Hình học lớp 9 chuyên đề đường tròn

- Cc gc nội iế một cung hoặc chắn cc cung bằng nhau th bằng nhau.

CHUYN Ề 3: ỜNG TRN BI 1:XC ỊNH MỘT ỜNG TRN

* ịnh ngha ờng trn, hnh trn:

- ờng trn tm O, bn knh R l hnh gồm cc iểm cch O một khoảng bằng R, k hiệu (O ; R), hoặc (O)

* ịnh ngha hnh trn:

- Hnh trn l hnh gồm cc iểm nằm trn ờng trn v các

iểm nằm bn trong ờng trn 

+ Tnh chất của ờng trn:

- Tm ờng trn l tm ối xứng của trn 

- Bất kỳ ờng knh no cng l t xứng của

ờng trn

V dụ: Cho hnh vẽ:

Xc ịnh tm ối xứng, t g của ờng trn

Giải:

- O l tm ối xứng

- AB, CD l ủa ờng trn

* Cung và dây c

- Giả sử A, iểm nằm trn ờng trn tm O Hai

iểm ny chia ờng trn thnh hai phần mỗi phần gọi l một

cung trn (Gọi tắt l cung)

- oạn thẳng nối hai mt của cung l dy cung

- Trong một ờng trn ờng knh l dy cung lớn nhất

* Sự xc ịnh ờng trn, ờng trn ngoại tiếp tam gic:

- Một ờng trn ợc xc ịnh khi biết tm v bn knh của

ờng trn  hoặc khi biết một oạn thẳng l ờng knh của ờng

trn 

V dụ 1: Cho hai iểm A v B Vẽ một ờng trn i qua hai iểm



Giải:

Xc ịnh trung iểm O của oạn thẳng AB => (O;

2

AB)

O R

R

O

D C

O A

D

B C

A A

O

C

O

Hình.1

Hình.2

Hình.3

Hình.4

Hình.5 Hình.6

V dụ 2: Cho ba iểm A, B, C khng thẳng hng

Vẽ một ờng trn i qua ba iểm 

Giải:

Vẽ cc ờng trung trực ba cạnh của ∆ABC

O l giao của ba ờng trung trực cch ều ba ỉnh của tam gic => O l tm của

ờng trn i qua i qua ba iểm A, B, C

- Qua ba iểm khng thẳng hng ta vẽ ợc một ờng trn Ni cách khác qua

ba ỉnh của một tam gic ABC bao giờ cng dựng ợc một ờng trn xc ịnh Ta ni ờng trn  ngoại tiếp tam gic, hay tam gic  nội tiếp ờng trn

BÀI 2: TNH CHẤT ỐI XỨNG CỦA ỜNG TRN

a) Tm ối xứng:

A’ ối xứng với A qua O

Vậy tm O l tm ối xứng của ờng trn

b) Trục ối xứng:

C’ ối xứng với C qua ờng knh thẳn

Do  ờng knh AB l một trục  ng của (O)

Vậy, bất k knh no cng l một trục ối xứng của ờng trn; ờng trn c v số trục ối xứng

c) ờng knh v dy của ờng trn.

ịnh l 1: Trong cc dy của một ờng trn, dy

lớn nhất l ờng knh

AB CD; AB EF

d) Quan hệ vung gc giữa ờng knh v dây

ờng knh vung gc với dy th i qua trung iểm của dy

I O

C ' C

B A

F E

D C

A

Hình.10

Hình.11

Hình.12

ịnh l 2: Trong một ờng trn, ờng knh vung

gc với một dy th i qua trung iểm của dy ấy

AB l ờng knh, CD l một dy của (O);

Nếu AB CD tại I thì IC = ID

ịnh l 3: Trong một ờng trn, ờng knh i qua

trung iểm của một dy khng i qua tm th vung

gc với dy ấy

AB l ờng knh, CD l một dy khc ờng knh

của (O);

Nếu AB CD = I

Và IC = ID thì AB CD

V dụ:

ờng knh AB i qua trung iểm của dy

nhng khng vung gc với CD

(V dy CD i qua tm O)

BÀI 3: DY CUNG V K OẢNG CCH ẾN TM

1 Dy cung v khoảng c

+ ịnh l : Tro ột n

ịnh l 1: - Hai d y g nhau th cch ều tm

- Hai dy cch ều tm th bằng nhau

ịnh l 1: - Dy lớn hn th gần tm hn

- Dy gần tm hn th lớn hn

+V dụ : Cho AB v CD l 2 dy khc ờng knh của ờng trn ( O ; R ) gọi

OH,OK theo thứ tự l cc khoảng cch từ O ến AB ,CD

- dây AB = CD OH = OK

- dây AB > CD OH < OK

2 Vị tr tng ối của dờng thẳng v ờng trn :

Xt ờng trn (O; R) v ờng thẳng a OH l khoảng cch từ tm ờng trn

ến ờng thẳng a; (OH = d)

C O

B A

C O

B A

O

C B

A

H

K

O

D

C

Hình.13

Hình.14

Hình.15

Hình.22

+ ờng thẳng v ờng trn cắt nhau

Ta có:

A B

+ ờng thẳng v ờng trn tiếp xc nhau

Ta có:

a

+ ờng thẳng v ờng trn khng giao nhau

Ta có:

VD1: d = 3cm , R = 5cm ( ờng thẳng ng trn cắt nhau )

VD2: d = 7cm , R = 7cm ( ờng thẳng ng trn tiếp xc nhau )

VD3: d = 6cm , R = 5cm ( ờng thẳ ờng trn khng giao nhau )

* Hai ờng tr au:

+ Hai ờng trn c 2 iểm chung A v B

+ Hai iểm chung A v B ợc gọi l 2 giao iểm

+ oạn thẳng nối 2 giao iểm AB gọi l dy chung

+ OO’ gọi l oạn nối tm

+ R - R’ < OO' < R + R’

* Hai ờng trn tiếp xc nhau:

+ Hai ờng trn c 1 iểm chung A

+ iểm chung A ợc gọi l giao iểm

a) Hai ờng trn tiếp xc ngoi:

OO' = R + R’

b) Hai ờng trn tiếp xc trong: OO' = R – R’

d < R

H

d R

d = R

H

d R

d > R

H

O

O

Hình.23

Hình.24

Hình.25

a)

A

* Hai ờng trn khng giao nhau:

+ Hai ờng trn khng c iểm chung

a) Nếu (O) v (O’) ở ngoi nhau th: OO’ > R + R’

b) Nếu (O) ựng (O’) th: OO’ < R + R’

c) (O) v (O’) ồng tm th: OO’ = 0

* Tiếp tuyến chung của hai ờng trn

+ d1, d2 l hai tiếp tuyến chung ngoi của 2 ờng trn (O) v (O’)

+ m1 v m2 l 2 tiếp tuyến chung t ờng trn (O) v (O’)

O R

m1 m2

a)

R'

c)

O O'

BÀI 5: GC Ở TM, SỐ O CUNG LIN HỆ GIỮA CUNG V DY

1 Gc ở tm , số o cung

1.Gc ở tm :

+ ịnh ngha : Gc c ỉnh trng với tm ờng trn ợc gọi

l gc ở tm

VD: AOB( hình 32)l gc ở tm

- Cung AB ợc k hiệu l:AB,

AmBl cung nhỏ, AnBl cung lớn

- Cung nằm trong gc gọi l cung bị chắn

VD: AmB l cung bị chắn bởi AOB

2 Số o cung:

+ ịnh ngha :

Số o của cung nhỏ bằng số o của  ở hắn cung 

Số o của cung lớn bằng hiệu giữa số o của cung nhỏ

Số o của nửa ờng trn bằng 180

+ K hiệu : Số o của cung AB   hiệu S AB

VD: Hnh 39 cung nhỏ AmB c S 00

cung lớn SAnB = 3600 -

SA B

3 So sánh hai cung

+Khi niệm : Hai cung ợc gọi l bằng nhau nếu chng c số o bằng nhau

Trong hai cung, cung no c số o lớn hn ợc gọi l cung lớn hn

+ VD: - Hai cung AB v CD bằng nhau ợc k hiệu l AB= CD

- Cung EF nhỏ hn cung GH ợc k hiệu l EF < GHhay GH > EF

4 Lin hệ giữa cung v dy

4 1 ịnh l 1: Với hai cung nhỏ trong một ờng trn hay trong hai ờng trn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau cng hai dy bằng nhau

b) Hai dy bằng nhau cng hai cung bằng nhau

4.2 ịnh l 2 :

A

B O

m

A

B O

m

n

100

Hình.33 Hình.32

Với hai cung nhỏ trong một ờng trn hay trong hai ờng trn bằng nhau:

a) Cung lớn hn cng dy lớn hn

b) Dy lớn hn cng cung lớn hn

BÀI 6: TIẾP TUYẾN CỦA ỜNG TRN

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của ờng trn

+ ờng thẳng v ờng trn chỉ c một iểm chung

+ Khoảng cch từ tm của một ờng trn ến ờng thẳng bằng bn knh của

ờng trn

+ ịnh l:

Nếu một ờng thẳng i qua một iểm của ờng trn v vung gc với bn knh

i qua iểm  th ờng thẳng ấy l một tiếp tuyến của ờng trn

V dụ 1:

Hnh 38 ờng thẳng xy i qua iểm C của ờng

tròn (0) v vung gc với bn knh OC ờng thẳng

xy l tiếp tuyến của ờng trn (0)

- Tnh chất của hai tiếp tuyến cắt nha nh 39)

+ A cch ều hai tiếp iểm B

+ Tia AO l tia phn gic c bởi hai tiếp tuyến

AB, AC

B

c

V dụ 2: Trn hnh 43 ta c:

BA v CA l hai tiếp tuyến của ờng trn (0)

Theo tnh chất tiếp tuyến ta c :

AB OB, AC OC Hai tam gic vung OAB v OAC c OB = OC , OA l cạnh chung Do  OAB = OAC (cạnh huyền – cạnh gc vung)

Suy ra AB = AC

OAB OAC nn AO l tia phn gic của BAC

AOB AOC nn OA l tia phn gic của BOC

O

C

y x

Hình.38

Hình 39

BÀI 7: GC NỘI TIẾP V MỐI LIN HỆ GIỮA

GC NỘI TIẾP V CUNG BỊ CHẮN

+ ịnh ngha gc nội tiếp :

- Gc nội tiếp l gc c ỉnh nằm trn ờng trn v hai cạnh chứa hai dy cung của ờng trn 

- Cung nằm bn trong gc ợc gọi l cung bị chắn

V dụ :

Hình 42 (a;b) : BAC l gc nội tiếp

+ Tnh chất của gc nội tiếp :

Trong một ờng trn, số o của gc nội t a số o của cung bị chắn

V dụ : sBAC = 1

2s BC

+ Hệ quả :

Trong một ờng trn :

- Cc gc nội tiếp bằn cc cung bằng nhau

- Cc gc nội iế một cung hoặc chắn cc cung bằng nhau th bằng nhau

- Gc nội ti hn hoặc bằng 900) c số o bằng nửa số o của gc ở tm cng chắn một cung

- Gc nội tiếp chắn nửa ờng trn l gc vung

V dụ :

Hình 44 : BAC= EDF => sd BC = sdEF

Hình 45 : BAC = BJC = BIC và EDF = EHF mà BAC = EDF nên

C

A

B

C

O A

0

F

A

C B

D

E

0

F

A

C B

D

E

J

I H

B

O

C A

Hình.43 Hình.42.b Hình.42.a

BAC = BJC = BIC = EDF = EHF

Hình 46

Hình 47 Hình 46 : AFB = 1

2 BOF

Hình 47 : DCF =900 ( do DE l ờng knh )

- Gc tạo bởi tia tiếp tuyến v dy cung:

xAB học yAB

- Số o gc tạo bởi tia tiếp tuyến v dy c

S xAB= 1

2S AnB

V dụ: Cho AnB c số o 500=>

0 0

50 25 2

UNG CHỨA GÓC

I Gc ỉnh c ở bn t ong ờng trn :

1) ặc iểm:

- ỉnh ở bn trong ờng trn

- Hai cạnh l 2 ct tuyến

2) ịnh l : Số o của một gc c ỉnh ở bn trong ờng

trn bằng nửa tổng số o của hai cung bị chắn

Nối AD ta c l gc ngoi của tam gic ADF

2

sd AmC sd BnD

Vậy =

2

* Ch  :Gc ở tm l trờng hợp ặc biệt của gc ở ỉnh c ở bn trong ờng trn (chắn 2 cung bằng nhau)

0

F

A

B

0

C D

E

DFB

DFB

F

O

D

C B

A

Hình.64

II Gc c ỉnh ở bn ngoi ờng trn :

1)ặc iểm :

- ỉnh ở bn ngoi ờng trn

- Hai cạnh ều l ct tuyến hoặc 1 cạnh l ct tuyến, 1 cạnh l tiếp tuyến hoặc hai cạnh l tiếp

2) ịnh l: Số o của một gc c ỉnh ở bn ngoi

ờng trn bằng nửa hiệu số o của hai cung bị chắn

a) Hai cạnh ều l ct tuyến :

Nối AB Ta c :DAB l gc ngoi của EAB

DAB=DEB+ ABC

Ta có: DEB = DAB - ABC =

2

sd DnB sd AmC

b) Một cạnh l ct tuyến ,1 cạnh l tiếp tuyến :

Nối AC Ta c : DACL gc ngoi của EAC

DAC = DEC + ACE

DEC = DAC - ACE =

2

sd DnC sd AmC

c) Hai cạnh ều l tiếp tuyến :

Nối AC Ta c :CAx l gc ngoi của EA

AEC = CAx - ACE =

2

sd AnC sd AmC

III Bi ton qy tch “cung chứa g :

* Bài toán: Cho oạn thẳn c ( 00 < < 1800) Tm quỹ tch( tập hợp) cc iểm M thỏa mn AM cng ni quỹ tch cc iểm M nhn oạn thẳng

AB cho trớc dới 

* Kết luận :Vớ AB v gc (00< <1800) cho

trớc th quỷ tc ểm M thoả mn = là hai cung

chứa gc dựng trn oạn AB

* Chú ý : - Hai cung chứa gc ni trn l 2 cung trn ối xứng

với nhau qua AB

- A,B ợc coi l quỷ tch

- =900: Quỹ tch l cả ờng trn ờng knh AB

b, Cách giải bi ton qy tch

Muốn chứng minh quỹ tch(tập hợp) cc iểm M thỏa mn tnh

chất T l một hnh H no , ta phải chứng minh hai phần:

+ Phần thuận: Mọi iểm c tnh chất T ều thuộc hnh H

+ Phần ảo: Mọi iểm thuộc hnh H ều c tnh chất T

+ Kết luận: Quỹ tch(tập hợp) cc iểm M c tnh chất T l hnh H

AMB

E O

n

m D

C A

E O

m

C A

E

B

O

D

C A

m d

M /

y

x O M

B A

Hình.65

Hình.66

Hình.67

Hình.68