Trong phần mở rộng đòi hỏi người giải phải biết vận dụng các kiến thức đã biết để đặt vấn đề và giải quyết vấn đề đó một cách rạch ròi, chính xác.. Trong quá trình giải quyết vấn đề đôi
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
I) LỜI MỞ ĐẦU
Mỗi vấn đề của toán học bao giờ cũng có phần cơ bản và phần mở rộng Trong phần cơ bản cũng có những chổ dễ bị nhầm lẫn dẫn đến sai sót đáng tiếc Trong phần mở rộng đòi hỏi người giải phải biết vận dụng các kiến thức đã biết để đặt vấn đề và giải quyết vấn đề đó một cách rạch ròi, chính xác Trong quá trình giải quyết vấn đề đôi khi còn đòi hỏi thủ thuật tính toán cho nhanh, gọn
Nhiệm vụ của người Thầy cần chỉ cho các em những chổ các em dễ bị thiếu
sót, dễ bị nhầm lẩn, cần đặt vấn đề liên quan rộng hơn để các em tập giải quyết vấn đề, cần chỉ ra đôi chổ cần có thủ thuật tính toán để các em làm quen
Với lý do đó tôi chọn đề tài:
“MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI SÓT CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG”
II/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
1)Thực trạng:
+ Trong chương trình giải tích 11, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong các em đã học dưới dạng áp dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp 1: Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm M(x0; y0) là :
y = f’(x0)(x – x0) + y0 Dạng toán vận dụng công thức này thì đơn giản hơn, ít có dạng đòi hỏi tư duy cao hơn
+ Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong các em gặp lại nhưng dưới dạng định nghĩa tổng quát hơn: Đường thẳng y = kx + b là tiếp tuyến của đường cong y = f(x) khi
và chỉ khi hệ phương trình
f x kx b
có nghiệm x = x0 (x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tiếp tuyến có hệ số góc k)
Vì khái niệm tiếp tuyến bắt nguồn từ định nghĩa này, cho nên quan niệm “Phương trình (1) có nghiệm kép suy ra đường thẳng y = kx + b là tiếp tuyến của đường cong y = f(x)” cũng đồng nghĩa với quan niệm “ Phương trình (1) có nghiệm kép suy ra hệ phương trình (*) có nghiệm”- Điều này có lẻ chưa chứng minh được, do đó quan niệm thứ nhất không được dùng nữa!
Dạng toán vận dụng công thức này thì phong phú hơn, nhiều dạng đòi hỏi tư duy
cao hơn
Như vậy vấn đề tiếp tuyến các em gặp lại hai lần trong hai năm học, nhưng thực tế các em vẫn còn một số khó khăn và một số sai sót khi giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến
+ Dạng toán liên quan đến tiếp tuyến thường gặp trong các kỳ thi TNTHPT và tuyển sinh ĐH -CĐ
2/ Cách tiến hành:
Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy được tốt hơn, tôi đã đầu tư sưu tầm
và sáng tạo ra một số dạng toán liên quan đến tiếp tuyến để các em làm quen, tìm tòi những chổ các em
dễ thiếu sót để cảnh báo, những thủ thuật tính toán cần thiết nhằm giúp các em vững tin hơn khi gặp các bài toán về tiếp tuyến
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I/ MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI
1) Học sinh thường nghỉ sai lầm là: Ứng với hai tiếp điểm khác nhau thì hai tiếp tuyến khác nhau
Trang 2Ta biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
Tại điểm M(x0; y0) là d1: y = f’(x0)(x – x0) + y0
Tại điểm N(x1; y1) là d2: y = f’(x1)(x – x1) + y1
Vậy nếu x0≠ x1 mà f’(x0) = f’(x1) và – x0.f’(x0) + y0 = – x1.f’(x1) + y1 thì d1 trùng d2
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x4– 2x2 + 3 (C) Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà tiếp tuyến với (C) tại điểm đó song song tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1; 2)
Học sinh giải: Gọi B(x0; y0) thuộc (C) là điểm cần tìm và B không trùng A nên điều kiện x0≠ 1
Tiếp tuyến tại B song song tiếp tuyến tại A nên ta có
f’(x0) = f’(1) 4x03– 4x0 = 0 4x0(x02– 1) = 0 x0 = 0, x0 = -1, x0 = 1 (loại)
Vậy B là điểm B1(0; 3) hoặc B2(-1, 2)
Thực chất tiếp tuyến tại B 1 (0; 3) có phương trình là: y = 3, tiếp tuyến tại B 2 (-1; 2) có phương trình là: y = 2, tiếp tuyến tại A(1;2) có phương trình là: y = 2 Do đó chọn B(0;3)
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x4– 2x2 + 3 (*) Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua đó ta
kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*)
Học sinh giải: Gọi M(a; 2) là điểm thuộc đường thẳng y = 2 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
M có hệ số góc k là y = k(x – a) + 2 Ta có d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm
3
Thế (2) vào (1) ta được phương trình:3x44ax32x2 4ax 1 0
(x 1)(3x 4ax 1) 0
2
1 0
x
Qua M(a; 2) kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều khác -1 và khác 1
(1) 0
( 1) 0
g
g
g
2
a a a
1 1
a a
Vậy qua điểm M(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2 với a D ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*)
Kết luận này sai vì x 2 – 1 = 0 x = 1; x = -1 thế vào (2) ta được hai giá trị k bằng nhau, thế vào hàm số được 2 tung độ tiếp điểm bằng nhau nên 2 tiếp tuyến ứng với hai hoành độ tiếp điểm này trùng nhau Do đó không tồn tại điểm M trên đường thẳng y = 2 để qua đó kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với (C)
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3– 3x2 + 3 (*) Tìm trên đường thẳng y = - 1 những điểm mà qua đó kẻ được
3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*)
Học sinh giải:
Gọi M(a; -1) là điểm thuộc đường thẳng y = -1 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc k là y = k(x – a) – 1 Ta có d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm
Trang 33 2 2
Thế (2) vào (1) ta được phương trình: 2x3(3a3)x26ax 4 0
2 (x 2) 2 x (1 3 )a x 2 0
( ) 2 (1 3 ) 2 0
x
Qua M(a; 2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt
phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đều khác 2 ' 0
(2) 0
g
g
1 5
2 3
a a
Thực ra cách lý luận này chưa hoàn chỉnh, biết đâu xảy ra k(x 1 ) = k(x 2 ) hoặc k(x 1 ) = k(2) hoặc k(2)
= k(x 2 ) thì sao!
Ta phải lý luận như sau: Qua M(a; 2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt và thề vào (2) được 3 giá trị k khác nhau phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đều khác 2 và k(x1) ≠ k(x2) và k(x1) ≠ k(2) và k(2) ≠ k(x2)
' 0
(2) 0
( ) ( ) 0
( ) (2) ( ) (2) 0
g
g
k x k x
2
(1 3 ) 16 0
6 12 0
a a
2
1 2
(1 3 ) 16 0
6 12 0
2 0
a a
x x
1
5
2
3
a
a
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3– 3x2 + 3 (C) Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà qua đó kẻ đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C)
Học sinh giải:
Gọi M(x0; y0) thuộc (C) y0 = x03– 3x02 + 3
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) Ta có phương trình đường thẳng d: y = k(x – x0) + x03– 3x02 + 3
Ta có d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm
2
Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
(x – x0)2(2x + x0– 3) = 0 x = x0; 3 0
2
x
Qua điểm M(x0; y0) kẻ đúng một tiếp tuyến với (C) x0 = 3 0
2
x
x0 = 1 Vậy qua điểm M(1; 1) thuộc (C) ta kẻ đúng một tiếp tuyến với (C)
Thực ra cách lý luận này chưa hoàn chỉnh, ta cần kiểm tra xem:
Nếu k(x 0 ) = k(3 0
2
x
) thì có xảy ra 2 tiếp tuyến trùng nhau không?
Ta có k(x 0 ) = k(3 0
2
x
) x0 2 – 2x 0 + 1 = 0 x0 = 1 (trùng trường hợp trên)
Trang 42) Khi viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước học sinh hay quên kiểm tra tung độ gốc có khác nhau hay không
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) = x3– 3x2 + 2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 7
Học sinh giải: Ta có y’ = f’(x) = 3x2– 6x
Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) song song d nên ta có: f’(x0) = 9 x02– 2x0– 3 = 0
x0 = -1, x0 = 3
+ x0 = -1 y0 = -2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; -2) là: y = 9x + 7
+ x0 = 3 y0 = 2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 2) là: y = 9x – 25
Vậy có 2 tiếp song song với d là: y = 9x + 7, y = 9x – 25
Thực ra chỉ có một tiếp tuyến song song với d là y = 9x – 25
Ví dụ 2: Cho (Cm): y =
2
( )
m
f x
x m
Định m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng d: y =
- x + 3
Học sinh giải:
Ta có
2 2
' ( )
m
x m
Tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng d: y = - x + 3 nên ta có ' (2) 1 2 2 2 6 1
(2 )
m
f
m
Vậy m = -1, m = -2 là các giá trị cần tìm
Thực ra: với m = -1 thì y = 2 7 (2) 1
x
y x
10 3
y x
m = -2 thì y = 3 10
2
x x
y(2)1 Pttt: y x 3( trùng d)
Do đó chỉ chọn m = -1
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
(3m 1)x m m y
x m
có đồ thị là (Cm) Định m để tại giao điểm của đồ thị (Cm) với trục Ox, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = x + 1
Học sinh giải:
Ta có ' 4 2 2
m y
x m
(Cm) cắt Ox tại điểm A 2 ;0
m
Tiếp tuyến với (Cm) tại A song song đường thẳng y = x – 10
2
y
m
2
m
m
Vậy m = -1, m = -1/5 là các giá trị cần tìm
Trang 5+ m = -1/5 ta được tiếp tuyến tại A là 3
5
y x
Vậy m = 1
5
là giá trị cần tìm
II/ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG TÍNH TOÁN
Trước đây ta dùng điều kiện có nghiệm kép của phương trình hoành độ giao điểm để xác định tiếp tuyến Hiện tại ta không dùng điều kiện này để xác định tiếp tuyến nữa, từ đó dẫn đến một số khó khăn khi giải một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x3– 3x2 + 2 có đồ thị là (C) Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau
Giải: Gọi M(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2
Đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + 2
Ta có d là tiếp tuyến của (C) Hệ phương trình
2
Thế (2) vào (1) ta được phương trình : 2x2– (3a + 3)x + 6a = 0 (3) hoặc x = 0
+ Với x = 0 suy ra k = 0 Ta đươc tiếp tuyến y = 2, không có tiếp tuyến nào vuông góc tiếp tuyến này + Do đó có 2 tiếp tuyến qua M vuông góc nhau Phương trình (3) có 2 nghiệm x1, x2 sao cho
k(x1).k(x2) = -1
0
3 (x x 2)3 (x x 2) 1
2
9
a a
Vậy qua điểm 1; 2
9
ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau.
Ví dụ 2: Cho hàm số
1
y
x
có đồ thị là (C) Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua
đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau
Giải:
Gọi M(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2
Đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + 2
Ta có d là tiếp tuyến của (C) Hệ phương trình
2
2 2
1
(2)
k x a x
k x
có nghiệm
Nhận xét: Nếu giải bài này tương tự như cách giải của ví dụ 1 thì thật khó, thật phức tạp!
Tôi đề nghị cách biến đổi như sau: Ta có
1
y
x
2 1 1
x x
, khi đó hệ phương trình trên
viết lại là
2
2
1 2
x k x
2
1 2
1
x
x
Từ (1) và (3) ta được 4 2
Trang 6Ta có 4 0
1
nên từ (4) suy ra
2
2 0
1
a
Thế (4) vào (2) ta được: (a22a1)k2(12 4 ) a k (5)4 0
Qua điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc phương trình (5) có 2 nghiệm k1, k2đều khác 2
1
a và
k1.k2 = -1 2
4
1
1
3
a
a a
Vậy qua điểm M(-1; 2) thuộc đường thẳng y = 2 ta kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau
Ví dụ 3: Cho hàm số
1
y
x
có đồ thị là (C) Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng tọa
độ Oxy mà qua M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau
Giải: Ta có
1
y
x
2 1 1
x x
Gọi M(a; b)
Đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + b
Ta có d là tiếp tuyến của (C) Hệ phương trình sau có nghiệm
2
2
1 2
x k x
2
1 2
1
x
x
Từ (1) và (3) ta được 4
Ta có 4 0
1
nên từ (4) suy ra
1
b
Thế (4) vào (2) ta được: (a22a1)k2(2b2ab8)k b 2 (5)8 0
Qua điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc phương trình (5) có 2 nghiệm k1, k2đều khác
1
b
a và
k1.k2 = -1
2 2
8 1
1
1 1
b
a a
b a
b a
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn có phương trình (C): (x – 1)2 + y2 = 8 với x ≠ 1 và y ≠ x – 1 Hay tập hợp các điểm M là đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 8 bỏ đi 4 giao điểm của (C) với đường
thẳng x = 1 (tiệm cận đứng của (C)) và với đường thẳng y = x – 1 (tiệm cận xiên của (C))
Ví dụ 4: Cho hàm số ( ) 1 1
1
m
x
có đồ thị là (Cm)
Tìm điều kiện cần và đủ của m để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được
2 tiếp tuyến với (Cm) và 2 tiếp tuyến này vuông góc nhau
Trang 7Ta có f’(x) = 1 – 12
( 1)
m x
Giả sử (Cm) có một cặp tiếp tuyến vuông góc x x1; 2: '( ) '( )f x f x1 2 1
: '( )
: '( )
k
k
'( )
'( )
k
k
+ Nếu m = 1 thì f’(x) = 1 : Không thõa điều kiện (*)
+ Nếu m ≠ 1 thì f’(x) ≠ 1
* f’(x) = k 1 – 12
( 1)
m x
= k (m≠1 nên k≠1)
1
m x
k
Ta có (1) có nghiệm 1 0
1
m k
* f’(x) = 1
k
1 – 12
( 1)
m x
=
1
k
(m≠1 nên k≠-1) 2 ( 1)
1
k m x
k
Ta có (2) có nghiệm ( 1) 0
1
k m k
Vậy hệ (*) có nghiệm (3) và (4) đều thõa
1
1
k
khi m
k k k
khi m
k k
k < -1 hoặc 0 < k < 1 Khi m > 1
Vậy với m > 1 thì trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm (giao của 2 tiếp tuyến có hệ số góc k và -1/k) sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) và 2 tiếp tuyến này vuông góc nhau
III/ MỘT SÔ LÚNG TÚNG MÀ HỌC SINH GẶP PHẢI KHI LÀM TOÁN VỀ
TIẾP TUYẾN:
3
y f x x x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = 3x + 1 một góc 450 Giải:
Ta có f’(x0) = 2
Phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M(x0; y0) là:
y = f’(x0)(x – x0) + y0 x.f’(x0) – y + y0– x0.f’(x0)
Ta có (d) hợp với đường thẳng 3x – y + 1 = 0 góc 450 khi và chỉ khi
2
0
2
f x
f’(x0) = -2, f’(x0) = 1
2
+ Với f’(x0) = 1
2
Trang 8+ Với f’(x0) = -2 2
= -2 x0 = 1, x0 = 3 Ta được 2 tiếp điểm là (1; 7
3
) và (3; -5).Tiếp tục viết được phương trình 2 tiếp tuyến
Nhận xét: Vì ở lớp 10 học sinh không học công thức tính góc hợp bởi hai đường thẳng theo hệ số
1 2
1 2
tan( , )
1
d d
k k
nên ta không được dùng công thức này, mặc dù dùng công thức này tính
nhanh hơn Mà nói đến tiếp tuyến thì thường nghỉ đến hệ số góc , cho nên khi gặp bài này học sinh lúng túng không biết đặt vấn đề để giải
Ví dụ 2: Cho hàm số 2
1
x y x
(C)
Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C)
và 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó nằm về 2 phía của trục Ox.
Giải:
Gọi A(0; b) là điểm thuộc trục Oy và M( 0
0
2 1
y y
; y0) là tiếp điểm của (C) với tiếp tuyến của (C) đi qua
điểm A(0; b)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
0
3
(x 1)
(x – x0) + y0
2
0 0
y
Vì tiếp tuyến qua A nên ta có:
2
0
y
2
Ta tìm b sao cho phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu đều khác 1 2 b 1
Nhận xét: Nếu 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Oy thì học sinh dễ làm, vì học sinh thường giải theo hoành độ tiếp điểm, cho nên liên quan đến tung độ học sinh sẽ lúng túng khi đặt vấn đề để giải.
3
y f x x x x (C) Xác định k để trên đố thị (C) có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y
= kx
Giải:
Ta có f’(x) = x2– 4x + 3
Trên đồ thị (C) tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y = kx phương trình k.f’(x0) = -1 có ít nhất một nghiệm x0
( )
Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm x0 k thuộc tập giá trị của hàm số g(x0)
'( )
x
g x
g’(x0) = 0 x0 = 2 BBT
Trang 9x0 -∞ 1 2 3 +∞
g’(x0) – – 0 + +
g(x0) 0 +∞ +∞ 0
-∞ 1 -∞
Từ bảng biến thiờn ta cú tập giỏ trị của hàm số g(x0) là T = (-∞; 0)U [1; +∞ ) Vậy với k <0 hoặc k ≥ 1 thỡ trờn đố thị (C) cú ớt nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại điểm đú vuụng gúc với đường thẳng y = kx Nhận xột: Học sinh sẽ gặp khú khăn khi tỡm k để phương trỡnh (*) cú ớt nhất một nghiệm x 0 Vớ dụ 4: Cho hàm số y = f(x) = x5 + 5x4– 2 (C) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đú cú hệ số gúc nhỏ nhất trong cỏc tiếp tuyến của (C) Giải: Tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0, f(x0)) cú hệ số gúc là: f’(x0) = 5x04 + 20x03 Ta cú: f’’(x0) = 20x03 + 60x02 f’’(x0) = 0 x0 = 0, x0 = -3 BBT x -∞ -3 0 +∞
f”(x0) - 0 + 0 +
f’(x0) +∞ +∞
-135
Vậy tiếp tuyến với (C) tại điểm M(-3; 160) cú hệ số gúc nhỏ nhất bằng -135 Suy ra phương trỡnh tiếp tuyến cần tỡm là: y = -135(x + 3) + 160 y = -135x – 245
Nhận xột: Học sinh lỳng tỳng khụng biết bắt đầu giải quyết từ đõu!
III.Các biện pháp để tổ chức thực hiện
1 Hỡnh thức luyện tập trờn lớp cú sự hướng dẫn của Thầy giỏo.
Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của cỏc buổi học chớnh khoỏ và tự chọn Thầy giỏo đưa ra cỏc cỏc trường hợp trờn để học sinh nờu cỏc lời giải cú thể cú được của bài toỏn Sau
đú cho học sinh tỡm tũi, phỏt hiện một số vấn đề thiếu sút và xung quanh bài toỏn
2 Hỡnh thức tự nghiờn cứu cỏc bài toỏn cú sự hướng dẫn của thầy giỏo.
Cho một số bài tập dạng học sinh thường hay lỳng tỳng để học sinh về nhà tự nghiờn cứu cỏch giải
và trao đổi riờng với GV, làm cho khả năng tư duy, sỏng tạo của học sinh ngày càng được tăng lờn
C Kết LUậN 1/ Kết quả nghiờn cứu.
Sau khi tụi thực hiện dạy như trờn tụi thấy kiến thức về “tiếp tuyến của học sinh”
vững vàng hơn, ớt bị sai sút và bớt lỳng tỳng khi đặt vấn đề để giải toỏn
2/ Bài học kinh nghiệm:
Muốn học sinh nắm chăc kiến thức và biết cỏch vận dụng kiến thức đú, thỡ trước hết người thầy
đú phải :
+ Suy nghĩ tỡm những thiếu sút mà học sinh hay vấp phải để học sinh biết
Trang 10+ Đặt kiến thức đó vào nhiều tình huống khác nhau để học sinh rèn kỉ năng giải quyết một vấn đề của toán học