Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình lượng giác võ anh khoa, hoàng bá minh

LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... Trong tập 2 “PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” nà

Trang 1

LƯỢNG

GIÁC

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trang 3

CÁC TÁC GIẢ

VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH

Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc Trong tập 2

“PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” này, chúng tôi sẽ xoáy vào trọng tâm là “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”, một dạng toán quen thuộc trong các đề thi THPT, đặc biệt là đề thi tuyển sinh Đại Học

Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần :

- Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết

cách trình bày bài Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trìnhlàm bài trên lớp của học sinh THPT Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạnđọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót

- Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào

phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ nănggiải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này

- Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm

tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm

Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa

Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com

minh.9a1.dt@gmail.com

Trang 4

Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành cuốn sách này :

- Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)

- Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)

- Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai)

- Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM)

- Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM)

- Vương Tuấn Phong (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM)

- Lê Quang Hiếu (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai)

- Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội)

và một số thành viên diễn đàn MathScope

Trang 5

TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II.

I.

1

2

3

4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 67

5 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 73

a TỔNG HỢP 73

CHƯƠNG 4 : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 1

BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 2

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 3

II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 20

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 20

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO ݔ VÀ ݔ 41

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO ݔ VÀ ݔ 53

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI ݔ ǡ ݔ 61

Trang 6

c d I II I II. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 107

PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ 131

CHƯƠNG 6 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 154

TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 154

CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 155

CHƯƠNG 7 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 175

TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 175

CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 176

ĐỌC THÊM : TẢN MẠN VỀ SỐ PI 189

TÀI LIỆU THAM KHẢO 194

Trang 7

CHƯƠNG 4

SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

- Hàm số ݕ ൌ ݔ là hàm lượng giác ngược củahàm số ݔ ൌ ݕ, có một số tính chất cơ bản sau

Trang 8

II BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Trang 9

CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trang 11

ݔ ് ݇ߨʹ

ʹ ൅ ݇ߨ

ʹݔ ൌ ͳ ฻ ൞

Trang 12

Bài 3: Giải các phương trình sau

Trang 13

ݔ ݔൌ െ

ʹ ݔ

Ǥ ሺʹ ݔ െ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ݔሻ ൌ ʹݔ െ ݔ (Tuyển sinh khối D 2004)

Trang 14

Kết hợp với ሺכሻ ta được nghiệm là ݔ ൌ ߨ ൅ ݉ʹߨሺ݉ א Ժሻ

b Ta có:

ሺ͵ݔ ൅ ͳሻ ൅ ሺ͵ݔ െ ͳሻ ൌ Ͳ (với ݔ א ሾെߨǢ ߨሿ)

Ǥξ͵ ሺʹݔ െ ͵͸଴ሻ െ ͳ ൌ Ͳ ǡ ݔ א ሾͻͲ଴Ǣ ͳͺͲ଴ሿ

Ǥ ሺ͵ݔ ൅ ͳሻ ൅ ሺ͵ݔ െ ͳሻ ൌ Ͳ ǡ ݔ א ሾെߨǢ ߨሿ

Ǥ ͵ݔ െ Ͷ ʹݔ ൅ ͵ ݔ െ Ͷ ൌ Ͳ ǡ ݔ א ሾͲǢ ͳͶሿ (Tuyển sinh khối D 2002)

Trang 15

฻ ʹ ͵ݔ ͳ ൌ Ͳ ฻ ͵ݔ ൌ Ͳ ฻ ݔ ൌ݇ߨ

͵ ሺ݇ א Ժሻ Lại có:

ʹ ൰ ൌ ቀݔ ൅

ߨ

ʹെ Ͷߨቁ ൌ െ ݔ Như vậy, phương trình viết lại thành

Trang 16

ۏێێێ

ߨ

Ͷቁ Nếu ݔ א ሺͲǡ ߨሻ thì ݔ ൐ Ͳ nên

ʹݔ ൌ ቀʹݔ െߨ

Ͷቁ ฻ ݔ ൌ

ߨͳ͸൅

݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ Khi đó,

ݔ א ൜ߨͳ͸Ǣ

ͻߨͳ͸ൠ Nếu ݔ א ሺߨǡ ʹߨሻ thì ݔ ൏ Ͳ nên

ʹݔ ൌ െ ቀʹݔ െߨ

Ͷቁ ฻ ݔ ൌ

ͷߨͳ͸൅

݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ Khi đó,

ݔ א ൜ʹͳߨͳ͸ Ǣ

ʹͻߨͳ͸ ൠ

ኼệủươ¿ݔ א ൜ߨ

ͳ͸Ǣ

ͻߨͳ͸Ǣ

ʹͳߨͳ͸ Ǣ

ʹͻߨͳ͸ ൠ

Ǥሺʹ ݔ െ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ݔሻ ൌ ʹݔ െ ݔ (Tuyển sinh khối D 2004)

Ǥ ݔ ൅ ݔ ൅ ͳ ൅ ʹݔ ൅ ʹݔ ൌ Ͳ (Tuyển sinh khối B 2005)

Trang 17

฻ ൦ ݔ ൌ

ͳʹ

ݔ ݔʹ ൅ ݔ ݔʹ

ݔ ݔʹ ൌ

ͳ ݔ

Do đó, phương trình tương đương với

Trang 18

Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình

Giải: Phương trình tương đương với

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị nguyên của ݔ thỏa mãn

Do đó, ͵݇ െ ͳ là ước nguyên của 49 Ta được : ͵݇ െ ͳ ൌ േͳǡ േ͹ǡ േͶͻ

Vì ݇ א Ժ nên ݇ ൌ Ͳǡ െʹǡ െͳ͸ Thay vào ሺכሻ, ta được ݔ ൌ െ͵ǡ െʹͳ

Trang 19

Ǥ ሺʹݔ ൅ ߨሻ ൌ െ ݔ

Ǥ ݔ ൌ െ ʹݔ

Ǥ ݔ ൅ ቀʹݔ ൅

Trang 20

Ǥݔ ൌ ߨ

ͳʹ൅

݇ߨʹ

Ǥݔ ൌ ߨ

ʹͲ൅

݇ߨͷ

5.1.1.Nghiệm của phương trình là :

Trang 21

5.1.2 Nghiệm của phương trình là :

ሺ݇ א Ժሻ

Trang 22

ݔ ൌ െ

e Điều kiện :

Trang 23

ݔ ݔ

Trang 25

݇ߨʹሺ݇ א Ժሻ

ۍݔ ൌߨʹ൅ ݇ߨ

ݔ ൌ െ݇ߨ

ʹ

ݔ ൌ݇ߨͻሺ݇ א Ժሻ

c Phương trình tương đương với

Trang 26

e Điều kiện :

ݔ ്ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

Lưu ý các công thức lượng giác sau:

LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

- Phương trình bậc hai theo các hàm số lượng giác là những phương trình có dạngsau:

- Cách giải phương trình này thì ta sẽ coi các ẩn ݔǡ ݔ ǡ ݔ ǡ ݔ là các

nghiệm của phương trình ܽݐଶ൅ ܾݐ ൅ ܿ ൌ Ͳሺܽ ് Ͳሻ, đồng thời lưu ý đến các điềukiện của ݐ

- Chúng ta cũng sử dụng những phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình banđầu về các phương trình loại này

ܽ ଶݔ ൅ ܾ ݔ ൌ ܿ

Trang 27

ሺଶݔ െ ͳሻଶ ൌ Ͳ ฻ ൦ ݔ ൌ ͳ

d Điều kiện:

ݔ ് Ͳ ֞ ݔ ് ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

Trang 28

a Phương trình tương đương với

Trang 29

ସݔ ൅ ସݔ ʹݔ ൌ െ

ʹݔ

ʹ ʹݔ ฻ ସݔ ൅ ସݔ ൌ െ

ͳ

ʹ ʹݔ Đây chính là câu b của bài này

Nghiệm của phương trình là:

ݔ ൌ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình

d Phương trình tương đương với

൐ ͳሺạሻ

ݔ ൌ

ͳʹ൅ ݇ߨ

Trang 30

b Phương trình tương đương với

଼ݔ ൅ ଼ݔ ൌ ሺସݔ ൅ ସݔሻଶെ ʹ ସݔ ସݔ

ൌ ሺͳ െ ʹ ଶݔ ଶݔሻଶെ ʹ ସݔ ସݔ

Trang 31

ͷെ ଶ

ݔ

ͷ ൌ Ͳ ଶݔ

ͷൌ Ͳଶݔ

Trang 32

ʹ ݔ ݔ ൅ ͵ξʹ ݔ െ ʹ ଶݔ െ ͳ ൌ ͳ ൅ ʹݔ

฻ ʹ ଶݔ െ ͵ξʹ ݔ ൅ ʹ ൌ Ͳ

฻ ቎ ʹ

ݔ ൌ ξʹ ൐ ͳሺạሻ

Trang 33

͵ݐଶെ ൫ʹ ൅ ξʹ൯ݐ ൅ ʹξʹ ൌ Ͳ ฻ ቎ݐ ൌ ξʹ

ݐ ൌ ʹ

͵Khi ݐ ൌ ξʹ, ta có:

ξʹ ଶݔ ൅ ݔ െ ξʹ ൌ Ͳ

ݔ ് Ͳ ֞ ݔ ് ݇ߨሺכሻ Phương trình tương đương với

ݔ

ଶݔ

Trang 34

฻ ቎ ݔ ൌ

ξʹʹ ݔ ൌ ξʹ ൐ ͳሺạሻ

͵

฻ ʹ ଶݔ ൅ ͵ ݔ െ ʹ ൌ Ͳ

ʹ ݔ ൌ െʹ ൏ െͳሺạሻ

൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận các nghiệm trên là nghiệm của phương trình

d Điều kiện:

ݔ ് Ͳ ฻ ଶݔ ് Ͳ ฻ ʹݔ ് െͳሺכሻ Phương trình tương đương với

Ͷሺͳ െ ଶʹݔሻ ൅ ͵ሺͳ െ ʹݔሻ െ ͻ െ ͵ ʹݔ ൌ Ͳ

฻ ʹ ଶʹݔ ൅ ͵ ʹݔ ൅ ͳ ൌ Ͳ

฻ ቎

ʹݔ ൌ െͳ൫ạሺכሻ൯

Trang 35

e Điều kiện:

ቄ ݔ ് Ͳ ʹݔ ് Ͳ฻ ቄ ʹݔ ് ͳ ʹݔ ് Ͳሺכሻ Phương trình tương đương với

ʹ ଶݔ ൅

ଶʹݔ ʹݔ ൌ Ͷ ଶݔ

฻ ͳ െ

ଶʹݔ ʹݔ ൌ ʹ ଶݔ

൅ ݇ʹߨሺ݇ א ԺሻKết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình

Trang 36

ۏێێێ

ͷ ݔ െ ʹ ൌ͵ሺͳ െ ݔሻ

ଶݔଶݔ

฻ ͷ ݔ െ ʹ ൌ ͵ሺͳ െ ݔሻ

ଶݔ

ሺͳ െ ݔሻሺͳ ൅ ݔሻKết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình

b Điều kiện :

Trang 37

฻ ʹݔ ൌ Ͳ

฻ ݔ ൌ

ʹሺͳ െ ʹ ଶݔ ଶݔሻ ൅ ʹ ቀݔ െ

Trang 39

5.2.2 Giải các phương trình sau:

5.2.3 Giải các phương trình sau:

ξʹ െ ʹ ݔ

Trang 40

- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 42

฻ ൦ ʹݔ ൌ

ͳʹ ʹݔ ൌ ͻ

ʹ൐ ͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ േߨ

͸൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình

ݔ ൌͷߨͳʹ

Trang 43

ቀߨʹ

ʹሺØýሻ

ሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình

ସʹݔ ൅ ସʹݔ ൌ ସͶݔ

Trang 47

Chia 2 vế phương trình cho ξܽଶ൅ ܾଶ ta sẽ được phương trình:

ξܽଶܽ൅ ܾଶ ݔ ൅ ܾ

Ta thấy :

Nên có góc ݑ thỏa mãn :

Trang 48

x Với ݔ ് ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ thì ta đặt

ݐ ൌ

Khi đó,

ሺכሻ ฻ ܽ

Trang 49

Một số công thức cần lưu ý :

ܽ േ ܽ ൌ ξʹ ቀܽ േߨ

Ͷቁ ܽ േ ܽ ൌ ξʹ ቀܽ טߨ

Ͷቁ ξ͵ ܽ േ ܽ ൌ ʹ ቀܽ േߨ

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Trang 50

฻ ൦ ʹ

ݔ ൌ ʹ ൬െ

e Ta có:

൫ͳ ൅ ξ͵൯ ݔ ൅ ൫ͳ െ ξ͵൯ ݔ ൌ ʹሺכሻ

Trang 53

ሺ݇ א Ժሻ

c Điều kiện :

ݔ ് Ͳ ฻ ݔ ് ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

͵ݔ െ ͵ݔ ൌ ͳ

Ǥ ݔ ሺͳ െ ʹ ݔሻ ൌ ሺ ݔ െ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ͳሻ

ǤͶ ଷݔ ൅ Ͷ ݔ ଶݔ ൅ ʹ ݔ ൌ Ͳ

Ǥ͵ െ Ͷ ଶݔ ൌ Ͷ ݔ ଶݔ െ ͵ ݔ

Trang 54

฻ ቀ͵ݔ െߨ

Ͷቁ ൌ

ξʹʹ

Trang 56

5.2.4 Nghiệm của phương trình :

Trang 57

ξ͵ ʹݔ െ ݔ ൌ ʹ ଶݔ ൅ ξ͵ ݔ െ ͳ

฻ ξ͵ ʹݔ ൅ ʹݔ ൌ ݔ ൅ ξ͵ ݔ

Trang 58

ݔ ൌ

Trang 59

ݔ ݔ ൌݐ

ଶെ ͳ

ܽሺ ݔ ൅ ݔሻ ൅ ܾ ݔ ݔ ൌ ܿ

Phương trình đối xứng theo ݔ và ݔ là phương trình có dạng sau :

Trang 60

Thay vào phương trình, ta được :

ܽݐ ൅ܾሺݐ

ଶെ ͳሻ

ʹ ൌ ܿ

฻ ܾݐଶ൅ ʹܽݐ െ ܾ െ ʹܿ ൌ Ͳሺככሻ

Ta giải ሺככሻ tính ra ݐ so điều kiện và thay ݐ vào ሺכሻ để tính ݔ

Ngoài ra, chúng ta còn một dạng có họ hàng với dạng ở trên :

Phương pháp giải :

0ặݐ ൌ ݔ െ ݔ ൌ ξʹ ቀݔ െߨ

Ͷቁ ሺכሻǡ ݐ א ൣെξʹǢ ξʹ൧ Khi đó,

ݔ ݔ ൌͳ െ ݐଶ

ʹThay vào phương trình rồi làm tương tự như dạng trên

Trang 61

ۍ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨߨ

൫ͳ ൅ ξʹ൯ݐ െ ሺݐଶെ ͳሻ െ ͳ െ ξʹ ൌ Ͳ

฻ ݐଶെ ൫ͳ ൅ ξʹ൯ݐ ൅ ξʹ ൌ Ͳ

൫ỏሺכሻ൯

ቁ ൌξʹʹ

Trang 62

ξʹʹ

Trang 63

ݐ ൌ ͳ

ݐ ൌ െ͵ ൏ െξʹሺạሻ

ξʹʹ

Trang 64

฻ ݔ ൌ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

ͶKết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình

ሺ ݔ ൅ ݔሻሺͳ െ ݔ ݔሻ െ ʹ ݔ ݔ െ ሺ ݔ ൅ ݔሻ ൌ Ͳሺͳሻ

Trang 65

ۍ ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ

ξʹʹ

ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ െ

ξʹʹ

฻

ۏێێێێێ

Với phương trình ሺʹሻ, ta đặt

ݐ ൌ ݔ ൅ ݔ ൌ ξʹ ቀݔ ൅Khi đó, phương trình trở thành

ݐଶ൅ ʹݐ ൌ Ͳ ฻ ൤Với ݐ ൌ Ͳ thì

Trang 66

Trang 67

ܽ ଶݔ ൅ ܾ ݔ ݔ ൅ ܿ ଶݔ ൌ ݀

Phương trình bậc hai thuần nhất đối với ݔ và ݔ là phương trình có dạng :

Phương pháp giải :

Cách 1: Ta sử dụng công thức

Trang 68

Cách 2: Thay ݀ ൌ ݀ሺଶݔ ൅ ଶݔሻ; ta biến đổi đưa phương trình về dạng :

Ngoài ra chúng ta cũng có một dạng phương trình tương tự :

Phương pháp giải : Chúng ta sử dụng cách 2 đã nêu ở trên (chia 2 vế cho ଷݔ)

Trang 69

b Vì ݔ ൌ Ͳ không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho ଷݔǤ Khi đó,phương trình trở thành:

(thỏa điều kiện ݔ ് Ͳ)

c Phương trình tương đương với :

d Vì ݔ ൌ Ͳ không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho ଷݔ Khi đó,phương trình trở thành:

ͳ െ Ͷ ଷݔ െ ͵ ଶݔ ൅ ݔ ሺͳ ൅ ଶݔሻ ൌ Ͳ

฻ ሺ ݔ ൅ ͳሻሺ͵ ଶݔ െ ͳሻ ൌ Ͳ

Trang 70

ۏێێێ

Phương trình tương đương với

ݔ ݔ െ ʹ ଶݔ ൌ ͵ െ ͸ ଶݔ ൅ ͵ ݔ ݔ

฻ Ͷ ଶݔ െ ʹ ݔ െ ͵ሺͳ ൅ ଶݔሻ ൌ Ͳ

฻ ଶݔ െ ʹ ݔ െ ͵ ൌ Ͳ

฻ ቂ ݔ ൌ െͳ

Trang 71

฻ ቎ ݔ ൌ െξ͵ ݔ ൌ ξ͵

ݔ ൌ ʹ

฻

ۏێێێ

Trang 74

- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 75

ݔ ൌͳ

ʹሺെ͵ሻ ൅

݇ߨʹ

ሺ݇ א Ժሻ

(thỏa điều kiện ʹݔ ് Ͳ)

͵ʹ

ሺ݇ א Ժሻ

(thỏa điều kiện ʹݔ ് Ͳ)

c Điều kiện:

ʹݔ ് Ͳ ฻ ଶݔ െ ଶݔ ് Ͳ ฻ ݔ ് േͳ Phương trình tương đương với

Trang 76

e Phương trình tương đương với

Trang 77

ͳǣ ݔ ൌ Ͳ ฻ ݔ ൌߨ

ʹ ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ ฺ ݔ ൌ േͳ Thay vào phương trình ta có:

฻ ݔ ൌ ͳ ฻ ݔ ൌ ߨ

Ͷ

൦ݔ ൌ

ߨʹͶ

ሺ݇ א Ժሻ

Ͷ (thỏa điều kiện ݔ ് Ͳ)

ଷݔ ൅ ͳ ൅ ͵ ଶݔ ൅ ͵ ݔ െ ͵ሺͳ ൅ ଶݔሻ െ ሺͳ ൅ ଶݔሻ ൌ Ͳ

൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ (thỏa điều kiện ݔ ് Ͳ) Vậy nghiệm của phương trình là:

Trang 78

g Phương trình tương đương với

ͺ൫ ݔ െ ξ͵ ݔ൯ଷ

ͺ ൌ Ͷ ଷݔ െ ͵ ݔ

฻

ۏێێ

Trang 79

5 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

- Phương trình tổng hợp là những phương trình đưa về phương trình tích mà trong

đó, các nhân tử là các dạng phương trình đã nêu ở trên

Giải:

ʹݔ െ ʹݔ ൌ Ͳ

฻ ൦

ͳʹߨ

Trang 80

͵ݔ ሺଶݔ ଶʹݔ െ ͳሻ ൌ ଶݔ െ ଶʹݔ

฻ ͵ݔ ቈሺͳ െ ʹݔሻሺͳ ൅ Ͷݔሻ

ሺͳ ൅ ʹݔሻሺͳ െ Ͷݔሻ

Trang 81

ʹሺͳ ൅

ଶݔሻͶሺͳ െ ݔሻ െ

ଷݔ

ͳ െ ଶݔ ൌ

ͳʹ

Trang 82

Giải:

฻ ൤

฻

ۏێێ

ۍ ݔ ൌ Ͳ

ݔ ൌ

൅ ݇ߨߨ

ʹሺ ͵ݔ െ ͵ݔሻ െ ͳ

ݔെ

ͳ ݔ ൌ Ͳ

ǤͶ ଷݔ ൅ ͵ξʹ ʹݔ ൌ ͺ ݔ

Ǥʹ ͵ݔ െ ͳ

ݔ ൌ ʹ ͵ݔ ൅

ͳ ݔǤ ݔ ݔ

Ǥ ݔ ൅ ͵ݔ ൅ ʹ ͷݔ ൌ Ͳ

ݔ ൌ ξʹ ൐ ͳሺạሻ

฻

ۍێێێێۏ

ݔ ൌߨʹ

ݔ ൌ

Trang 83

ʹ ݔ ൅ ݔ െ ͳ ൌ Ͳ

Định dạng
Số trang	200
Dung lượng	2,73 MB