CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I - BẤT ĐẲNG THỨC Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương: Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳ
Trang 1CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I - BẤT ĐẲNG THỨC
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức:
- Phương pháp biến đổi tương đương:
Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng
- Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si:
a) Đối với 2 số không âm a và b: ab ab
2 hay ab 2 ab
a Đẳng thức xảy ra a = b
b) Đối với 3 số không âm a, b và c: 3
c b a
hay
3
3 abc
c b
a
a Đẳng thức xảy ra a = b = c
c) Tổng quát: Đối với n số không âm a1;a2;a3; ;a n:
n
n
a a
a a
.
3 2 1 3
2
d) Ch ý:
a a2 b2 2ab với mọi số thực a, b
Trang 2b Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng được bất đẳng thức Cô-si với các kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2, ghép cặp 3, ví dụ:
e)
b a a b a
b b a b a
2 2
; 2
f)
2
1 2
1 1
2 2
1
: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2) ab a b
3) a2 abb2 0
4) 3
a
c
c
b
b
a
, với a, b, c > 0
9 6
3a b ab a, b 0
6) Tìm GTNN của 2 2
3
1
A
7) Tìm GTLN của A 5 3 x x x 8,
0
x
8) Tìm GTNN của 2 32
x x
A , x 0
9) Tìm GTNN của
2
1
x x
A , x 2
Trang 310)
11) Chứng minh bất đẳng thức:
R
d
c
b
, , , , 2 2 2 2 2
.c d b
a bd
ac (BĐT Bunhiacopxki)
HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về
ad bc2 0
a
b b
a
, a 0 ;b 0
HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về:
a a b a b2 0,
2 2
2a b
b
a , a 0 ;b 0
HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2 vế 13) x2 4y2 3z2 14 2x 12y 6z, với mọi x, y, z
HD: biến đổi tương đương
14) Cho 4x y3 15 Chứng minh: x2 y2 9
HD: Rt x hoặc y từ 4x y3 15 , thế vo x 2 y2
15) Chứng minh: abc ab bc ca với a,b,c 0
HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a)
Trang 416) Chứng minh: a 1b 1acbc 16abc với a, b, c dương
17) Với a bất kì, chứng minh: 4
2
6
2
2
a
a
HD: Tch
2
4 2
2
4 2 2
6
2 2
2 2
2 2
a
a a
a a
a
18) Cho a,b,c 0, chứng minh: abbcca 8abc
19) Cho a, b 0, chứng minh: ab 1 ab a b
20) Cho a, b 0, chứng minh: 2
2
1 2
1
b a b
21) Với x R, tìm GTNN của 2 12
3
x x
A
22) Tìm GTNN: 2 2
3
1
23) HD: Khai triển 2 2
3
1
x , nhóm hằng đẳng thức Chứng minh: A 2
24) Tìm GTNN của
1
3 1
x x
A với x 1
25) Tìm GTNN của:
2
2
x x
A , với x 2
Trang 526) HD: Phn tích: 2
2
2
x x
A Áp dụng bất đẳng thức đối
với 2 số
2
2
; 2
x
27) (Đáp án: minA 2 2 1
28) Tìm GTLN của: Ax 31 x với 1 x 3
29) Tìm GTLN của: A2x 35 x, với 5
2
3
30) HD: Phn tích: A x x
2
3
2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
đối với 2 số x ; 5 x
2
3
31) Tìm GTNN v GTLN của hm số: y1 2x2x 4 với
2
1
2
32) Tìm GTNN của:
x x
A
2
1 với x 2
2
x x x x
34) Chứng minh rằng : 1 a 1 a 1, a 1
a
35) Tìm GTNN của 1 1 , 0 1
1
Trang 636) Tìm GTNN của 4 9 , 0 1
1
37) Tìm GTLN của 3 4
y x x x
38) Chứng minh rằng : 4 4 3 3
x y x yxy
39) Chứng minh rằng : 2 2 2
4 3 14 2 12 6
x y z x y z
40) Chứng minh rằng : a b a b
b a
41) Chứng minh rằng : 1 1 4
ab a b
4
a b c d
abcd
43) Chứng minh rằng : 1 1 1 1 16
abcd a b c d
44) Chứng minh rằng : 2 1
2
b
45) Chứng minh rằng : a b b c c a 8abc.
46) Chứng minh rằng : a b2 2 2a b ab
47) Chứng minh rằng : 1 1 1 9
abc a b c
48) Chứng minh rằng : 2 22 2
x y xy xy x y
Trang 749) Chứng minh rằng :x 2y 2xyy 1 0, x y,
50) Chứng minh rằng :a 1b 1a c b c 16abc a b c , , 0. 51) Chứng minh rằng
, , 0.
2
a b c
a bc b ca c ab a b b c c a
53) Chứng minh rằng :
54) Cho 3 số thực dương a, b v c thoả :ab+bc+ca = abc chứng minh rằng :
55)
1
56) Tìm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
57) A x t t y y z z x
58) Chứng minh rằng :
b c a với a, b, c là các số
thực dương