Tiểu luận phương pháp tính

8 Bài 1: Tìm đạo hàm gần đúng bằng phương pháp nội suy Newton .... LỜI MỞ ĐẦU Các bài toán ứng dụng trong vật lý thường là không “đẹp” và không thể giải theo các phương pháp tính đúng..

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG 3

I GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG 3

Bài 1: Phương pháp chia đôi 3

Bài 2: Phương pháp lặp 3

Bài 3: Phương pháp Newton 4

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5

Bài 1: Phương pháp Gauss 5

Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel 6

III NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ 6

Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange 6

Bài 2: Phương pháp nội suy Newton 7

IV TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 8

Bài 1: Tìm đạo hàm gần đúng bằng phương pháp nội suy Newton 8

Bài 2: Phương pháp hình thang và Simson 9

V GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9

Bài 1: Giải phương trình vi phân bằng cách khai triển chuổi Taylor 9

Bài 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler 10

CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA 11

KẾT LUẬN 13

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

LỜI MỞ ĐẦU

Các bài toán ứng dụng trong vật lý thường là không “đẹp” và không thể giải theo các phương pháp tính đúng Đồng thời với đó là các kết quả thực nghiệm đo đạc cần được xử lý cũng như từ những số liệu này ta cần biểu diễn qua một hàm toán học như thế nào? từ đó mới rút ra được những qui luật chung được Để giải quyết các vấn đề này bộ môn phương pháp tính sẽ cung cấp cho ta những kiến thức cũng như những công cụ giải quyết các bài toán thực tế này Trên cơ sở đó nhằm chuẩn bị những kiến thức bước đầu cho quá trình nghiên cứu và xử lý số liệu trong quá trình nghiên cứu vật lý tôi chọn đề tài luận “ Giải một số bài toán giải tích theo các phương pháp gần đúng”

Trong tiểu luận này tôi không đề cập đến các lý thuyết về các phương pháp

mà chỉ đề cập đến việc giải quyết một số bài toán cơ bản nhất mà ta thường gặp Đề tài thực hiện theo ý kiến chủ quan của cá nhân nên sẽ không tránh khỏi những sai lầm thiếu sót trong quá trình thực hiện nên mong thầy và các bạn học viên đóng góp

ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn của Tiến sĩ Võ Thanh Tùng

và sự đóng góp ý kiến của các học viên chuyên ngành vật lý trường đại học khoa học Huế để tiểu luận của tôi ngày càng hoàn thiện

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG

I GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG

Bài 1: Phương pháp chia đôi

Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình: f(x) = x 4 + 2x 3 – x – 1 biết khoảng cách ly nghiệm là: x ϵ [0,1] với sai số không quá 10 -3

Giải:

Ta có: f(0)= -1 ; f(1) =1  f(0).f(1) =(-1).1 = -1 < 0

Nên phương trình đã cho có một nghiệm x ∈ [0;1]

Áp dụng phương pháp chia đôi

Bảng kết quả:

n an f(an) bn f(bn) xn =

2



n n

a b

f(xn) Sai số

3 0.75 -0.59 0.875 0.051 0.8125 -0.3039 0.06250

4 0.8125 -0.30 0.875 0.051 0.8438 -0.1356 0.03125

5 0.8438 -0.14 0.875 0.051 0.8594 -0.0446 0.01563

6 0.8594 -0.04 0.875 0.051 0.8672 0.0026 0.00781

7 0.8594 -0.04 0.8672 0.003 0.8633 -0.0211 0.00391

8 0.8633 -0.02 0.8672 0.003 0.8653 -0.0093 0.00195

9 0.8653 -0.01 0.8672 0.003 0.8663 -0.0033 0.00098

Áp dụng công thức tính sai số tính sai số tại n = 9

Δxn =  

1

2n





= 0.00098< 0,001 Vậy nghiệm gần đúng của bài toán là: x = 0.866

Bài 2: Phương pháp lặp

Giải phương trình x 5 - 40x + 3 = 0; x ∈ [0,1], bằng phương pháp lặp với

sai số không quá 10 -7

Giải:

Ta có: f(0) = 3; f(1) = -36  f(0).f(1) =3.(-36)= -108 < 0

Nên phương trình trên có nghiệm thuộc [0,1]

Ta đưa phương trình đã cho về dạng: x =

5

3 40

Đặt: g(x) =

5

3 40

Ta thấy g(x) thoả mãn: 0 ≤ g(x) ≤ 1

0 ≤ g/(x) =

4

8

x

≤ g/(1) = 1

8 = q < 1 với x ∈ [0,1]

Xây dựng phép lặp với: 4

0

1

0.5 3 40

n n

x x









Lập bảng:

1 0.07656250 6.10-2

2 0.07500086 2,23.10-4

3 0.07500079 0,097.10-7

Sai số: 3 | 3 2|

1

q

x x q

Vậy nghiệm của bài toán là x = 0.07500079

Bài 3: Phương pháp Newton

Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng phương trình: f(x) =

x 4 - 2x – 4 = 0 biết khoảng cách ly nghiệm là: [1; 1,7], với sai số không quá 10 -3

Giải:

Ta có: f(1)= - 5 < 0; f(1,7)= 0,9521 >0

f(x) liên tục trên [1 ;1,7]

f /(x) = 4x3 – 2 ≥ 0 và f //(x) = 12x2 > 0 với ∀ x ∈ [1;1,7];

nên chọn x0 = 1,7 thì phương pháp lặp Newton sẽ hội tụ

Xây dựng phép lặp Newton:

4 0

1 3

1 1

1

1,7

n n

n n

n

x

x x

x















  



Ta có

f / (x)

1min |1,7 '( ) | 2

X

 

4

2

n

m

Lập bảng ta có :

Do mức độ sai số không quá 10-3 nên nghiệm của bài toán là: x = 1,643

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1: Phương pháp Gauss

Giải hệ phương trình

x







bằng phương pháp Gauss

Giải

A =

và b =

1 6 2

 

 

 

 

 

Ta có detA ≠ 0

Thực hiện phép biến đổi Gauss để chuyển về ma trận tam giác :

[A|b] =

 

1 2 2

h  h

1 1 3

h h



2 2 3

h h





3

4 11

x x x







 1

2

3

40

15 11

x x x

 



  



 Vậy nghiệm của bài toán là: x1 = - 40; x2 = 15; x3 = 11

Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel

Giải hệ phương trình







bằng phương pháp

Gauss – Seidel

Giải Phương trình trên có thể viết lại như sau:







Ta có: A =



Áp dụng phương pháp Gauss – Seidel ta suy ra được

1

15 1

15 1

15













||C|| ∞ = max(0 + 2

15 + 1

15,

1

15 + 0 +

1

15, 1

9

15 + 6

15 + 0) = 1

Chọn vecto x0 = (0, 0, 0) tìm nghiệm gần đúng đến x(6) Ta có bảng sau:

n

x x 3 n x 3 n

Vậy nghiệm x1 = 0.364503666, x2 = 0.530534267, x3 = -0.406488492

III NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ

Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange

Cho hàm số f(x) thoả mãn:

xi 1 2 3 4 5

Tìm hàm nội suy Lagrange của f(x); tính f(3,5)

Giải:

Áp dụng phương pháp nội suy Lagrange ta có bảng sau

m m

y D

3 

24 x1

3 x 2





 7 

4 x3

Hàm nội suy Lagrange của f(x) được cho bởi:

0

n m n

m m

y

D





= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)[

8 x 1 + 3x12



 + 4x7 3 + 6x1 4]

= 70 -

 f(3,5) = (3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4)(3,5 – 5)[

8 3,5 1  3 3,5 2

4 3,5 3 6 3,5 4

Bài 2: Phương pháp nội suy Newton

Cho hàm f(x) và bảng xác định một số giá trị của hàm f(x):

x 1,01 1,09 1,14 1,21 1,28 f(x) 1,17520 1,30254 1,38631 1,50946 1,21730 Tính gần đúng f(1,134)

Giải

Áp dụng phương pháp nội suy Newton ta có bảng sai phân:

x n f(x n ) f(x n ,x n+1 ) f(x n ,x n+1 ,x n+2 ) f(x n ,x n+1 ,x n+2 ,x n+3 ) f(x n ,x n+1 ,x n+2 ,x n+3,x n+4)

Theo công thức Newton tiến ta có:

f(x) = -1276,04 + 4609,04x -6231,13x2 + 3739,58x3 - 840,31x4

f(1.134) = -1276,04 + 4609,04×1.134 -6231,13×1.1342 + 3739,58×1.1343 - 840,31×1.1344

Vậy f(1.134) = 1.37398

IV TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bài 1: Tìm đạo hàm gần đúng bằng phương pháp nội suy Newton

Tính giá trị đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại x = 1.1, nếu giá trị của hàm được cho trong bảng sau:

yi = f(xi) 1.266 1.326 1.393 1.469 1.553 1.647

Giải

Ta sử dụng phương pháp nội suy Newton tìm hàm y = f(x)

Ta có bảng sai phân như sau:

Áp dụng công thức :



2

n

trong đó h = x2- x1 = 0,1

Thay các giá trị vào (1) ta có:

f(x) = 5 𝑥5−125 𝑥4

4 +8371 𝑥3

108 −68449 𝑥2

720 +3142423 𝑥

54000 −14758

1125

f / (x) = 25 𝑥4 − 125 𝑥3+8371 𝑥2

36 −68449 𝑥

360 +3142423

54000

 f / (1.1) = 0.6294074074074

f // (x) = 100 𝑥3− 375 𝑥2+8371 𝑥

18 −68449

360

 f // (1.1) = 0.775

Bài 2: Phương pháp hình thang và Simson

Cho tích phân: I = ∫𝟎𝟏𝒙𝟐𝟏+𝟏𝒅𝒙 Hãy chia đoạn [0,1] thành n = 10 đoạn con

bằng nhau rồi tính gần đúng tích phân theo công thức hình thang và công thức Simson

Giải:

Hàm f(x) = 1

𝑥 2 +1 ∀ x ∈ [0,1]

Chia đoạn [0,1] thành 10 đoạn con bằng nhau nên h = 1−0

10 = 0.1

Ta lập bảng:

f(x) 1 0.990099 0.961538 0.917431 0.862069 0.8 0.735294

f(x) 0.671141 0.609756 0.552486 0.5

+ Áp dụng công thức bậc thang có:

I = ℎ

2(y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9) + y10)

I ≈ 0.784981 với sai số: Δ = 0.0004

+ Áp dụng công thức Simson có:

I = ℎ

3(y0 + y10 + 2( y2 + y4 + y6 + y8 ) + 4(y1+ y3 + y5 + y7 + y9))

I ≈ 0.785398 với sai số Δ = 0.0005625

V GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài 1: Giải phương trình vi phân bằng cách khai triển chuổi Taylor

Cho phương trình vi phân:y’ = x + y với y(0) = 1 Sử dụng khai triển chuổi Talor tìm nghiệm của bài toán và tính gần đúng nghiệm tại x = ± 0.1 và x = ± 0.2

Giải a) Tìm nghiệm bài toán theo khai triển Taylor

y = f(x) = f(x0) + 𝑓

′ (𝑥0) 1! (𝑥 − 𝑥0) +𝑓′′(𝑥0 )

2! (𝑥 − 𝑥0)2+ ⋯ Theo giả thiết bài toán: x0 = 0, y0 = f(x0) = 1

 𝑦(1)(0) = 𝑓′(0) = 1

𝑦(2) = 𝑓′′(𝑥) = 1 + 𝑦(1)  𝑦(2)(0) = 𝑓′′(0) = 2

𝑦(3) = 𝑓′′′(𝑥) = 𝑦(2) 𝑦(3)(0) = 𝑓′′′(0) = 2

𝑦(4) = 𝑦(3) = 2

………

y(n) = y(n-1) = 2

y = 1 + 𝑥

1! + 2.𝑥

2

2! -2 1

3!x3 +… = 1 – x + 2×(𝑥

1! + 𝑥

2

2! - 1

3!x3 +… +1 - 1 )

y = 2ex – x – 1

y(-0.1) = 2𝑒−0.1 + 0.1 − 1 = 0.909675

y(-0.2) = 2𝑒−0.2 + 0.2 − 1 = 0.837462

y(0.1) = 2𝑒0.1 − 0.1 − 1 = 1.11034

y(0.2) = 2𝑒0.2 − 0.2 − 1 = 1.24281

Bài 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler

Cho phương trình vi phân: 𝒚′ = 𝒙 + 𝒙𝟐+ 𝒚𝟐 với y(0) = 0 Sử dụng phương pháp Euler tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng [-0.2, 0] bước nhảy h = - 0.05 tại x = - 0.15

Giải

Áp dụng công thức Euler cải tiến ta có:

y0 = 0

yn+1 = yn + 𝑘1+𝑘2

2 ;

k1 = h×f(xn, yn) = - 0.05×f(xn, yn);

k2 = h×f(xn + h, yn +k1) =- 0.05×f(xn - 0.05, yn - 0.05×f(xn, yn);)

Ta lập bảng tìm các giá trị nghiệm gần đúng ứng với các bước nhảy h = - 0.05:

Từ bảng ta thấy tại x = - 0.15 thì y có giá trị là 0,010059

CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA

Để kiểm tra kết quả tính toán ở trên tôi viết các chương trình bằng ngôn ngữ lập trình Mathematica Những chương trình này được chứa trong thư mục

"Mathematica" Trong thư mục này gồm 5 thư mục con chứa các chương trình theo thứ tự bố cục của phần giải theo lý thuyết nêu ở trên

Một số lưu ý khi sử dụng chương trình:

- Chương trình được viết theo Font chữ VNI Window nên khi chạy chương trình để thuận tiện trong việc quan sát kết quả chương trình nên thực hiện như sau:

+ Bôi đen tất cả: Ctrl + A

+ Chọn: Format/font sẽ xuất hiện hộp thoại "Font" chọn font VNI - Times như hình

- Để kết quả được chính xác sau mỗi lần nên làm như sau: chọn Valuation/Quit Kernel/Local sẽ xuất hiện hộp thoại Quit Kernel chọn quit để xóa các dữ liệu lưu trong bộ nhớ khỏi ảnh hưởng các lần tính sau

- Kết quả tính toán nằm ở cuối chương trình sau đường nét đứt

- Khi làm việc với chương trình chỉ nên thay đổi phần được bôi đỏ không nên thay đổi các câu lệnh không được bôi đỏ sẽ dẫn đến kết quả không chính xác hoặc chương trình không chạy được

KẾT LUẬN

Trong quá trình giải các bài toán bằng phương pháp gần đúng tôi thấy mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng Song song với cách giải thông thường tôi tiến hành viết một số chương trình bằng Mathematica để kiểm tra tính đúng đắn của bài

Đối với phần kiểm tra kết quả bằng Mathematica tôi viết một số chương trình như sau:

- Giải gần đúng phương trình: phương pháp chia đôi, phương pháp newton

- Giải hệ phương trình: giải chính xác và giải gần đúng bằng pháp lặp đơn

- Bài toán nội suy: Nội suy hàm theo phương pháp Lagrange và Newton

- Tính gần đúng tính phân: Phương pháp bậc thang (Truce) và phương pháp Simson

- Giải phương trình vi phân: Phương pháp Euler cải cải tiến và phương pháp Runge - Kutta

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M.P Cherkasova, Collected Problems in Numerical Method, Translated and

edited from the Russian by Dr G.L.THOMAS University of London King's College and Dr R S.ANDERSSEN Computer Center, The Australian National University Canberra, Australia

[2] TS Võ Thanh Tùng, Bộ bài giảng phương pháp, Đại học Khoa học Huế

[3] Tạ Văn Dĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản giáo dục, 1999

[4] Trương Vĩnh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trường, Giáo trình phương pháp

tính, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh

[5] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính, Trường Đại Học Bách

Khoa Đà Nẵng

[6] Các thông tin về phương pháp số và mathematica trên mạng internet