Tiểu luận phương pháp toán trong tin học TÌM HIỂU LOGIC VỊ TỪ

Có những mệnh đề mà giá trị của nó luôn đúng hoặc sai bất chấp thời gian nhưng cũng có những mệnh đề mà giá trị của nó lại phụ thuộc vào thời gian, không gian và nhiều yếu tố khách quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TRONG TIN HỌC

TÌM HIỂU LOGIC VỊ TỪ

Giảng viên: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ

Học viên: Phạm Minh Tiến

MSHV: CH1301034

Tp HCM, ngày 25 tháng 12 năm 2013

M c l c ục lục ục lục

I Logic mệnh đề 3

1 Định nghĩa logic mệnh đề 3

2 Chân trị trong logic mệnh đề 3

3 Các qui tắc thay thế 3

4 Nhược điểm logic mệnh đề 3

II Logic vị từ 5

1 Khái niệm về vị từ 5

2 Không gian của vị từ 5

3 Trọng lượng của vị từ 5

4 Phép toán vị từ 6

5 Các phép toán trên vị từ một biến 7

II Lượng từ 8

1 Lượng từ tồn tại (∃) 8

2 Lượng từ với mọi (∀) 8

3 Tầm vực của lượng từ 8

4 Cách định chân trị 8

5 Các định lý thường dùng: 9

Tài liệu tham khảo 12

I Logic m nh đ ệnh đề ề

1 Đ nh nghĩa logic m nh đ ịnh nghĩa logic mệnh đề ệnh đề ề

Logic mệnh đề là kiểu biểu diễn tri thức đơn giản nhất và gần gũi nhất đối với chúng ta Đồng thời nó cũng là môt khái niệm cơ bản của toán học không được định nghĩa mà chỉ được mô tả Do đó giá trị của nó chỉ có thể hoặc là đúng hoặc là sai Giá trị của mệnh đề không chỉ phụ thuộc vào bản thân mệnh đề đó Có những mệnh đề mà giá trị của nó luôn đúng hoặc sai bất chấp thời gian nhưng cũng có những mệnh đề mà giá trị của nó lại phụ thuộc vào thời gian, không gian và nhiều yếu tố khách quan khác

Ví dụ:

 Sáng nay An ăn xôi

 Noel năm nay trời rất lạnh

 Minh chưa làm bài

2 Chân tr trong logic m nh đ ịnh nghĩa logic mệnh đề ệnh đề ề

Giá trị của logic mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai Khi mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P cóchân trị sai Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1 hay Đ (đúng), T (true) và 0 hay S (sai), F(false)

Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề

là tương đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh đề kia, ta có các cách sau

 Lập bảng chân trị

 Sử dụng phép thay thế

3 Các qui t c thay th ắc thay thế ế

a Quy tắc thay thế thứ 1: Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E

b Quy tắc thay thế thứ 2: Giả sử dạng mệnh đề E(p, q, r…) là một hằng đúng Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’, q’, r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q, r… ,p’,q’ ,r’ ,… vẫn còn là 1 hằng đúng

4 Nh ược điểm logic mệnh đề c đi m logic m nh đ ểm logic mệnh đề ệnh đề ề

 Không thể hiện được các phát biểu có các biến

Ví dụ: m < 5, a = b + 4, v.v Bởi vì các biến chưa có giá trị Tuy nhiên, phát biểu dạng như trên xuất hiện rất nhiều

 Những sự tương đương không biểu diễn được bằng logic mệnh đề

Ví dụ:

"không phải tất cả mọi người đều ăn phở" và "có một số người ăn cơm"

"không phải tất cả số nguyên đều là số chẵn" và "kột số số nguyên thì không chẵn"

Để khắc phục nhược điểm trên của logic mệnh đề người ta đưa ra cách khắc phục bằng cách liệt kê riêng rẽ mỗi mệnh đề để tiến hành suy diễn

Ví dụ:

 Phát biểu x > 3 có 2 phần:

- Biến x

- Tính chất của biến x (> 3), được gọi là vị từ (predicate)

Nói cách khác, predicate là vị từ mô tả tính chất của những đối tượng, hoặc quan

hệ giữa chúng Ký hiệu phát biểu P(x)

⇒ P(2), P(4) là mệnh đề

Xét các câu sau:

 The car Tom is driving is blue

 The sky is blue

 The cover of this book is blue

Chúng ta có thể có 1 vị từ "is blue", viết tắt là B

B(x) nghĩa là "x is blue"

Khi đó, ta có thể biểu diễn các câu như sau

 B(The car Tom is driving)

 B(The sky)

 B(The cover of this book

II Logic v t ịnh nghĩa logic mệnh đề ừ

1 Khái ni m v v t ệnh đề ề ịnh nghĩa logic mệnh đề ừ

Cho A là một tập hợp khác rỗng Giả sử,ứng với mỗi x ∈ A ta có một mệnh

đề p(a) Khi đó, ta nói p = p(x) là một vị từ theo một biến (xác định trên A) Nói

cách khác, vị từ có thể xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ

 Bản thân P(x) không phải là mệnh đề

 Nếu thay x bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A ta sẽ được một mệnh

đề P(x) nghĩa là khi đó chân trị của P(x) được gọi là các biến tự do của vị từ

Ví dụ:

 Các câu có liên quan tới các biến như: “x > 100”, “z - m = 10” rất hay gặp trong toán học và trong các chương trình của máy tính Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được gán giá trị xác định.Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không

có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ

 Câu {n là chẵn} là một vị từ Nhưng khi cho n là một số cụ thể là chẵn hay

là lẻ ta được một mệnh đề:

- n = 2 :{2 là chẵn}: mệnh đề đúng

- n = 5 :{5 là chẵn}: mệnh đề sai

Vị từ { n là chẵn} có 2 phần Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu Phần thứ hai "là chẵn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có

Ký hiệu: P(n) = {n là chẵn} Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n Một khi biến n được gán trị thì P(n) là một mệnh đề

2 Không gian c a v t ủa vị từ ịnh nghĩa logic mệnh đề ừ

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc tập hợp E ta được một ảnh P(x)

 ∈{ϕ, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ

 Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai

3 Tr ng l ọng lượng của vị từ ược điểm logic mệnh đề ng c a v t ủa vị từ ịnh nghĩa logic mệnh đề ừ

Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ

 Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N Ta nói P có trong lượng 2

Trong một vị từ P(x1, x2, ,xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1) Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ

4 Phép toán v t ịnh nghĩa logic mệnh đề ừ

Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức

Ví dụ: Cần viết câu “Nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau”

Dưới dạng logic vị từ

 Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

- "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai

- "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai)

Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) ⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬ thích (X, Y)

 Hằng

Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ các hằng được ký hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính

 Biến

Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính Biến được viết bằng các ký hiệu được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự

Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh” có thể viết lại: “X màu Y” Quả bóng xanh là các hằng được xác đinh trong không gian của vị từ X, Y là biến

 Các vị từ

Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần Vị từ

và phần tham số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng

Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y).Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán

 Hàm

Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số

Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của nhau

Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này

Mẹ (Mai) = Hoa

Cha (Cúc) = Đông

Bạn (Hoa, Đông)

Các hàm được dùng trong vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc)

5 Các phép toán trên v t m t bi n ịnh nghĩa logic mệnh đề ừ ột biến ế

Vị từ một biến được gọi là vị từ cấp 1

Cho vị từ một biến P(x) và Q(x) trên trường M

 Phép toán phủ định ký hiệu: ¬ P(x) cũng là một vị từ trên trường M mà khi thay thế x = a ∈ M ta được mênh đề ¬ P(a) nhận giá trị đúng khi P(a) nhận giá trị sai và ngược lại

 Hội hai vị từ P(x) và Q(x) ký hiệu: P(x) ^Q(x) trên trường M mà khi thay thế

x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) ^Q(a) nhận giá trị đúng khi cả P(a) và Q(a) nhận giá trị đúng, sai trong tất cả các trường hợp còn lại

 Tuyển hai vị từ P(x) và Q(x) ký hiệu: P(x) v Q(x) trên trường M mà khi thay thế x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) v Q(a) nhận giá trị sai khi cả P(a) và Q(x) nhận giá trị sai, đúng trong tất cả các trường hợp còn lại

 Vị từ P(x) suy ra Q(x) ký hiệu: P(x) -> Q(x) trên trường M mà khi thay thế

x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) -> Q(a) nhận giá trị đúng khi cả P(a) sai hoặc P(a) đúng, Q(a) đúng, mệnh đề này sai khi giả thuyết là P(a) đúng, kết luận là Q(a) sai

II L ược điểm logic mệnh đề ng t ừ

1 L ược điểm logic mệnh đề ng t t n t i ( ừ ồn tại ( ại ( ∃)

Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng" là một mệnh đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x) Ký hiệu: ∃x P(x)

Ví dụ:

 P(x) = ”x > 3”

Miền giá trị x ∈ R

Mệnh đề: ∃xP(x) là T

 Q(x) = ”x = x + 1”

Miền giá trị x ∈ R

Mệnh đề: ∃xQ(x) là F

2 L ược điểm logic mệnh đề ng t v i m i ( ừ ới mọi ( ọng lượng của vị từ ∀)

Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh

đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x) Ký hiệu: ∀xP(x)

Ví dụ:

 Mọi sinh viên máy tính phải học môn logic

P(x) = "x phải học môn logic"

Mệnh đề: ∀xP(x)

S(x) = x là sinh viên máy tín

P(x) = x phải học môn logic

Mệnh đề: ∀x(S(x) → P(x))

3 T m v c c a l ầm vực của lượng từ ực của lượng từ ủa vị từ ược điểm logic mệnh đề ng t ừ

Ký hiệu bởi [] hoặc (), nếu không có thì tầm vực là công thức nhỏ nhất ngay sau lượng từ Biến x là bound nếu:

 Biến x được gán giá trị

 Biến x được lượng từ hóa

Biến x là free nếu nó không bound

Ví dụ:

 ∀xP(x, y) thì x là bound và y là free

 ∀x(∃yP(x, y)∨Q(x, y)) thì x, y trong P(x, y) là bound, trong khi y trong Q(x, y) là free

4 Cách đ nh chân tr ịnh nghĩa logic mệnh đề ịnh nghĩa logic mệnh đề

∀xP(x) = P(x1) ∧ P(x2) ∧ ∧ P(xn)

∃xP(x) = P(x1) ∨ P(x2) ∨ ∨ P(xn)

Trong đó x¬1, x2, , xn là liệt kê các giá trị có thể có của x

Thử tất cả các xi với ∀ để xác định T Tìm một xi với ∃ để xác định T Thứ

tự của lượng từ là quan trọng, chỉ trừ khi tất cả các lượng từ là "với mọi" hoặc tất cả

là "tồn tại" Đọc từ trái sang phải, áp dụng từ trong ra

 Ví dụ:

o ∀x∀y(x + y = y + x) T với tất cả x, y ∈ R

o ∀x∃y(x + y = 0) là T,trong khi ∃y∀x(x + y = 0) là F

5 Các đ nh lý th ịnh nghĩa logic mệnh đề ường dùng: ng dùng:

Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:

a ∀a∀b P(a,b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị.

Nghĩa là : ∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀a P(a, b)

Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)

b ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔ ∃b∃a P(a, b)

Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)

c Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì ∀b∃a P(a,b) cũng đúng

nhưng điều ngược lại chưa đúng

Nghĩa là : ∃a∀b P(a,b) → ∀b∃a P(a,b)

Chứng minh (c)

Giả sử “∃a ∈ A, ∀b ∈ B, p(a,b)” là đúng Khi đó, tồn tại a thuộc A sao cho

“∀y ∈ B, p(a,b)” là đúng, nghĩa là nếu thay b = y thuộc B bất kỳ thì p(a,b) đúng Như vậy, y = b thuộc B tuỳ chọn thì ta có thể chọn a = x để “∃x ∈ A, p(a, b)” là đúng Do đó, “∀b ∈ B, ∃a ∈ A, p(a,b)” là mệnh đề đúng

Ví dụ thể hiện chiều đảo của 3 là chưa chắc đúng:

- Gọi p(x,y) là vị từ theo 2 biến thực p(x,y) = “x + y = 1”,

- Nếu thay y tuỳ ý thì x = 1 - y để cho x + y = 1 nên mệnh đề tồn tại x thuộc A, p(x, y) là đúng Nên mệnh đề “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” là đúng

- Ngược lại, nếu chọn x = a tuỳ ý, ta có thể chọn y = -a để “∀y ∈ B, p(x, y)” là sai Điều này chứng tỏ, “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” là sai

Do đó, phép kéo theo sau là sai: “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” -> “∃x

∈A, ∀y ∈ B, p(x,y)”

Định lý 2:

- ¬ (∀ x P(x)) và ∃ x (¬ P(x) là có cùng chân trị

- ¬ (∃ x P(x)) và ∀ x (¬ P(x) là có cùng chân trị

Giải thích:

 Phủ định với ∀x P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng không là tất cả tập hợp E Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x

∈ E mà ở chúng P(x) là sai hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử

x ∈ E mà ở chúng P(x) là đúng

 ¬ ∃ x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp trống Nghĩa là, tập hợp những x mà ở chúng P(x) là sai là tập hợp E hay không có phần tử nào làm P(x) đúng Ta có ∀ x (¬ P(x))

Ví dụ: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3"

Phương pháp ứng dụng.Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những định lượng ∀ bởi ∃, và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó

Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian

 Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) và (∀x (P(x) ∧∀x (Q(x)) là có cùng chân trị

 Nếu mệnh đề ∃x (P(x) ∧ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧ (∃xQ(x)) cũng đúng

 Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) và (∃xP(x) ∨∃xQ(x)) là có cùng chân trị

 Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề ∀xP(x)

∨∀xQ(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng



Chú thích:

Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có :

 Tập hợp A⊂ E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng

 Tập hợp B⊂ E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là đúng

 Khi đó người ta lưu ý rằng, A∧B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng mệnh đề P(x)∧Q(x) là đúng Trong khi đó A∨B là tập hợp những x của E mà

ở đó mệnh đề P(x)∨Q(x) là đúng

6 Công thức tương đương:

A tương đương B nếu và chỉ nếu (A → B) ∧ (B → A) Ký hiệu: A ≡ B |= (A → B) ∧ (B → A)

Một số công thức tương đương:

 ~∀x W(x) ≡ ≡ ∃x ~W(x)

 ~ ∃x W(x) ≡ ≡ ∀x ~W(x)

 ∃x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ≡ ∃x A(x) ∨ ∃x B(x)

 ∀x(A(x) ∧ B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) ∧ ∀x B(x)

 ∃x (A(x) → B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) → ∃x B(x)

 ∀x∀y W(x,y) ≡ ≡ ∀y∀x W(x,y)

 ∃x ∃y W(x,y) ≡ ≡ ∃y∃x W(x,y)

Các phép tương đương có giới hạn:

Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:

 ∀x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∀x A(x)

 ∃x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∃x A(x)

Conjunction

 ∀x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∀x A(x)

 ∃x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∃x A(x)

Implication

 ∀x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∀x A(x)

 ∃x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∃x A(x)

 ∀x (A(x) → C) ≡ ≡ ∃x A(x) → C

 ∃x (A(x) → C) ≡ ≡ ∀x A(x) → C

Một vài điều kiện không tương đương:

 ∀x W(x) → ∃x W(x)

 ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) → ∀x(A(x) ∨ B(x))

 ∃x(A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃x B(x)

 ∀x(A(x) → B(x)) → (∀x A(x) → ∀x B(x))

 ∃y ∀x W(x,y) → ∀x ∃y W(x,y)

Tài li u tham kh o ệnh đề ảo

[1] - http://vi.wikipedia.org/wiki/Logic

[2] - Ebook "Logic Vị từ", Nguyễn Quang Châu, khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM