PHẦN 1 đồ THỊ hàm số

Lập phương trình tiếp tuyến của C tại các giaođiểm của đồ thị với trục hoành.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi C tại các giao điểm của C với đường thẳng d:y= − −x 2 biết tọa độ t

Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là − ≤ ≤ 3 m 0.

Câu 2 Cho hàm số y x= 3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x− 2m+ 3 Tìm m để hàm số nghịch biến

x x

− ≤



 + ≥

 ⇔ 1≤ ≤m 2 Vậy giá trị m cần tìm là 1 ≤ ≤m 2

Câu 3 Xác định m để hàm số sau đồng biến trong khoảng (0; +∞):

+ Đạo hàm: y'= −3x +2(3−m x) −2m

+ Để hàm sôố luôn nghịch biêốn thì y' 0 ≤ ∀x

2 2

3 0 0

m

m m

<



⇔ ≤ − ⇔ ≤ − + Vậy m≤ − 1 thì hàm số thỏa đề bài

*y'' 2( ) = >3 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu

Câu 2 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

y x= − x +Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

y’ - 0 +

0 - 0 +

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y cd = y(0)= −1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1 và y ct = ± = −y( 1) 3

Câu 4 Cho hàm số y x= −3 3mx2+(m2−1) x+2,m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x= 2

Ta có: y' 3= x2−6mx m+ 2−1; '' 6y = x−6m

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 2 '(2) 0

''(2) 0

y x

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Ta có y′=3x2−6mx+3(m2−1)

Hàm số (1) có cực trị thì PT y′=0 có 2 nghiệm phân biệt

x mx m

⇔ − + − = có 2 nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = > ∀1 0, m

Khi đó, điểm cực đại (A m−1;2 2 )− m và điểm cực tiểu (B m+ − −1; 2 2 )m

Câu 8 Cho hàm số y= x3 −3(m+1)x2 +9x−m, với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1−x2 =2

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1−x2 =2.

(1)

1 3

m m m

( 1) 43(2)1

m m m

m m

= −



 =

 TMYCBT

Câu 9 Cho hàm số: y= −x3 3(m+1)x2+9x m− , với m là tham số thực.Xác định m để

hàm số đã cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 x1−x2 ≤2

− Ta có y' 3= x2−6(m+1)x+9

− Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

⇔ x2−2(m+1)x+ =3 0 có hai nghiệm phân biệt là x x 1, 2

m=

Câu 13 Cho hàm số f x( ) =x4 + 2(m− 2)x2 +m2 − 5m+ 5 (Cm)

Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 Toạ độ các điểm cực trị là:

A(0;m2 − 5m+ 5), ( 2B −m;1 −m C), ( − 2 −m;1 −m)

Tam giác ABC luôn cân tại A ⇒∆ABC vuông tại A khi m = 1

Câu 14 Cho hàm số y=2x3- 3x2+ 1( )1

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng :d y=2x+ với đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm1

M thuộc d và cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuôngtại M

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d y: = 2x+ 1 và đồ thị (C) là:

M ∈d y= x+ ⇒M t t+ , tọa độ các điểm cực trị của (C) là D(0;1), (1;0)T

M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông tại M

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên

để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC

⇔ uuur= − − uuur= − uuur=

Tam giác ABC vuông khi: 2 2 2 2 2 8 ( 2 8)

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 16 Cho hàm số y x= 4−2m x2 2+1 (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số(1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).+) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0 ⇔ x2 0 2

+) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4)

(0; 1 ,) ( ; 2 1 ,) ( ; 2 1)

A m− B − m m− + −m C m m− + −m

.2

SV = y −y x −x =m m; AB= AC = m4+m BC, =2 m

3 2

12

+ Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2

+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

Viêốt phương trình đường thẳng đi qua điểm A(−1;1) và vuông góc với đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị của (C)

Đuờng thẳng đi qua 2 c ực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4

Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½

Vậy PT đ ư ờng thẳng cần tìm là

2

32

1+

= x y

Điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi 13 2

Câu 21 Cho hàm số y= − +x3 (2m+1)x2−(m2−3m+2)x−4 (m là tham số) có đồ thị

là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trụctung

Câu 22 Cho hàm số y=x3−3mx2+4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m

để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

Ta có: y’ = 3x2− 6mx = 0 ⇔ x x=02m

 =



Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ uuurAB=(2 ; 4m − m3)

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đườngthẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x

3 3

1.3 Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :y=x4−2x2+3 trên đoạn [ ]0;4 y’= 0  x=0, x=1 ∈[ ]0;4 x= -1 loại

Ta có: f(0) =3 , f(1)=2 , f(4)=227

Vậy GTLN y = 227 , trên [ ]0;4 khi x=4

GTNN y= 2 trên trên [ ]0;4 khi x=1

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) = +x 4−x2. trên đoạn 2;1

Câu 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x= logx trên khoảng (0;10).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) =x.logx trên khoảng (0;10]

Hàm số đã cho liên tục trên (0;10] Ta có '( ) log 1 log log

e.BBT:

−

=

− trên đoạn 2;4.Hàm số liên tục trên đoạn 2;4

Câu 11 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x= - 4- x

D é= -ë 2;2ùû

Ta có: 2

2

4'

1.4 Tiếp tuyến

1.4.1 Tiếp tuyến tại một điểm

Câu 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 3−3x2+2 tại điểm M(–1;–2)

Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1

Câu 8 Cho hàm số: y=2x3−7x+1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)tại điểm có hoành độ x = 2

y 3x2 6x Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0),B(1− 3;0 , 1) (C + 3;0)

Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT: y= − + 3x 3

Tiếp tuyến tại B 1( − 3;0) có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y=6x− +6 6 3

Tiếp tuyến tại C 1( + 3;0) có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y=6x− −6 6 3

Câu 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= −1

x tại giao điểm của nóvới trục hoành

′ = +

• Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A(−1;0 , 1;0) ( )B

• Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1=2 nên PTTT: y = 2x +2

• Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2=2 nên PTTT: y = 2x – 2

Câu 11 Cho hàm số: 2 1

1

x y x

+

=

- Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên

( )C có tung độ bằng 5

Do đó phương trình tiêốp tuyêốn câần lập là: y= − 1(x− + 2) 3hay y= − +x 5

Câu 13 Cho hàm số y= −x +3x 13 2 ( ) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giaođiểm của đồ thị với trục hoành

Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm A(0;0) và B(3;0)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;0) là: y= 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(3;0) là: y= y,( )(3 x−3)=−9x+27

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y= 0 và y= − 9x+ 27

Câu 14 Cho hàm số y x= −3 3x2+2 ( )C Gọi giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng

3

y= − −x là M, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm M

Tọa độ của M là nghiệm của hệ

3 3 2 23

M x

⇔ − + + = ⇔ = − ⇒ − −

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là y= f '( 1)( − x+ − 1) 2 ⇔ =y 9(x+ − ⇔ = 1) 2 y 9x+ 7.

Câu 15 Cho hàm số y= − +x3 3x−2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C)

tại các giao điểm của (C) với đường thẳng d:y= − −x 2 biết tọa độ tiếp điểm có hoành độ dương

Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình:− +x3 3x− = − − 2 x 2

0

2( / )2

1.4.2 Tiếp tuyến đi qua một điểm

Câu 1 Cho hàm số :

1 x 2

1 x y

1 A

Phương trình tiếp tuyến (∆) qua A có dạng 

(∆) tiếp xúc với (C) /

x 1 k x 1

x 1 k co ù nghieäm2x 1

+

−

⇔

) 2 ( k 1

x

3

) 1 ( 2

1 x k 1

x

1

x

2Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là

−

+ +

= + +

k x

x k x

x

2

) 1 ( 2

2 ) 3 ( 1

4 2

Giải hệ ⇒x= − 2 ⇒k = − 2

Vậy phương trình tiếp tuyến : ∆ :y = − 2x− 4

Câu 3 Cho hàm số y= -x3 3x2+2 có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của

( )C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 2- )

x x

é = ê ê

ê = ê

Với x0=2 Þ ( )D :y=- 2

Với 0

12

x y x

x x

é =ê

ê =ë

1.4.3 Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc tiếp tuyến

Câu 1 Cho hàm số 2 1

2

x y x

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5 Û y x'( )0 =- 5

x x

é =ê

ê =ë Với x0=1 Þ y0=- 3 : M1(1; 3)- Þ pttt: y =- 5 x 2 +

Với x0=3 Þ y0 =7 : M2(3;7) Þ pttt: y =- 5 x 22 +

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y =- 5 x 2 + và y =- 5 x 22 +

Câu 2 Cho hàm số y=x3−3x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết

hệ số góc của tiếp tuyến k = -3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= −3(x− − ⇔ = − +1) 2 y 3x 1

Câu 3 : Cho hàm số: y=2x3−7x+1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ

′ = − ⇔ − = − ⇔  =

• Với x0 = − ⇒1 y0 = ⇒6 PTTT y: = − +x 7

• Với x0 = ⇒1 y0 = − ⇒4 PTTT y: = − −x 5

1.4.4 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d

Câu 1 Cho hàm số y x

x

11

−

=+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếptuyến song song với d: y x 2

 =

 = −

+ Với x0= ⇒1 y0 =0 ⇒ PTTT: y 1x 1

= − + Với x0= − ⇒3 y0 =2 ⇒ PTTT: y 1x 7

+ (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số (1), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y= − − 5x 2.

2 5( )

( 1)

+ −

′ =

+Tiếp tuyến song song với d: y= − − 5x 2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k= − 5

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm Ta có: f x′( )0 = −5 ⇔ x x

x

2

2 0

5( 1)

Câu 3: Cho hàm số f(x) = -x3 + 3x + 1 (có đồ thị (C)) Lập phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -9x -15

Tiếp tuyến // d: y = -9x -15 nên phương trình tiếp tuyến có dạng

−

+

−

=++

−

)2(9

33

)1(9

132

3

x

m x x

x

có nghiệm

1717

2

152

m x

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -9x +17.

Câu 4 Cho hàm số y x x= 2( +1) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y= 5x.

Vì tiếp tuyến song song với d: y= 5x nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm.

3

8( 1)

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp ⇒ y x x

Câu 7 Cho hàm số: y x= 3−3x2+2x+2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: x y 50 0+ + =

Khi đó y0 = ⇒ 2 phương trình tiếp tuyến là y= − − + ⇔ = − + (x 1) 2 y x 3.

Câu 8 Cho hàm số y= -x3 3x2+2 có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của

( )C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : D y= 9x+ 2

Ta có: y' 3= x2- 6x

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) D nên hệ số góc của tiếp tuyến là k= 9

Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k= 9 Û y x'( )0 =9

x x

é ê

=-ê =ë Với x0=- 1 Þ y0=- 2 : M1( 1; 2)- - Þ pttt: y = 9 x 7 +

Với x0=3 Þ y0=2 : M2(3;2) Þ pttt: y = 9 x 25

-Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề Câu là y = 9 x 7 + và y = 9 x 25 -

Câu 9 Cho hàm số 2

2

x y x

-= + có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C ,biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : D y=- +x 2

Ta có: ( )2

4 '

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) D nên hệ số góc của tiếp tuyến là k= 1

Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k= 1 Û y x'( ) 10 =

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề Câu là y= +x 1 và y= +x 7

Câu 10 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 3−3x2+1(C) Biết tiếptuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y=9(x+ − ⇔ =1) 3 y 9x+6(loại)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y=9(x− + ⇔ =3) 1 y 9x−26

Câu 11 Cho hàm số y=x3−3x+2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếptuyến đó vuông góc với đường thẳng 1

y= − x là:

y =9x - 14 và y = 9x + 18

1.4.5 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d

Câu 1 Cho hàm số y x= 4−x2+3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông gócvới d: x+ 2y− = 3 0

d: x+ 2y− = 3 0 có hệ số góc k d 1

2

= − ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k 2= Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm Ta có: y x′( ) 20 = ⇔ 4x30− 2x0 = 2 ⇔ x0 =1 (

x

+ +

=+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biếttiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4 1

y= − x+

12x 3

3

x x

x x

=

+

y= x − x + x Lập phương trình đường thẳng đi

qua điểm cực đại của đồ thị (C) và vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị (C)

tại gốc tọa độ

+ Điểm Cực đại của ( C ) là M(1;4/3)

+T.T của ( C ) tại gốc toạ độ có hệ số góc k= y’(0)=3

+Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và có hệ số góc k’= -1/3 nên có pt:

y= - 1/3(x-1)+4/3=-1/3x+5/3

1.4.6 Phương trình tiếp tuyến dạng đặc biệt

đồ thị (C m) Tiếp tuyến tại điểm bất kì của (C m) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận nganglần lượt tại A và B Tìm m để diện tích tam giác IAB bằng 12

Với mọi m, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − m, tiệm cận ngang y m = ,

−

=

− Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách

từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2

*Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0 ∈C có phương trình

x y x

d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được:

Kết hợp với điều kiện (1) ta được: Với thỏa mãn bài toán

Câu 5 Cho hàm số y x= −3 6x2+9x−2 (1) có đồ thị (C) Chứng minh rằng trên (C) không thể tồn tại hai điểm có hoành lớn hơn 3 sao cho hai tiếp tuyến với (C) tại hai

điểm đó vuông góc với nhau

Giả sử trên (C) có hai điểm A x y( ; ), B( ; )1 1 x y2 2 với x1, x2 > 3 sao cho tiếp tuyến với (C) tạihai điểm này vuông góc với nhau

+

=+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp

tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O,

2

0 0

21

1

1(2 3)

x x x

= −



−

⇔ + = ± ⇔  = −

Với x0 = −1 thì y0 =1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y= −x (trường hợp này loại vì tiếp

tuyến đi qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)

Với x0 = −2 thì y0 = −4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y= − −x 2

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y= − −x 2

Câu 7 Cho hàm số y = 2 1

1

x x

−

− có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏamãn OA = 4OB

Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA=4OB

Do ∆OAB vuông tại O nên tan 1

4

OB A OA

Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồthị (C) bằng 4

Gọi  − 

+3

1

;

0

0 0

4d

x 24

x có đồ thị kí hiệu là ( )C a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

4 8 0(*)4( 2) 0

Câu 3 Tìm m để đường thẳng ( )d :y x m= − cắt đồ thị ( )C của hàm số 1

1

x y x

+

=

− tại hai điểm A B, sao cho AB=3 2

Pt hoành độ giao điểm 1 1 ( ) ( 1)

Gọi M x ; y( 0 0), (x0 ≠1) , 0

0 0

2x 1 y

1x

Câu 5 Cho hàm số

1

x y x

=

− (1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng y= +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

tam giác IAB có diện tích bằng 3 , với I là giao điểm của hai tiệm cận

⇔ = − + (Vì x= 1 không phải là nghiệm của phương trình)

=

− (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Tìm trên đồ thị hàm số (1) các điểm M có hoành độ âm sao cho M cùng với haiđiểm A( ) ( )1;0 ,B 3;1 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 5

Câu 7 Cho hàm số y=x4-2x2-3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b).Tìm tham số m đề đồ thị hàm số y=mx2-3 cắt đồ thị ( C) tại 3 điểm phân biệt và tạothành hình phẳng có diện tích bằng 128