nhau

Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này

Mẹ (Mai) = Hoa

Cha (Cúc) = Đông

6 Phép toán vị từ:

Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức

Ví dụ: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau“ dưới dạng logic vị từ

Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

- "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai).

- "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).

Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) ⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬ thích (X, Y)

III Lượng từ

1 Lượng từ tồn tại ( ∃ )

Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng"

là một mệnh đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x)

là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x)

Ký hiệu: ∃x P(x)

Ví dụ:

P(x) = ”x > 3”

Miền giá trị x ∈ R

Mệnh đề: ∃xP(x) là T

Ví dụ:

Q(x) = ”x = x + 1”

Miền giá trị x ∈ R

Mệnh đề: ∃xQ(x) là F

2 Lượng từ với mọi ( ∀ )

Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x)

Ký hiệu: ∀xP(x)

Ví dụ:

Mọi sinh viên máy tính phải học môn logic

P(x) = "x phải học môn logic"

Mệnh đề: ∀xP(x)

Ví dụ:

Chính xác hơn

S(x) = x là sinh viên máy tín

P(x) = x phải học môn logic

Mệnh đề: ∀x(S(x) → P(x))

3 Tầm vực của lượng từ:

Ký hiệu bởi [] hoặc (), nếu không có thì tầm vực là công

thức nhỏ nhất ngay sau lượng từ

Biến x là bound nếu

- Biến x được gán giá trị

- Biến x được lượng từ hóa

Biến x là free nếu nó không bound

Ví dụ:

- ∀xP(x, y) thì x là bound và y là free

- ∀x(∃yP(x, y)∨Q(x, y)) thì x, y trong P(x, y) là bound, trong khi y trong Q(x, y)

là free

4 Cách định chân trị:

∀xP(x) = P(x1) ∧ P(x2) ∧ ∧ P(xn)

∃xP(x) = P(x1) ∨ P(x2) ∨ ∨ P(xn)

Trong đó x1, x2, , xn là liệt kê các giá trị có thể có của x

Thử tất cả các xi với ∀ để xác định T

Tìm một xi với ∃ để xác định T

Thứ tự của lượng từ là quan trọng, chỉ trừ khi

Tất cả các lượng từ là "với mọi" hoặc tất cả là "tồn tại"

Đọc từ trái sang phải, áp dụng từ trong ra

Ví dụ:

- ∀x∀y(x + y = y + x)

T với tất cả x, y ∈ R

Ví dụ:

- ∀x∃y(x + y = 0) là T,trong khi ∃y∀x(x + y = 0) là F

5 Các định lý thường dùng:

Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:

a ∀a∀b P(a,b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là : ∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀a P(a, b)

Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)

b ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔ ∃b∃a P(a, b)

Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)

c Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì ∀b∃a P(a,b) cũng đúng

nhưng điều ngược lại chưa đúng

Nghĩa là : ∃a∀b P(a,b) → ∀b∃a P(a,b)

Chứng minh c)

Giả sử “∃a ∈ A, ∀b ∈ B, p(a,b)” là đúng Khi đó, tồn tại a thuộc A sao cho “∀y

∈ B, p(a,b)” là đúng, nghĩa là nếu thay b = y thuộc B bất kỳ thì p(a,b) đúng Như vậy, y = b thuộc B tuỳ chọn thì ta có thể chọn a = x để “∃x ∈ A, p(a, b)” là đúng

Do đó, “∀b ∈ B, ∃a ∈ A, p(a,b)” là mệnh đề đúng

Ví dụ thể hiện chiều đảo của 3 là chưa chắc đúng:

- Gọi p(x,y) là vị từ theo 2 biến thực

p(x,y) = “x + y = 1”,

- Nếu thay y tuỳ ý thì x = 1 - y để cho x + y = 1

nên mệnh đề tồn tại x thuộc A, p(x, y) là đúng.

Nên mệnh đề “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” là đúng

- Ngược lại, nếu chọn x = a tuỳ ý, ta có thể chọn

y = -a để “∀y ∈ B, p(x, y)” là sai

Điều này chứng tỏ, “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” là sai

- Do đó, phép kéo theo sau là sai:

“∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” -> “∃x ∈A, ∀y ∈ B, p(x,y)”

Định lý 2:

- ¬ (∀ x P(x)) và ∃ x (¬ P(x) là có cùng chân trị.

- ¬ (∃ x P(x)) và ∀ x (¬ P(x) là có cùng chân trị.

Giải thích:

- Phủ định với ∀x P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng không là tất

cả tập hợp E Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở chúng P(x)

là sai hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở chúng P(x) là đúng

- ¬ ∃ x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp trống Nghĩa là, tập hợp những x mà ở chúng P(x) là sai là tập hợp E hay không có phần tử nào làm P(x) đúng Ta có ∀ x (¬ P(x))

Ví dụ: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít nhất một

số nguyên n không chia chẵn cho 3"

Phương pháp ứng dụng

Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những định lượng ∀ bởi ∃,

và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó

Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian

- Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) và (∀x (P(x) ∧∀x (Q(x)) là có cùng chân trị

- Nếu mệnh đề ∃x (P(x) ∧ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧

(∃xQ(x)) cũng đúng

- Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) và (∃xP(x) ∨∃xQ(x)) là có cùng chân trị

- Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề ∀xP(x) ∨∀xQ(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng

Chú thích:

Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có :

- Tập họp A⊂ E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng

- Tập họp B⊂ E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là đúng

- Khi đó người ta lưu ý rằng, A∧B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng mệnh

đề P(x)∧Q(x) là đúng Trong khi đó A∨B là tập hợp những x của E mà ở đó mệnh đề P(x)∨Q(x) là đúng

6 Công thức tương đương:

A tương đương B nếu và chỉ nếu (A → B) ∧ (B → A)

Ký hiệu:

A ≡ B |= (A → B) ∧ (B → A)

Một số công thức tương đương:

- ~∀x W(x) ≡ ≡ ∃x ~W(x)

- ~ ∃x W(x) ≡ ≡ ∀x ~W(x)

- ∃x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ≡ ∃x A(x) ∨ ∃x B(x)

- ∀x(A(x) ∧ B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) ∧ ∀x B(x)

- ∃x (A(x) → B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) → ∃x B(x)

- ∀x∀y W(x,y) ≡ ≡ ∀y∀x W(x,y)

- ∃x ∃y W(x,y) ≡ ≡ ∃y∃x W(x,y)

Các phép tương đương có giới hạn:

Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:

Disjunction

- ∀x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∀x A(x)

- ∃x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∃x A(x)

- ∀x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∀x A(x)

- ∃x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∃x A(x)

Implication

- ∀x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∀x A(x)

- ∃x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∃x A(x)

- ∀x (A(x) → C) ≡ ≡ ∃x A(x) → C

- ∃x (A(x) → C) ≡ ≡ ∀x A(x) → C

Một vài điều kiện không tương đương:

- ∀x W(x) → ∃x W(x)

- ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) → ∀x(A(x) ∨ B(x))

- ∃x(A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃x B(x)

- ∀x(A(x) → B(x)) → (∀x A(x) → ∀x B(x))

- ∃y ∀x W(x,y) → ∀x ∃y W(x,y)

7 Dạng chuẩn PRENEX:

F = (Q1 x1) (Qn xn) (M)

M là công thức không chứa lượng từ

Ví dụ:

F = (∀x)p(x) → (∃y)q(y)

F = (∃x)¬p(x) ∨ (∃y)q(y)

F = (∃x)(∃y) (¬p(x) ∨ q(y))

Dạng chuẩn Prenex không duy nhất

Dạng chuẩn Prenex còn tương đương với công thức ban đầu

Chuyển về dạng chuẩn Prenex :

F = (∀x)(p(x) → (∃x)(∀y)(q(y) ∨ r(x)))

F = (∀x)(¬p(x) ∨ (∃x)(∀y)(q(y) ∨ r(x)))

Đổi tên biến cục bộ.

F = (∀x)(¬p(x) ∨ (∃z)(∀y)(q(y) ∨ r(z)))

F = (∀x)(∃z)(∀y)(¬p(x) ∨ (q(y) ∨ r(z)))

Qui tắc chuyển 1 công thức về dạng Prenex

1 Xoá toán tử "→"

2 Chuyển lượng từ ra phía trước

Dạng chuẩn Prenex Hội/Tuyển:

F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1 ∨ … ∨ Dk)

Dk là hội của một hoặc nhiều mệnh đề

Ví dụ : F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∧ q(y)) ∨ (q(y) ∧ r(z)))

Chuyển về dạng chuẩn Prenex hội :

F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1 ∧…∧ Dk)

Dk là tuyển của một hoặc nhiều mệnh đề

Ví dụ : F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∨ q(y)) ∧ (q(y) ∨ r(z)))

Giải thuật chuyển công thức về dạng chuẩn Prenex Hội/Tuyển:

1 Đổi tên biến

2 Xóa toán tử "→“ dùng A → D= ~A ∨ B

3 Di chuyển ¬ (~) về bên trái của mỗi mệnh đề

4 Chuyển các lượng từ ra bên trái của mỗi mệnh đề

5 Dùng luật phân bố và kết hợp để chuyển về dạng tương ứng Hội/Tuyển

Ví dụ: Cho W= ∀xA(x) ∨∃xB(x) → C(x) ∧ ∃x C(x)

W ≡ ∀yA(y) ∨∃zB(z) → C(x) ∧ ∃tC(t) (Đổi tên biến )

≡ ~(∀yA(y) ∨∃zB(z)) ∨ (C(x) ∧∃t C(t)) (Xóa “→”)

≡ (~∀yA(y) ∧ ~∃zB(z)) ∨ (C(x) ∧∃t C(t)) (Di chuyển” ~”)

≡ (∃y~A(y) ∧ ∀z~B(z)) ∨ (C(x) ∧∃t C(t))

≡ ∃y∀z∃t((~A(y) ∧ ~B(z)) ∨ (C(x) ∧C(t)))

 Đây là dạng chuẩn Prenex

IV Áp Dụng:

1 Tìm chân trị mệnh đề

a)Mệnh đề “∀x ∈ R, x2+ 3x + 1 ≤ 0” là mệnh đề đúng hay sai?

Mệnh đề sai vì tồn tại x = 1 mà x2+ 3x + 1 > 0

b) Mệnh đề “∃ x ∈ R, x2 + 3x + 1 < 0” là mệnh đề đúng hay sai?

Mệnh đề đúng vì tồn tại x = 1 mà mệnh đề lớn hơn 0

Xét vị từ p(x, y) = “x + 2y < 1” theo hai biến x,y xác định trên R2

c)Mệnh đề“∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai?

Mệnh đề sai vì tồn tại x= 0, y= 1 ∈ R mà x + 2y > 1

d) Mệnh đề“∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai?

Mệnh đề đúng vì với mỗi x = a ∈ R, tồn tại y ∈ R như

y = –a/2, sao cho a + 2ya < 1

e) Mệnh đề “∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai

Mệnh đề sai vì không thể có x = a ∈ R để bất đẳng thức

a + 2y < 1 được thỏa với mọi y ∈R (chẳng hạn, y =–a/2 + 2

không thể thỏa mãn bất đẳng thức này)

f) Mệnh đề“∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai?

Mệnh đề đúng vì tồn tại x = 0, y= 0 ∈ R chẳng hạn, thỏa

mãn x + 2y < 1

g) Xét A1 = ” x  R, n  N, 2n ≤ x < 2n + 1 ”

Chọn x = 1 R; n = 0  N : 20 ≤ x < 20 + 1

Suy ra A1 đúng

=” x  R, n  N, 2n > x hoặc x ¿ 2n + 1 “

h) Xét A4= “ ∀x ∈R ,∃ y∈R ,( x2=y2)→(x= y) ”

với mọi x ta chọn y bằng với x thì A4 đúng