Bài tập chuyên đề phương trình bất phương trình hệ phương trình lượng giác

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.. VẤN ĐỀ 2 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... Xác định a để phương trình có nghiệm.. Với giá trị nào của m thì phương trình có

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN KIẾN THỨC CƠ BẢN

Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Phương trình Lời giải ( , 'k k )

' 2





 



   



' 2



 



   



t anX tan

cotX cot









X  A k

Giải các phương trình sau :

1) sin 1

2

x

2) 2sinx 3

3) cos 3

2

x

4) sin 2 3

2

x

   

 

 

  

 

 

sin 2 50

2

8) tanx 3

3

  

 

 

3

  

 

 

11) tan2 1

3

x

12) 2 tan sinx xtanx0

13) 2 tan cot

14) 2

3sin 2x7cos 2x 3 0

15) 2

6cos x5sinx 7 0

16) cos 2x5sinx 3 0

18) 2

6sin 3xcos12x14

19) 4sin4x12cos2x7

20) 2

2cos x3cos 2x4

21) 2

5sin x2cos 2x2

22) sin 2xsinx0

23) 5sinxcos2x 2 0

24) sin cos 1

2

x

x

 

25) tan2 2 3

4

  

 

 

26) 7 tanx4 cotx12

cot x 3 1 cot x 30

28) 2sin2x2cos2x4sinx 2 0

2 2

1 2 2 cos

1 tan

x

x

   



30) os2 2 os 22 3cos 2 4 0

31) 2 tanx 1 tan2x

32) tanxtan 2x0

33) tanx 3 cotx 1 30

34) 3tanx 3 cotx 3 30

35)

2

2

sin 2 2

tan sin 2 4 cos

x

x

 



36) 2 tan cot 2sin 2 1

sin 2

x

2

      

 

38) 3cos 2x4cos3xcos3x0

39) 4sinx 1 2cos 2 x 2

40) tanxtan 2xsin 3 cosx x

tan 45 tan 45

tan cot

x

 42) sin 2 sin 6x xsin 3 sin 5x x

43) sin sin 7x xsin 3 sin 5x x

44) sin 5 sin 3x xsin 9 sin 7x x

45) cos os3x c xsin 2 sin 6x xsin 4 sin 6x x0

46) sin 4 sin 5x xsin 4 sin 3x xsin 2 sinx x0

47) sin 5xsin 3xsin 4x

48) sinxsin 2xsin 3x0

49) cosxcos 3x2 cos 5x0

50) cos2xsin2xsin 3x c os4x

51) cos 22x3cos18x3cos14xcos10x0

os2 cos 2sin

2

x

53) 8cos 2 sin 2 os4x x c x 2

sin sin 2 sin 3

2

55) sin 32 xsin 42 xsin 52 xsin 62 x

56) sin 22 xsin 42 xsin 62 x

57) cos2x c os 22 x c os 32 x c os 42 x2

58) sin6xcos6x4cos 22 x

59) 2tan2x3tanx2cot2x3cotx 2 0

60) 2tan2x3tanx2cot2x3cotx 3 0

Tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau:

61) sin 2 2

  

 

  trong khoảng

,

3 6

 

 

 

 

62) os 2

x

c  trong khoảng 2 , 4 

63) tan3 3

5

x  

trong khoảng ,7 ,

2 6

 

 

64) sin 2 9 3cos 15 1 2 sin

      

    trong đoạn x0, 2

65) sin cos 1

x

x

s x   trong khoảng x0, 2

66) sin 3 sin os2 sin 2

1 os2

 trong khoảng x0, 2

67) 1 cos 1 cos 4 sin

cos

x x

   

trong khoảng x0, 2

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH:

68) cos 2x4m1 sin x2m0

69) cos 2x2m3 cos x  m 1 0

70) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm x 0,

2m1 cos 2 x5cosx  m 3 0

71) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

3 ,

2 2

   cos 2x2m1 cos x  m 1 0

72) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm 0,

12

 

cos 4xcos x m sin x

LOẠI 2

Cách giải :

cos sin

os cos os sin sin ,

sin

a c

b





 



  



 



 (điều kiện để phương trình có nghiệm

a b c )

Giải các phương trình sau :

73) 4sinx3cosx5

74) 3 cosxsinx 2

75) sin cos 6

2

76) cos3xsin 3x1

77) cos5xsin 5x 1

78) 2 3 sin 3cos 9

2

79) 3sin 2x2 cos 2x3

80) 2sin 2x3cos 2x 13 sin 4x

81) sin 4x 3 cos 4x 3

os 2 15 sin 2 15 1

83) 2sinx9cosx 85

84) 2 sin 2x3cos 2x4

5 cos 2x18 12 sin 2x18  13

     

87) 2sin2x 3 sin 2x3

88) 2sin 22 x 3 sin 4x3

89) sin 8xcos6x 3 sin 6 xcos8x

90) 8 cos 3 1

sin cos

x

 

91) cos 3 sin 2 cos

3

 

 

     

93) 3 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 2

6

 

 

12 cos 5sin 14

 

4sin 3cos 4 1 tan

cos

x

96) sin6 cos6 1sin 4 0

2

97) Tìm các giá trị của  để phương trình

c   x  c   x c   có nghiệm x1 98) Tìm các giá trị của  để phương trình :

 2  2   2  

2sincos 1 x  3 sin x2 osc  3 3 sin 0

99) sin 42 x3sin 4 os4x c x4 os 4c 2 x0 trong khoảng 0,

2

 

Giải và biện luận phương trình theo tham số m :

100) Cho phương trình : m 3 os3c xsin 3xm.Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm

101) Cho phương trình :m2cos2x2 sin cosm x x3m2.Giải và biện luận phương trình theo tham số m

102) Tìm các giá trị của 3 ,

4

x   

  thỏa mãn phương trình sau với mọi

m x m x m x mc x x x

103) Tìm m để phương trình có nghiệm : sin  1 cos

cos

m

x

LOẠI 3

Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx

:A(sinx+cosx)+Bsinxcosx+C=0 (1)

4

      

 

2

2

1 2 sin cos

1 sin cos

2

t

  



Thay vào phương trình (1), ta có :

2

1

0 2

t

Giải các phương trình sau :

104) 3 sin xcosxsin 2x 3 0

105) sinxcosx4sin cosx x 1 0

106) 2 sin 2x3 3 sin xcosx 8 0

107) 2 sin xcosx3sin 2x2

108) 1 2 sinxcosxsin 2x 1 20

109) 2 sin4x 3sin2xcos2x 3 0

110) sin 2x4 cos xsinx 4 0

111) 5sin 2x12 sin xcosx120

112) 1 2 1 sin   xcosxsin 2x

113) sin 2 2 sin 1

4

   

 

2 sin xcos x sin 2x sinxcosx  2

4 sin xcos x 3sin 2x4 sinxcosx 0

sinx cosx  x x



118) 2 cos 4 9 10 cos 2 6 0

      

sin 2xcos2x sin 2xcos 2x 1

3sin 2x4sin 2x 2 3 sin 3x c os3x  6 1 0 

121) Cho phương trình :sin 2x 2a2 sin xcosx2a 3 0

a) Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng 0,

2



 

 

 

b) Xác định a để phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng 0,

2



 

 

 

c) Xác định a để phương trình có 2 nghiệm trong khoảng 0,

2



 

 

 

122) Cho phương trình :2.sin 2x2m 2 sin xcosx2m 1 0 Xác định m để phương trình có nghiệm trong khoảng 0,

LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Cách 1 :

Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ?

Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho 2

os (cos 0)

c x x ta được phương trình bậc hai

có ẩn số phụ t = tanx 2  

Cách 2 :

Dùng công thức :

2

2

1 os2 os

2

1 os2 sin

2 1 sin cos sin 2

2

x



 







 







Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x =

C)

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU :

123) sin2x10sin cosx x21cos2x0

124) sin2x2sin cosx x3cos2x0

125) 6sin2xsin cosx xcos2x2

126) sin 2x2sin2x2cos 2x

127) 2sin 22 x3sin 2 cos 2x xcos 22 x2

128) cos2x3sin cosx x 1 0

129) cos2 xsin2x 3 sin 2x1

130) 4 3 sin cos 4 os2 2sin2 5

2

131) 1 4 cos 6sin

sinx  x x

132) sin6x c os6x3sin cosx x0

133) 3sin3x4 osc 3x3sinx

3sin 180 x 2 sin 90 x c os 90 x 5sin 270x 0

         

        

3sin x 3 3 sin cosx x 3 osc x0

139) 3sin2 os 3 3sin2 os sin os2 sin2 os

140) Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình

:sin3xsin sin 2x x3 osc 3x0 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

VẤN ĐỀ 2 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

141) Cho phương trình lượng giác : cos2x2m1 cos x  m 1 0

142) Giải phương trình với 3

2

143) Tìm m để phương trình có nghiệm ,3

2 2

 

 

144) Cho phương trình lượng giác : 6 6

sin xcos xa sin 2x Xác định a để phương trình có nghiệm

3

3 tan tan cot 1 0 sin x xm x x   Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

146) Cho phương trình : sin 2xsin 3 xa sinx

a) Giải phương trình khi a = 1

b) Tìm a để phương trình có ít nhất 1 nghiệm xk(kZ)

147) Cho phương trình : 1 sin x 1 sin x kcosx

a) Giải phương trình với k = 2

b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát

148) Cho phương trình :   2 2

cos

x

     Xác định a để phương trình có

nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng 0,

2



 

 

 

149) Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện :

 

2

  

  

VẤN ĐỀ 3 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG

MẪU MỰC

150) Giải phương trình : 2 2

4cos x3tan x4 3 cosx2 3 tanx 4 0

os3 2 os 3 2 1 sin 2

152) Giải phương trình : 2

2 sin 1 0

153) Giải phương trình : 2

os4 os2 5 sin 3

154) Giải phương trình : 15 24

cos xsin x1 155) Giải phương trình : 2 2  

tan xtan ycot xy 1 156) Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm : sinx2sin 2xsin 3x2 2

157) Giải phương trình : 2 2   9

sin sin sin

4

158) Giải phương trình : 2 1 2 2

sin sin 3 sin sin 3

4

159) Giải phương trình :

       

160) Giải phương trình :cos 1 1 cos 3 1 1 1

VẤN ĐỀ 4 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

161) Giải hệ phương trình :

tan cot 2 sin

4

tan cot 2 sin

4





     

 



 

     



162) Giải hệ phương trình :

1 sin cos sin cos

2 3

2 sin 2 sin 2

2

    







163) Giải hệ phương trình : sin sin 2







164) Giải hệ phương trình :

2 2

sin cos cos cos sin sin

 









165) Giải hệ phương trình : sin sin 2

cos cos 2

 





166) Giải hệ khi m = 0

167) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm

168) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

1 sin sin

2 cos 2 cos 2

  







169) Giải hệ phương trình : 2 2 2

cos cos cos 1 cos cos cos 1





   



170) Giải hệ phương trình : sin 7 cos 0

5sin cos 6 0



   



171) Giải hệ phương trình :

2

9 sin 15sin sin 2 17 cos 11 0

5 cos 3sin 8 cos 1 0







172) Tìm m để hệ phương trình

1 sin sin

2 os2 os2

  







có nghiệm

173) Tìm m để hệ phương trình :

2 os2 os2 1 4 cos 0

 



đó

174) Giải và biện luận phương trình: sin  1 cos

cos

m

x

  

VẤN ĐỀ 5 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giải các bất phương trình lượng giác sau:

3

  

 

 

176) sinxsin 2x0

177) sin cos 2 cos

3

178) cos2xcosx0

179)  34 sin 2 xcos 4x 1 2 30

180) 2 cos 2 3 1 sin 3 2 0

2

x

181) cos 4x 3 cos 2x 2 0

182) cos2x3cosx 4 0

183) tanxcotx4

184) 2 osc 4x7cos2x 3 0

185) 3tan2x 1 0

1

1 3 tan 2 1 3 0 cos 2x  x  

187)

2

1 tan

2 cos 0

4 tan

2

x

x x



 

188) tan 6xtan 3x0

189) Xác định 0  2 sao cho phương trình sau có nghiệm

2 2sin 1 2sin 1 0

190) Tìm các giá trị của a để phương trình sau vô nghiệm

2sin 1 6sin sin 1 0

191) Giải bất phương trình :sinxsin 3xsin 2x

192) Giải bất phương trình : 3 3 5

os os3 sin sin 3

8

193) Giải bất phương trình :sin 2 os2 1 0

sin 2 os2 1

 



 

194) Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi

x:

cos

0

1 cos

 



 