PHẦN 4 TÍCH PHÂN

Tích phân hàm chứa căn thứcCâu 1... Tích phân hàm lượng giác... Tính tích phân sau:.

Vậy I = +1 ln 3.

Câu 4 Tính tích phân ( )

2 1

2 0

1 1

0

2

ln 1 ln 2 1

1

1 1

4.2 Tích phân hàm chứa căn thức

Câu 1 Tính tích phân 12 3

1

dx I

1 1

x x

=

+

∫Đặt u= x2 + 1 2 2

−

=

ln 3 3 2 2 2

t

Đổi cậnx= ⇒ = 0 t 1;x= ⇒ = 1 t 2

1 (x 1 ) 3 2x x2

dx I

x

x

t tdt (x 1 ) 2 dx

4 2

1 2

J =òx dx và

3 0

1

K = òx x + dx ; ta có

3 3

1 2 1

Câu 11 Tính nguyên hàm:

2 1 4

dx I

2

I =òx - x dx Đặt t= 2 - x2 Û t2 = - 2 x2 Þ 2tdt= - 2xdxÞ tdt= - xdx

Đổi cận: 10 1

2

t x

2 2 2

dx x

π

∫

*Đặt t=cosx

1 1

log

1 3ln

e

x dx

1 ln

2 1

3 x

J = ∫e dx và

1 2 0

J = ∫e dx =e =e −

Tính 2

1

2( ln ) ln

dx

+ +

1

1 1 ln

Câu 16 Tính nguyên hàm sau:∫e x +1

dx

e

e e

x

x

e

e d

dx = x – ln(e x + 1) + C

Câu 17 Tính tích phân:

1 0 (1 x)

3

4

1

' ln

1 '

I = ∫ xdx ta được kết quả 2

1

1

ln 2 2

I =

• Tính

ln 2

2 0

Câu 26 Tính tích phân ln 2( )2

0 1

I =ò e - e dx.Đặt t=e x- 1 Þ dt=e dx x

Vậy 3 2

ln 2 2

1 ln

x x

4.4 Tích phân hàm lượng giác

Câu 3 Tính tích phân I = ∫2 +

0

2 ) sin cos

(

π

xdx x

0

sin cos sin

π π

xdx x

2 0

1 sin , cos sin

π π

xdx x

I xdx x

I

cos sin

2 0 2

0

2 0

x xdx x

x I x v

dx du xdx

cos )

(cos cos

sin

0

3 2

0 2 2

0

2

π π

π

x x

xd xdx

dx x x I

Tính các tích phân: =∫2

0

3 sin 2 sin

π

dx x x I

F( ) =∫tan 2 cot − 2 cos + 2 cos 2 =∫ (2 − 2 sinx+ sin 2x)dx

C

x x

=

2

2 cos cos

2 2

2

0 2

2 2 4

.

2

4

π π

2 2 )

(x = x+ x− x−

F

2 2 0 0

Câu 12 Tính tích phân sau:

2 1

t

dx dt t

1 2

1 2

Câu 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y=x2, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.

0 0

3 x

1 x

−

1

2 3 3

2 3 1

1

2

3 3 x x 3 dx x 3 x x 3 dx x

2 3 1

2 3 4 1

1

2 3

4

x 3 2

x x 4

x x

3 2

x x

2

x x x

Câu 12 Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường y = tanx ; y=0 ; x=0; x =

4

π quanh trục Ox

= ∫ 4( 12 1)

0 cos x dx

π π

Câu 13 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các

đường y x= +3 1,y =0,x =0,x =1 khi quay xung quanh trục Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y x= + 3 1và y=0:

4 0