Hình học lớp 9 chuyên đề cực trị

Tnh diện tch lớn nhất của tứ gic ADME... www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7 Giải: ADME là hình chữ nhật... Tnh diện nhất của hnh thang DEKH.

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 1 

CỰC TRỊ HNH HỌC

A-Phng php giải bi ton cực trị hnh học

1- Hớng giải bi ton cực trị hnh học :

a) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị lớn nhất ta

phải chứng tỏ ợc :

+Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≤ m ( m l hằng số )

+Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D sao cho f = m

b) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị nhỏ nhất ta

phải chứng tỏ ợc :

+Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≥ m ( m l hằng số )

+Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D ể f = m

2 - Cch trnh by lời giải bi ton cực trị hnh học

+ Cách1 :Trong cc hnh c tnh chất của ề bi,chỉ ồi chứng minh mọi hnh khc ều c gi trị của ại lợng phải tm cực trị nhỏ hn ( hoặc lớn hn ) gi trị của ại lợng  của hnh  chỉ ra

+ Cách2 :Biến ổi tng ng iều kiệ ng ny ạt cực trị bởi ại lợng khc ạt cực trị cho ến khi trả lời ợc c m ề bi yu cầu

V dụ : Cho ờng trn (O) v iểm P ong ờng tròn( P khng trng với O).Xc ịnh vị tr của dy i qua iểm P s dy  c ộ di nhỏ nhất

Giải :

+Cách 1 :

Gọi AB l dy vung gc vớ tại P , v dy CD l dy bất kỳ i qua P và khng trng với AB ( h.1)

Kẻ OH  CD

OHP vung tạ < OP  CD > AB

Nh vậ c dy i qua P , dây vuông góc

với OP tại P c hỏ nhất

+Cách

Xt dy AB bất kỳ i qua P ( h.2) Kẻ OH  AB

Theo lin hệ giữa dy v khoảng cch ến tm:

AB nhỏ nhất  OH lớn nhất

Ta lại c OH ≤ OP

OH = OP  H ≡ P

Do  maxOH = OP

Khi  dy AB vung gc với OP tại P

B-Cc kiến thức thờng dng giải bi ton cực trị hnh học

1- Sử dụng quan hệ giữa ờng vung gc , ờng xin , hnh chiếu

a-Kiến thức cần nhớ:

H

O

C

D

h 1

H

O

A

B

P

h 2

A

h.4

a

a1) ABC vung tại A (c thể suy biến thnh oạn thẳng)  AB ≤ BC

Dấu “=” xảy ra  A ≡ C ( h.3 )

a2) ( h.4 )

+ AH  a  AH ≤ AB Dấu “=” xảy ra  B ≡ H

+ AB < AC  HB < HC

a3)( h.5 )

A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB

Dấu “=” xảy ra  A ≡ K và B ≡ H

b-Cc v dụ:

V dụ 1: Trong cc hnh bnh hnh c hai bằng 6 cm v 8 cm ,hnh no c diện tch lớn nhất ? Tnh diện tch lớn nh

Giải :

Xét hình b có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)

Gọi O l g ờng cho Kẻ BH  AC

Ta có : SA ABC = AC.BH

Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do  :

SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2)

SABCD = 24 cm2  BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC

Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi ó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) c diện

tích 24cm2

V dụ 2: Cho hnh vung ABCD Trn cc cạnh

AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự cc iểm E,F,G,H

sao cho AE = BF = CG = DH Xc ịnh vị tr của

cc iểm E, F,G,H sao cho tứ gic EFGH có chu vi

nhỏ nhất

Giải :

HAE = EBF = FCG = GHD

 HE = EF = FG = GH

A

B

C

h.3

A

B

H

b

h.5

A

C

D

B

O

H

B

C

D O≡H

A

D

B

C

E K

F

G

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 3 

 EFGH là hình thoi

AHEBEF

AHE AEH 90  0  BEFAEH900

 HEF900

 EFGH là hình vuông

Gọi O l giao iểm của AC v EG Tứ gic AECG c AE = CG, AE //CG nên là

hình bình hành suy ra O l trung iểm của AC v EG , do  O l tm của cả hai hnh

vuông ABCD và EFGH

HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 HE = OE 2

Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE Do  chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất

Kẻ OK AB  OE ≥OK ( OK khng ổi )

OE = OK  E ≡ K

Do  minOE = OK

Nh vậy , chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất khi v chỉ kh rung iểm của

AB , BC, CD, DA

V dụ 3: Cho oạn thẳng AB c ộ dài 2a V pha của AB cc tia Ax và

By vung gc với AB Qua trung iểm của M hai ờng thẳng thay ổi

lun vung gc với nhau v cắt Ax, By theo thứ D xc ịnh vị tr của cc

iểm C,D sao cho tam gic MCD c diện t Tnh diện tch tam gic 

Giải:

Gọi K l giao iểm của CM v DB

MA = MB ; AB 90 0, AMC

 MAC = MBK  MC = M

Mặt khc DM CK

 DCK cân  D1

Kẻ MH  CD

 SMCD =

2 H ≥ 1

2AB.MH =1

22a.a= a2

SMCD = a2  CD  Ax khi  AMC = 450 ;

BMD =450

Vậy min SMCD = a2 Cc iểm C,D ợc xc ịnh

trên Ax; By sao cho AC = BC =a

V dụ 4: Cho tam giác ABC có B là góc

t , iểm D di chuyển trn cạnh BC Xc

ịnh vị tr của iểm D sao cho tổng cc

khoảng cch từ B v C ến ờng thẳng AD

c gi trị lớn nhất

Giải:

Gọi S l diện tch ABC Khi D di chuyển

C

K

H

D

M

1 2

y

x

h.9

C

A

F

E

h.10

H

trn cạnh BC ta c :

SABD + SACD = S

Kẻ BE AD , CF  AD

1

2AD.BE +1

2AD.CF = S

 BE +CF = 2S

AD

Do  BE + CF lớn nhất  AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất

Do HD ≥ HB ( do ABD >900 ) và HD = HB  D ≡ B

Vậy Khi D ≡ B th tổng cc khoảng cch từ B v C ến AD c gi trị lớn nhất

2- Sử dụng quan hệ giữa ờng thẳng v ờng gấp khc

a-Kiến thức cần nhớ:

Với ba iểm A,B,C bất kỳ ta c : AC +CB ≥ AB

AC +CB = AB  C thuộc oạn thẳng AB

b-Các v dụ:

V dụ 5:Cho góc xOy v iểm A nằm trong   Xc ịnh iểm B thuộc tia

Ox, iểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC v tổ l nhỏ nhất

Giải:

Kẻ tia Om nằm ngoi gc xOy sao

yOm xOA Trn tia Om lấy iểm D

cho OD = OA Cc iểm D v A cố ịn

OD =OA, OC = OB , CODBO

 DOC = AOB  C

Do  AC +AB = AC

Mà AC +CD ≥ AD

AC +AB AD

Xảy ra ẳ ỉ khi C AD

Vậy min( =AD Khi  C l

giao iểm của y , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC

V dụ 6:Cho hnh chữ nhật ABCD v iểm E thuộc cạnh AD Xc ịnh vị tr cc

iểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ gic EFGH c chu vi nhỏ nhất

Giải :

h.11

O

x

A

B

C

D

m

y

A

E

D

C

G

H

I

K

M

h.12

A

E

D

C

G

H

I

K

M

h.12

A

E

D

C

G

H

I

K

M

h.13

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 5 

Gọi I ,K, L theo thứ tự l trung iểm của EF, EG , EH (h.12)

AEF vung tại A c AI l trung tuyến  AI =1/2EF

CGH vung tại C c CM l trung tuyến  CM =1/2GH

IK l ờng trung bnh của EFG  IK = 1/2FG

KM l ờng trung bnh của EGH  KM = 1/2EH

Do  : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại c : AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( ộ di AC khng ổi )

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng

Khi  ta c EH//AC,FG//AC, AEIEAIADB nn EF//DB , tng tự GH//DB .Suy ra tứ gic EFGH l hnh bnh hnh c cc cạnh song song với cc ờng cho

của hnh chữ nhật ABCD (h.13)

3- Sử dụng cc bất ẳng thức trong ờng trn

a-Kiến thức cần nhớ:

a1) AB l ờng knh , CD l d bấ  CD ≤ AB (h.14)

a2) OH,OK l cc khoảng cch t ến dy AB v CD :

AB ≥ CD  OH ≤ O

a3) AB,CD l cc cun ) : AB ≥ CD  AOB COD (h.16)

a4) AB,CD ủa (O) : AB ≥ CD  AB CD (h.17)

b-Cc v d

V dụ 7: Cho hai ờng trn (O) v (O’) cắt nhau ở A v B một ct tuyến chung

bất kỳ CBD (B nằm giữa C v D) cắt cc ờng trn (O) v (O’) tại C v D Xc

ịnh vị tr của ct tuyến CBD ể ACD c chu vi lớn nhất

Giải:

s C =1

2sAmB ; s D =

1

2s AnB

 số o cc gc ACD khng ổi

 ACD c chu vi lớn nhất khi một

cạnh của n lớn nhất , chẳng hạn AC l lớn

nhất

AC l dy của ờng trn (O) , do  AC

lớn nhất khi AC l ờng knh của ờng

C

C

D

C

D

D

A

B

A

B

C

H

K

h.18

A

B

C

D

D’ C’

n m

trn (O), khi  AD l ờng knh của ờng trn (O’) Ct tuyến CBD ở vị tr C’BD’ vung gc với dy chung AB

V dụ 8: Cho ờng trn (O) v một iểm P nằm trong ờng trn Xc ịnh dy

AB i qua P sao cho OAB c gi trị lớn nhất

Giải:

Xt tam gic cn OAB , gc ở y OAB lớn nhất nếu

gc ở ỉnh AOB nhỏ nhất

1 AOB

2

 s AB

Góc AOB nhỏ nhất  CungAB nhỏ nhất  dây

AB nhỏ nhất  Khoảng cch ến tm OH lớn nhất

Ta c OH ≤ OP

OH =OP  H ≡ P nn max OH = OP  AB  OP

Suy ra dy AB phải xc ịnh l dy A’B’ vung gc

với OP tại P

4- Sử dụng bất ẳng thức về ly thừa bậc h

a-Kiến thức cần nhớ:

Cc bất ẳng thức về ly thừa bậc hai ợc g i dạng :

A2≥ 0 ; A2 ≤ 0

Do  với m l hằng số , ta c :

f =A2 + m ≥ m ; min f = m với A

f =  A2 + m ≤ m ; max f = m ới 0

b-Cc v dụ:

V dụ 9: Cho hnh v c cạnh bằng 4cm

Trn cc cạnh AB, BC CD eo thứ tự cc iểm E,

F, G, H sao ch AE = D Tnh ộ di AE sao

Giải:

AHE = BE C G = DGH

 HE = EF = FG = GH , HEF = 900

 HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi

HE nhỏ nhất

ặt AE = x th HA = EB = 4-x

HAE vung tại A nn :

HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4  x)2 = 2x2 8x +16 = 2(x  2)2 +8 ≥ 8

HE = 8 =2 2  x = 2

Chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm , khi  AE = 2 cm

V dụ 10: Cho tam gic vung ABC c ộ di cc cạnh gc vung AB = 6 cm,

AC = 8cm.M l iểm di chuyển trn cạnh huyền BC.Gọi D v E l chn cc ờng vung gc kẻ từ M ến AB v AC Tnh diện tch lớn nhất của tứ gic ADME

O

P

H

B’

h.19

)

H

C

D

E

F

G

4-x

h.20

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 7 

Giải:

ADME là hình chữ nhật

ặt AD = x th ME = x

ME //AB  EM CE x CE CE 4x

AB CA 6  8   3

 AE = 8 4

3x

Ta có : SADME = AD AE = x ( 8 4

3x ) = 8x 

4

3x

2

= 4

3(x  3)

2

+12 ≤ 12

SADME = 12 cm2  x =3

Diện tch lớn nhất của tứ gic ADME bằng 12 cm2 ,khi  rung iểm của

AB , M l trung iểm của BC v E l trung iểm của AC

5- Sử dụng bất ẳng thức C-si

a-Kiến thức cần nhớ:

Bất ẳng thức C-si :Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có xy

Bất ẳng thức C-si thờng ợc sử i cc dạng sau :

+ Dạng 1: 2 2 x y2

x y    Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y

+ Dạng 2: x y2

xy



 2

4

xy 

  ;

 

2

2

x y





Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y

+ Dạng 3:Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x +y khng ổi th xy lớn nhất khi v chỉ khi x = y

+ Dạng4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không ổi th x+y nhỏ nhất khi v chỉ khi x = y

b-Cc v dụ:

V dụ 11: Cho oạn thẳng AB, iểm M di chuyển trn oạn thẳng ấy Vẽ cc

ờng trn c ờng knh MA v MB

Xc ịnh vị tr của iểm M ể tổng

diện tch của hai hnh trn c gi trị

nhỏ nhất

Giải :

ặt MA =x , MB = y

C

h.21

A

B

D

x

8- 4

3x

E

M

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 8 

Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)

Gọi S v S’ theo thứ tự l diện tch của hai hnh trn c ờng knh l MA v MB

Ta có :

S +S’ =

    

    = 

4



Ta c bất ẳng thức : 2 2 x y2

2



S +S’ x y2

8



2 AB 8

 Dấu ẳng thức xảy ra khi v chỉ khi x = y

Do  min (S+S’) =

2 AB 8

 Khi  M l trung iểm củ A

V dụ 12: Cho iểm M nằm trn oạn thẳng AB .Vẽ pha của AB cc tia

Ax v By vung gc với AB Qua M c hai ờng ẳ ay ổi lun vung gc với nhau v cắt Ax, By theo thứ tự tại C v D Xc của cc iểm C,D sao cho tam gic MCD c diện tch nhỏ nhất

Giải :

Ta có : SMCD = 1

2MC.MD

ặt MA = a , MB = b

AMCBDM

MC = a

cos , MD = s

SMCD = 1

2

Do a,b l n SMCD nhỏ nhất  2sin.cos lớn nhất

Theo bất ẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có :

2sin.cos  sin2 +cos2 = 1 nên SMCD ≥ ab

SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450

 AMC và BMD vuông cân

Vậy min SMCD = ab Khi  cc iểm C,D ợc xc ịnh trên tia Ax ; By sao cho

AC = AM , BD = BM

V dụ 13: Cho ABC , iểm M di ộng trn cạnh BC Qua M kẻ cc ờng thẳng song song với AC v với AB , chng cắt AB v AC theo thứ tự ở D v E.Xc

ịnh vị tr của iểm M sao cho hnh bnh hnh ADME c diện tch lớn nhất

Giải :

M

C

x

y

D

(



h.23

A

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 9 

SADME lớn nhất  ADME

ABC

S

S lớn nhất

Kẻ BK  AC cắt MD ở H

SADME = MD HK

SABC = 1

2 AC BK

ADME

ABC

ặt MB = x , MC = y ,

MD//AC ta có : MD BM x

AC  BC  xy ;

BK  BC  xy Theo bất ẳng thức

 2

4

x y

 ADME

ABC

Dấu ẳng thức xảy ra khi x = y

Vậy maxSADME =1

2 SABC khi  M l trun BC

V dụ 14: Cho  ABC vuông cân c cạnh = a Gọi D l trung iểm của AB iểm E di chuyển trn cạnh AC theo thứ tự l chn cc ờng vung gc kẻ từ D, E ến BC Tnh diện nhất của hnh thang DEKH Khi  hnh thang trở thnh hnh g ?

Giải:

Ta có :

2SDEKH = (DH +EK).HK KC ) HK

M (BH + KC) +HK ng ổi

Nên (BH KC) H t BH + KC) = HK = a

2

Do  :

max SDEKH =

2 a

2 2 2  8 Khi  ờng cao HK = a

2 suy ra :

KC = BC BH –HK = a  a

2 

a

2 =

a 4

Do  DH = HB = a

4 , EK = KC =

a

4 Hnh thang DEKH l hnh chữ nhật , E l trung

iểm của AC

A

D

B

H

K

C

E

h.25

6- Sử dụng tỉ số lợng gic

a-Kiến thức cần nhớ:

Hệ thức giữa cạnh v gc trong tam gic vung

+ b = a.sinB = a.cosC

+ b = c.tgB = c.cotgC

b-Cc v dụ:

V dụ 15: Chứng minh rằng trong cc tam gic cn c cng diện tch tam gic c

cạnh y nhỏ hnlà tam gic c gc ở ỉnh nhỏ hn

Giải:

Xt cc tam gic ABC cn tại A c cng

diện tch S Kẻ ờng cao AH ặt BAC = 

AHC vung tại H, ta c :

HAC

2



 ,

AH = HC cotg

2

 =1

2BC.cotg2



Do  : S = 1

2BC.AH =

1

2BC.

1

2

cotg 2



 BC = 4S 2 S.t g

2 cot g

2







Do S khng ổi nn :

BC nhỏ nhất  tg

2

 nhỏ nhất   nhỏ nhất  BAC nhỏ nhất

V dụ 16: hật ABCD Trn cc cạnh BC,CD lần lợt lấy cc iểm K,M sao cho B = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tm tỉ số AB : BC ể số o góc KAM lớn nhất

( Cho cng thức biến ổi tg( x +y )= t gx t gy

1 t gx.t gy



Giải:

ặt BAK  , DAMx  ( x + y < 90y 0 )

KAMlớn nhất  BAK + DAM nhỏ nhất

 x + y nhỏ nhất  tan (x + y) nhỏ nhất

Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)

tg x = BK BK BC 4m

AB BC AB 5

A

B

C

a

c

b

h.26

h.27

A

C

K

x

y

h.28