Céng hoµ x• héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phócTªn ®Ò tµi:VËn dông bÊt ®¼ng thøc cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc BUNHIAC«PxKI ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc Tªn ®Ò tµiVËn dông bÊt ®¼ng thøc cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc BUNHIAC«PxKI ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùcI §Æt vÊn ®ÒCh¬ng tr×nh to¸n THCS, nhÊt lµ ch¬ng tr×nh §¹i sè líp 8 vµ 9 khi gi¶i mét sè ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc häc sinh gÆp nhiÒu khã kh¨n v× c¸c em cha vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o vµ nhanh nh¹y c«ng cô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh lo¹i kh«ng mÉu mùc. Mét trong nh÷ng c«ng cô ®Ó gi¶i quyÕt c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc lµ vËn dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ Bunhiac«pxki. V× vËy cÇn ph¶i ®a ra mét sè bµi to¸n cô thÓ ¸p dông kiÕn thøc ®ã ®Ó trªn c¬ së ®ã c¸c em cã thÓ vËn dông linh ho¹t gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c t¬ng tù.II C¸c sè liÖu ®iÒu tra kh¶o s¸tTrong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái, còng nh qua b¶n th©n thÊy ®îc tõ c¸c kú thi häc sinh giái c¸c cÊp t«i ®• cè g¾ng t×m tßi nghiªn cøu ®a ra mét sè bµi to¸n phï hîp víi tr×nh ®é häc sinh THCS ®Ó cho c¸c em tiÕp cËn lµm quen víi ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh dùa vµo bÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ Bunhiac«pxki. Mét sè liÖu cô thÓ ®Ó chøng minh cho viÖc khi ¸p dông ®Ò tµi nµy: Khi cha häc chuyªn ®Ò, sè häc sinh vËn dông ®îc ®Ò tµi lµ 10%. Khi ®• häc chuyªn ®Ò, sè häc sinh vËn dông ®îc ®Ò tµi lµ 55%.III Néi dung ®Ò tµi1. BÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ Bunhiac«pxki. BÊt ®¼ng thøc Cauchy.Cho n sè kh«ng ©m: a1, a2, a3, ... , an1, anTa lu«n cã: DÊu b»ng xÈy ra khi a1 = a2 = ... = an.BÊt ®¼ng thøc Cauchy cßn ®îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc vÒ trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n. BÊt ®¼ng thøcBunhiac«pxkiCho n sè: a1, a2, a3, ... , an1, an vµ: b1, b2, b3, ... , bn1, bnTa lu«n cã: DÊu b¶ng xÈy ra khi: BÊt ®¼ng thøc trªn cßn ®îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc Schwarz, hay bÊt ®¼ng thøc Cauchy Schwarz.2. Néi dung: VËn dông bÊt ®¼ng thøc trªn vµo gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh §K: 2 x 4Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã: (1 + 1)(x 2 + 4 x) = 4 2(1) v× 0x2 6x+ 11 = x2 6x + 9 + 2 = (x 3)2 + 2 2 (2)Tõ (1) vµ (2) dÊu = xÈy ra khi VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 + 2x 0x 2 hoÆc x 0§K:2x 1 0x 3x2 + 4x + 1 0x 1 hoÆc x KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn trªn ta cã: x ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho 2 d•y ta cã:3x2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) VËy ta cã: DÊu = trong (2) víi ®iÒu kiÖn (1) xÈy ra khi: vµ x vµ x x2 x 1 = 0 víi x lµ nghiÖm cña pt.Bµi to¸n 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1)Ta cã: x2 + x + 1 = > 0 víi x nªn §K (1) cã nghÜa khi 5x 2 0 x (2)Theo (2) vµ bÊt ®¼ng thøc CauchyDÊu = xÈy ra khi x2 + x + 1 = 5x 2 x2 4x + 3 = 0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 1 hoÆc x = 3Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh §K: x > 0¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta ®îc: DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi: VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = Bµi to¸n 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh NhËn xÐt x = 0, y = 0, z = 0 lµ mét nghiÖm cña hÖVÕ tr¸i c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ ®Òu lµ c¸c sè kh«ng ©m x > 0, y > 0, z > 0 nh©n vÕ víi vÕ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ ta cã: = 1 (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyzx, y, z > 0 nªn theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:x2 + 1 2x dÊu b»ng xÈy ra khi x = 1y2 + 1 2y dÊu b»ng xÈy ra khi y = 1z2 + 1 2z dÊu b»ng xÈy ra khi z = 1Nh©n vÕ víi vÕ ta cã:(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) 8xyzDÊu b»ng xÈy ra khi x = y = z = 1VËy hÖ cã nghiÖm x = 0, y = 0, z = 0 hoÆc x = 1, y = 1, z = 1Bµi to¸n 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Tõ hÖ ®• cho ra suy ra:y2 = (1)2(x 1)2 + 1 + y3 = 0(2)Tõ (1) hÖ cã nghiÖm khi x 0Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 1 + x2 2x 1Tõ (1) y2 1 1 y 1V× y 1 1 + y3 0 vµ (x 1)2 0VËy 2(x 1)2 + 1 + y3 0DÊu = xÈy ra trong (2) khi VËy hÖ cã nghiÖm x = 1 ; y = 1Bµi to¸n 7: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Tõ (1) x3 = 1 (2y2 4y + 2) = 1 2 (y 1)2 1(3)Tõ (2) x2 = y 0Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 2y 1 + y2 1VËy x2 1 1 x 1(4)Tõ (3) vµ (4) VËy hÖ cã nghiÖm x = 1; y = 1Bµi to¸n 8: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Gi¶ sö x0, y0 lµ nghiÖm tuú ý cña hÖ khi ®ã ta cã: Tõ (1) x0 , y0 cïng dÊu, tõ (2) x0 , y0 cïng lµ c¸c sè d¬ng, theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy:3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 6 4 hay 1,5 ®iÒu nµy v« lý.VËy hÖ v« nghiÖm.Bµi to¸n 9: Gi¶i hÖ §K: 0 x 32Céng ph¬ng tr×nh (1) vµ (2) ta cã: = y2 6y + 21(3)Do y2 6y + 21 = y2 6y + 9 + 12 = (y 3)2 + 12 12DÊu = xÈy ra khi y 3 = 0 y = 3Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã: (1 + 1) (x + 32 x) 8DÊu = xÈy ra khi x = 32 x x = 16L¹i theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã: 2.8 = 16 4DÊu = xÈy ra khi x = 16VËy 12DÊu = xÈy ra khi: VËy x = 16 vµ y = 3 lµ nghiÖm cña hÖ.Bµi to¸n 10: T×m x, y > 0 biÕt: Nh©n vÕ víi vÕ (1) vµ (2) ta cã (x + y) 9Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:9 = (x + y)DÊu = xÈy ra khi y = 2xThay vµo (2) ta cã: VËy hÖ cã nghiÖm x = 1; y = 2Bµi to¸n 11: T×m x, y, z > 0 biÕt: Nh©n vÕ víi vÕ cña (1) víi (2) ta ®îc:(x + y + z) 36Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:36 = (x + y + z)DÊu = xÈy ra khi 6x = 3y = 2zThay vµo (2) khi x + y + z = 12 ta cã x = 2 , y = 4 , z = 6Bµi to¸n 12: Gi¶i hÖ: HÖ t¬ng ®¬ng víi: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho y2 , y2 , y2 , ta cã: DÊu = xÈy ra khi y2 = (3)Tõ (3) vµ (1) x2 + = 1 Mét sè bµi tËp vËn dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: Bµi 1: Bµi 2: Bµi 3: Bµi 4: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh:Bµi 5: Bµi 6 Bµi 7: Bµi 8: III KÕt luËnChuyªn ®Ò nµy ®• ®îc ¸p dông vµo qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y trong ch¬ng tr×nh §¹i sè 89 nhÊt lµ trong viÖc båi dìng häc sinh giái; v× nã võa cã tÝnh khoa häc, c¬ së lý luËn, võa cã c¬ së thùc tiÔn. V× vËy ®Ò tµi ®• ®em l¹i cho häc sinh khèi 8, 9 vµ gi¸o viªn thªm ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc.Tuy nhiªn trong khu«n khæ cña mét s¸ng kiÕn kinh nghiÖm kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt, mong c¸c ®ång nghiÖp gãp ý gióp ®ì.. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §Ò tµi: VËn dông bÊt ®¼ng thøc cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc BUNHIAC¤PxKI ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùcHä vµ tªn: nguyÔn xu©n th¸i§¬n vÞ c«ng t¸c: Trêng THCS B×nh AnN¨m häc 2008 2009
Trang 1Tên đề tài:
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức
BUNHIACôPxKI để giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực"
Năm học 2008 - 2009
Trang 2Tên đề tài
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức
BUNHIACôPxKI để giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực"
I- Đặt vấn đề
Chơng trình toán THCS, nhất là chơng trình Đại số lớp 8 và 9 khi giải một số phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực học sinh gặp nhiều khó khăn vì các em cha vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy công cụ
để giải phơng trình và hệ phơng trình loại không mẫu mực Một trong những công cụ để giải quyết các phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực là vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki Vì vậy cần phải đa ra một
số bài toán cụ thể áp dụng kiến thức đó để trên cơ sở đó các em có thể vận dụng linh hoạt giải các bài toán khác tơng tự
II- Các số liệu điều tra khảo sát
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi, cũng nh qua bản thân thấy đợc
từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu đa ra một số bài toán phù hợp với trình độ học sinh THCS để cho các em tiếp cận làm quen với phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình dựa vào bất
đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki
Một số liệu cụ thể để chứng minh cho việc khi áp dụng đề tài này:
- Khi cha học chuyên đề, số học sinh vận dụng đợc đề tài là 10%
- Khi đã học chuyên đề, số học sinh vận dụng đợc đề tài là 55%
III- Nội dung đề tài
1 Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki.
* Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n số không âm: a1, a2, a3, , an-1, an
n 1 n 3
2 1 n
1 n 3
2
n
a a
a a a
Trang 3Dấu bằng xẩy ra khi a1 = a2 = = an.
Bất đẳng thức Cauchy còn đợc gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân
* Bất đẳng thứcBunhiacôpxki
Cho n số: a1, a2, a3, , an-1, an
và: b1, b2, b3, , bn-1, bn
Ta luôn có:
n
2 2
2 1
2 n
2 2
2 1
2 n n 2
2 1
1 b a b a b a a a b b b
Dấu bảng xẩy ra khi:
n
n 2
2 1
1
b
a b
a b
a
Bất đẳng thức trên còn đợc gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
2 Nội dung:
* Vận dụng bất đẳng thức trên vào giải các phơng trình và hệ
ph-ơng trình.
Bài toán 1: Giải phơng trình
11 x 6 x x 4 2
ĐK: 2 x 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
x 4 2
x (1 + 1)(x - 2 + 4 - x) = 4
x 2 4 x 2 (1) vì x 2 4 x 0
x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 2 (2)
Từ (1) và (2) dấu "=" xẩy ra khi
3 x 2
11 x 6 x
2 x 4 2 x
2
Vậy phơng trình có nghiệm x = 3
Bài toán 2: Giải phơng trình
1 x 4 x 3 1 x 2 x 2
x2 + 2x 0 x -2 hoặc x 0
Trang 4ĐK: 2x - 1 0 x
2 1
3x2 + 4x + 1 0 x -1 hoặc x -
3 1
Kết hợp các điều kiện trên ta có: x
2 1
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy
1 x 2 , 2 x , 1 ,
3x2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) ( x x 2 1 2 x 1 ) 2
Vậy ta có:
) 2 ( 1 x 2 x 2 x 1 x 4 x 3
) 1 ( 2
1 x
2 2
Dấu "=" trong (2) với điều kiện (1) xẩy ra khi:
1 x 2
1 2
x
x
2 1
2 x 2 x x 2
và x
2 1
x2 - x - 1 = 0
2
5 1
x với x
2
1
2
5 1
x là nghiệm của pt
Bài toán 3: Giải phơng trình
2
1 x 3 2
x 2 x 3 x 3 x 5
2 2
3
2
2 x 5 1 x x 2 x 5 1 x x
2
Ta có: x2 + x + 1 =
4
3 2
1 x
2
> 0 với x nên ĐK (1) có nghĩa khi 5x
- 2 0 x
5
2
(2) Theo (2) và bất đẳng thức Cauchy
Dấu "=" xẩy ra khi x2 + x + 1 = 5x - 2
x2 - 4x + 3 = 0
3 x 1 x
Trang 5Vậy phơng trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = 3
Bài toán 4: Giải phơng trình
2
5 1
8 2
x x
ĐK: x > 0
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đợc:
2
5 1 4
1 1 4
1 1 4
1 1 4
1 8 1
x x
x x
x x x
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:
4
1 1
8 2
x x
Vậy nghiệm của phơng trình là: x =
4 1
Bài toán 5: Giải hệ phơng trình
x z
1 z 2
z y
1
y 2
y x
1
x 2
2 2 2 2 2 2
Nhận xét x = 0, y = 0, z = 0 là một nghiệm của hệ
Vế trái các phơng trình của hệ đều là các số không âm
x > 0, y > 0, z > 0 nhân vế với vế các phơng trình của hệ ta có:
2 2
z 2 y 1
y 2 x 1
x 2
(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyz
x, y, z > 0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
x2 + 1 2x dấu bằng xẩy ra khi x = 1
y2 + 1 2y dấu bằng xẩy ra khi y = 1
z2 + 1 2z dấu bằng xẩy ra khi z = 1 Nhân vế với vế ta có:
(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) 8xyz Dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = 1
Vậy hệ có nghiệm x = 0, y = 0, z = 0 hoặc x = 1, y = 1, z = 1
Bài toán 6: Giải hệ phơng trình:
Trang 6
0 y 3 x 4 x 2
0 y x 2 y x
3 2
2 2
2
Từ hệ đã cho ra suy ra:
y2 =1 x 2
x 2
2(x - 1)2 + 1 + y3 = 0 (2)
Từ (1) hệ có nghiệm khi x 0
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + x2 2x 1 x 2
x 2
1
Từ (1) y2 1
-1 y 1 Vì y -1 1 + y3 0 và (x - 1)2 0
Vậy 2(x - 1)2 + 1 + y3 0
Dấu "=" xẩy ra trong (2) khi
1 y 1 x 0 ) 1 x ( 0 y 1
2 3
Vậy hệ có nghiệm x = 1 ; y = -1
Bài toán 7: Giải hệ phơng trình:
) 2 ( 0
y 2 y x x
) 1 ( 0
3 y 4 y 2 x
2 2 2 3
Từ (1) x3 = -1 - (2y2 - 4y + 2) = -1 -2 (y - 1)2 - 1 (3)
Từ (2) x2 =1 y 2
y 2
y 0 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2y 1 + y2 1 y 2
y 2
1 Vậy x2 1 -1 x 1 (4)
Từ (3) và (4)
1 y
1 x
Vậy hệ có nghiệm x = -1; y = 1
Bài toán 8: Giải hệ phơng trình:
6 y x
3
9 y
x 3
Giả sử x0, y0 là nghiệm tuỳ ý của hệ khi đó ta có:
6 y x
9 y x
0 0 0 3
0
Từ (1) x0 , y0 cùng dấu, từ (2) x0 , y0 cùng là các số dơng, theo bất
đẳng thức Cauchy:
Trang 73x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 4
0
3
0 y x 4
6 4 9 3 2 3 hay 1,5 3 điều này vô lý
Vậy hệ vô nghiệm
Bài toán 9: Giải hệ
) 2 ( 24 y 6 x 32 x
) 1 ( 3 y
x 32 x
4
2 4
ĐK: 0 x 32 Cộng phơng trình (1) và (2) ta có:
x 32 x 4 x 4 32 x = y2 - 6y + 21 (3)
Do y2 - 6y + 21 = y2 - 6y + 9 + 12 = (y - 3)2 + 12 12
Dấu "=" xẩy ra khi y - 3 = 0 y = 3
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
x 32
x (1 + 1) (x + 32 - x)
x 32 x 8 Dấu "=" xẩy ra khi x 32 x x = 32 - x x = 16
Lại theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
4 x 4 32 x2 ( 1 1 ) x 32 x
4
4 x 32 x 2.8 = 16
4 x 4 32 x 4 Dấu "=" xẩy ra khi x = 16
Vậy x 32 x 4 x 4 32 x 12
Dấu "=" xẩy ra khi:
12 21
y 6 y
12 x 32 x
x 32 x
2
4 4
3 y 16 x
Vậy x = 16 và y = 3 là nghiệm của hệ
Bài toán 10: Tìm x, y > 0 biết:
) 2 ( 3
y x
) 1 ( 3 y
4 x 1
Trang 8Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (x + y) )
y
4 x
1
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
9 =
y
4 x
1 y
y
2 x x
(x + y)
Dấu "=" xẩy ra khi
y
2 x
1 y y 2 x x
1
Thay vào (2) ta có:
2 y 1 x x y 3 x
Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = 2
Bài toán 11: Tìm x, y, z > 0 biết:
) 2 ( 12
z y x
) 1 ( 3
z
9 y
4 x 1
Nhân vế với vế của (1) với (2) ta đợc:
(x + y + z)
z
9 y
4 x
1
36 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
36 =
z
9 y
4 x
1 z
z
3 y y
2 x x
(x + y + z)
Dấu "=" xẩy ra khi
z
3 y
2 x
1 z z 3 y y 2 x x
1
Thay vào (2) khi x + y + z = 12 ta có x = 2 , y = 4 , z = 6
Bài toán 12: Giải hệ:
15 6 y 125 y 125
1 y x
5 3 2 2
Hệ tơng đơng với:
) 2 ( 5 2 x ) 1 ( y x 125 15 6 x y x 125 15 6 ) y ( y 1 x
5 4 2 2
2 2 2
2 3 2 2
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho y2 , y2 , y2 , 2 x 2
2
3 , x 2
3 ta có:
Trang 93 3 4 6
5
3 2 x
DÊu "=" xÈy ra khi y2 = x 2
2
3
(3)
Tõ (3) vµ (1) x2 + x 2
2
3
= 1
5 15 y
5 10 x
Mét sè bµi tËp vËn dông:
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
Bµi 2: x2 2x 4 3 x3 4x
1
1 2
36
y x
4 4 3 21 11
2x x x
Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh:
Bµi 5:
0 ,
, ,
27 12
t z y x
xyzt zt
yt yz xt xz xy
z y x
Bµi 6
2008 2007 2008
1 1
1
2008 2009 2008
1 1
1
2008 2
1
2008 2
1
x x
x
x x
x
Bµi 7:
0
2 7
2 7 9
0
2 7
2 7 9
0
2 7
2 7 9
2 3
2 3
2 3
x x
z
z z
y
y y
x
Bµi 8:
1
3 3
xyz
z x y
z x
x z z
y y
Trang 10III- Kết luận
Chuyên đề này đã đợc áp dụng vào quá trình giảng dạy trong chơng trình Đại số 8&9 nhất là trong việc bồi dỡng học sinh giỏi; vì nó vừa có tính khoa học, cơ sở lý luận, vừa có cơ sở thực tiễn Vì vậy đề tài đã đem lại cho học sinh khối 8, 9 và giáo viên thêm phơng pháp giải phơng trình và hệ
ph-ơng trình không mẫu mực
Tuy nhiên trong khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm không thể tránh khỏi những sai sót, mong các đồng nghiệp góp ý giúp đỡ./
Trang 11- -Sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài:
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACÔPxKI
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"
Họ và tên: nguyễn xuân thái
Đơn vị công tác: Trờng THCS Bình An
Năm học 2008 - 2009