Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 9 nguyễn trung kiên

http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,..CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài toán

Trang 1

http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác

vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường

hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , ta có:

h c

Trang 2

http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề,

sách tham khảo,…file word

Do đó AB 3.3 9 cm ; 3.4 12

AB

Trang 3

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC 2a, cạnh bên bằng

AC b Áp dụng định lý Pitago trong tam

giác vuông AKB ta có:

Trang 4

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a

b) Chứng minh: a2 b2 c2 4 3S

Giải:

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

,

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

A

Trang 5

2

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví dụ 4 Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK; H là trực tâm của tam

giác Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB 900 S S S theo thứ , ,1 2

tự là diện tích các tam giác AMB ABC và ABH Chứng minh rằng ,

A

Trang 6

http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word

(cùng phụ với ABC) Suy ra AK HK

Trang 7

Kẻ CH AB Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có A D H 900, suy ra AH CD 30cm CH; AD 10 3 cm

Tam giác ACB vuông tại C , ta có: 2

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm2

Tỉ số lượng giác của góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

ta có: sin cos ;cos sin ; tan cot ;cot tan

Nếu hai góc nhọn và có sin sin hoặc cos cos thì

α Cạnh đối Cạnh huyền

Cạnh kề CB

A

Trang 8

A

Trang 9

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại

lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính

cos , tan , cot Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin 5

13 để tính sin2 rồi tính cos từ sin2 cos2 1 Sau đó ta tính tan và cot qua sin và cos

Ví dụ 2 Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại

AD

BDCD (1) HBD CAD (cùng phụ với ACB); HDB ADC 900

B

A

Trang 10

HD

AD , suy ra AD 3HD Thay vào (3) ta

được: tan tanB C 3HD 3

25 cos 35 cos 12 0 5 cos 5 cos 4 3 5 cos 4 0

5 cos 4 5 cos 3 0 Suy ra 4

cos

5 hoặc

3cos

Trang 11

sin

5,

4cos

1 Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc

a) Kẻ đường cao AH

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

Trang 12

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC 45 ,0 ACB 600 bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R

Giải:

Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam

giác ABClà tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam

giác vuông bằng cách Dựng các đường

thẳng qua C B, lần lượt vuông góc với

,

AC AB Gọi D là giao điểm của hai đường

thẳng trên Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

vuông và 4 điểm , , ,A B C D cùng nằm trên đường tròn đường kính

Trang 13

H BC.Tức là: BC BH CH Tam giác AHB vuông góc tại H nên

Trang 14

b) Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:

+ sin2 2sin cos

sin

2

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M là trung điểm của

A

Trang 15

2sin 2 sin

2

AMH

AM a a

Từ đó ta suy ra: sin2 2sin cos

*) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có:

A

Trang 16

A bc

c b A

b c

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:

cos2 2 cos 1 1 2 sin

Thật vậy xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M là trung điểm của

BC, dựng đường cao AH Đặt ACB AMB 2

thức đường phân giác ta có:

Trang 17

2

2 cos

42

bc AD

hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:

‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:

C B

A

Trang 18

sin 75

4

Giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A

với BC 2a (a là một độ dài tùy ý)

, C 150, suy ra B 750

Gọi I là trung điểm của BC, ta có

IA IB IC a Vì AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân

IAC nên AIB 2C 300 Kẻ AH BC thì

Trang 19

Trang 20

+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp

+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó + Trong tam giác thường:

Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó

Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác

đó

PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm A ,A , ,A1 2 n cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm A ,A , ,A1 2 n cách đều điểm O cho trước

Ví dụ 1) Cho tam giác đều ABCcó cạnh bằng a AM,BN,CP là các đường trung tuyến Chứng minh 4 điểm B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

Trang 21

Giải:

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao Suy ra AM,BN,CP lần lượt vuông góc với BC,AC,AB

Từ đó ta có các tam giác BPC, BNC là tam giác vuông

Với BC là cạnh huyền, suy ra MP MN MB MC   

Hay: Các điểm B,P,N,C cùng thuộc đường tròn

Đường kính BC a  , tâm đường tròn là

Trung điểm Mcủa BC

Ví dụ 2) Cho tứ giác ABCD có   0

C D 90 Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC,CA Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn Tìm tâm đường tròn đó

B

A

T

Trang 22

Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm Tthì tam giác TCD vuông tại T + Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM / /AD

+ MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ / /BC Mặt khác

P N

O

M K G

C B

A

Trang 23

Dưng các đường trung tuyến MN, BPcủa tam giác ABM cắt nhau tại trọng

tâm G.Do MN / /BC  MN  AO Gọi Klà giao điểm của BM và AO thì

K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GK / /AC

Mặt khác ta có OMAC suy ra GKOM hay K là trực tâm của tam giác

OMG MK OG Như vậy tam giác BQG vuông tại Q Do đó tâm vòng

tròn ngoại tiếp tam giác GQB là trung điểm I của BG

Ví dụ 4) Cho hình thang vuông ABCD có A B 90   0.BC 2AD 2a,   Gọi

H là hình chiếu vuông góc của B lên AC

M là trung điểm của HC Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác BDM

Giải:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác

HBC suy ra MN  AB, mặt khác BH  AM  N là trực tâm của tam giác

ABM suy ra ANBM

Do MN / / 1BC  MN / /  AD

2 nên ADMN là hình bình hành suy ra

AN / /DM Từ đó ta có: DMBM hay tam giác DBM vuông tại M nên

tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểmO của BD

N

M H

D

C B

A

Trang 24

trên một đường tròn

Gợi ý: BCN 90  0, hãy chứng minh BMN 90  0

Ví dụ 5).Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Gọi M,N là trung điểm của

CD, DE AM cắt BN tại I Chứng minh rằng các điểm M,I,O,N,Dnằm trên một đường tròn

Giải:

H1

D

K1KN

OJE

BA

O

IH

NM

D

CB

A

Do ABCDEF là lục giác đều nên OM  CD,ON  DE  M,N,C,D nằm trên đường tròn đường kính OD Vì tam giác  OBN   OAM nên điểm O cách đều AM, BN suy ra OI là phân giác trong của góc AIN

Trang 25

Do OK OH DH1DK1 suy ra D cách đều AM, BN hay ID là phân giác ngoài của AIN  OID 90  0 Vậy 5 điểm M,I,O,N, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính OD

Ví dụ 6) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm BC,N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho AN 1AC

4 Chứng minh 4 điểm M,N,C, D

nằm trên cùng một đường tròn

Giải:

Ta thấy tứ giác MCDN có MCD 90  0 nên để chứng minh 4 điểm

M,N,C, D cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh  0

NME DNF,MNE NDF MNE DNF 90

Hay tam giác MND vuông tại N Suy ra 4 điểm M,N,C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính MD

Cách 2: Gọi K là trung điểm của ID với I là giao điểm của hai đường chéo Dễ thấy MCKN là hình bình hành nên suy ra CK / /MN Mặt khác do

M

D

C B

A

Trang 26

Ví dụ 7) Trong tam giác ABC gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của

AB,BC,CA A , B ,C1 1 1 lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh A, B,C đến các cạnh đối diện A , B ,C2 2 2 là trung điểm của HA,HB,HC Khi đó 9 điểm

nhật nên 9 điểm M,N,P,A , B ,C ,A , B ,C1 1 1 2 2 2 cùng nằm trên một đường tròn

có tâm là trung điểm của các đường chéo của 3 hình chữ nhật trên Từ đó ta suy ra tâm đường tròn Ơ le là trung điểm Q của HI

Ví dụ 8) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)

Trang 27

AD là đường kính của (O) M là trung điểm của BC,H là trực tâm của tam giác Gọi X, Y,Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên

HB,HC, BC Chứng minh 4 điểm X, Y,Z,M cùng thuộc một đường tròn

Giải:

Phân tích: M là trung điểm BCM cũng là trung điểm của HD (Bài toán quen thuộc) X, Y,Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên

HB,HC, BC kết hợp tính chất điểm M làm ta liên tưởng đến đường tròn Ơ

le của một tam giác: Từ những cơ sở đó ta có lời giải như sau:

+ Giả sử HB cắt DY tại I,HC cắt DX tại K, là trung điểm của IK

M

D

E O K

J

Z Y

X H

C B

A

I

Trang 28

KDI KHI HCD (chú ý HI / /CD) và CHD KID  (cùng phụ với góc

HDI) Từ đó suy ra  KID  CHD

+ Mặt khác CM, DJ là hai trung tuyến tương ứng của tam giác CHD và

KID, như vậy ta có  DIJ  CHM  JDI HCM  Từ đó suy ra DJ  BC tại

Z hay Z thuộc đường tròn đường kính MJ Theo bài toán ở ví dụ 6, đường

tròn đường kính MJ là đường tròn Ơ le của tam giác IHD Từ đó ta có:

X, Y,Z,Mđều cùng nằm trên đường tròn đường kính MJ Đó là điều phải

chứng minh

Ví dụ 9) Cho tam giác ABC có trực tâm H Lấy điểm M,N thuộc tia BC

sao cho MN BC  và Mnằm giữa B,C Gọi D,E lần lượt là hình chiếu

vuông góc của M,N lên AC,AB Chứng minh cácđiểm A, D,E,H cùng

M

D

K

C B

A

H

Trang 29

nên HK  HA hay H thuộc đường tròn đường tròn đường kính AK Dễ

thấy E,D (AK) nên cácđiểm A, D,E,H cùng thuộc một đường tròn

Ví dụ 10) Cho tam giác ABC P là điểm bất kỳ PA,PB,PC cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC tại A , B ,C1 1 1 Gọi A , B ,C2 2 2 là các điểm đối xứng

với A , B ,C1 1 1 qua trung điểm của BC,CA,AB Chứng minh rằng: A , B ,C2 2 2

và trực tâm Hcủa tam giác ABC cùng thuộc một đường tròn

Giải:

+ Gọi Glà trọng tâm của tam giác ABC,theo bài toán quen thuộc về đường tròn Ơ le thì G thuộc đoạn OH và OG 1OH

3 Gọi A , B ,C3 3 3 lần lượt là

trung điểm của BC,CA,AB Theo giả thiết A3 là trung điểm của A A1 2, vậy

G là trọng tâm của tam giác ABC và AA A1 2 Gọi A , B ,C4 4 4 lần lượt là

trung điểm của AA ,BB ,CC1 1 1 Vì G là trọng tâm của tam giác AA A1 2 nên

O

C B

A

Trang 30

IH OP ta có điều phái chứng minh

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1.Khi một đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) ta nói

đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Khi đó ta có những kết

quả quan trọng sau:

Trang 31

+ Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB MO  2  R 2 + Nếu Mnằm trong đoạn AB thì  2  2

MA.MB R MO Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: 2  2  AB2

4

2 Khi một đường thẳng  chỉ có một điểm chung Hvới đường tròn (O), ta

nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay  là tiếp tuyến của đường

tròn (O) Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O)

Như vậy nếu  là tiếp tuyến của (O) thì  vuông góc với bán kính đi qua

tiếp điểm

Ta có OH R 

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đến tâm O là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến

+Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi

qua các tiếp điểm

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp

điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó

OH

Trang 32

ΔH

O

4 Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác

5 Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh

kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác

Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc Bvà góc C

Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp

C A

A

Trang 33

Ví dụ 1) Cho hình thang vuông ABCD (A B 90 )   0 có O là trung điểm của AB và góc COD 90  0 Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

Giải:

Kéo dài OC cắt BD tại E vì COD 90  0 suy ra EOD 90  0 Xét tam giác

COD và EOD ta có OD chung

OC OA

ECD cân tại D Kẻ OHCD thì OBD OHDOH OB mà

Trang 34

Trên tia đối của BA ta lấy điểm E sao cho BE ND  Ta có

 BCE   DCN  CN CE  Theo giả thiết ta có:

Giải:

α

21

xD

H

CB

A

Trang 35

Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: B C    Vì

Ví dụ 4) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC)

đường cao AH Gọi E là điểm đối xứng với B qua H Đường tròn tâm O

đường kính ECcắt AC tại K Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Giải:

Vì tam giác EKC có một cạnh EC là đường kính của (O) nên EKC 90  0

Kẻ HI  AC  BA / /HI / /EK suy ra AI IK  từ đó ta có tam giác AHK cân tại H Do đó K1 B ( cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là BAH,IHK) Mặt khác ta cũng có: K2  C3 ( do tam giác KOC cân tại O) Mà

1

I K

O E

B A

Trang 36

Ví dụ 6) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r Giả sử

(I; r) tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CE lần lượt tại D,E,F Đặt

AB c,BC a,AC b,AD x,BE y,CF z

a) Hãy tính x, y,z theo a, b,c

b) Chứng minh S p.r (trong đó S là diện tích tam giác p là nữa chu vi tam giác, r là bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác

H D

E

B A

Trang 37

Lần lượt trừ từng vế phương trình (4) của hệ cho các

phương trình ta thu được:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Xét hai đường tròn (O; R),(O'; R')

A) Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

z

y

x

z y

A

Trang 38

+ Điều kiện R R' OO'  Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường

tròn Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A Qua A kẻ

một cát tuyến cắt (O) tại C, cắt đường tròn (O') tại D

a) Chứng minh OC / /O' D

b) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN, gọi P, Q lần lượt là các điểm đối

xứng với M,N qua OO' Chứng minh MNQP là hình thang cân và

YX

S

R

QP

K

NM

C

DA

Trang 39

a) Do hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại Anên A nằm trên

OO'.Ta có CAO DAO'  Lại có OCA OAD,O'AD O' DA   vì các tam giác  COA, DO'A  là tam giác cân Từ đó suy ra

OCA O' DA OC / /O' D

b) + Vì MP  OO',NQ  OO'  MP / /OO'  MNQP là hình thang Vì M

đối xứng với P qua OO', N đối xứng với Q qua OO' và O luôn đối xứng với O qua OO' nên OPM OMP 90   0 Mặt khác MPQ,PMN cùng phụ với các góc OPM OMP  nên MPQ PMN  suy ra MNQP là hình thang cân (Chú ý: Từ đây ta cũng suy ra PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn)

+ Kẻ tiếp tuyến chung qua A của hai đường tròn cắt MN,PQ tại R,S thì ta có: RM RA RN,SA SP SQ    suy ra MN PQ 2RS  Mặt khác RS cũng

là đường trung bình của hình thang nên MP NQ 2RS  hay

MP NQ MN PQ

c) Từ câu b ta có AR RM RN  nên tam giác MAN vuông tại A, từ đó suy ra NAK 90  0  KN là đường kính của (O'), hay N,O',K thẳng hàng

Trang 40

(O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC

a) Chứng minh BDCE là hình thoi

b) Gọi I là giao điểm của EC và (O') Chứng minh D,A,I thẳng hàng c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O')

Giải:

Vì BCvuông góc với đường thẳng DE nên DK KE,BK KC  (theo giả thiết) do đó tứ giác BDCE là hình bình hành, lại có BCDE nên là hình thoi

b) Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn  O1 có BA là đường kính nên

BDA vuông tại D Gọi I' là giao điểm của DA với CE thì  0

AI'C 90 (1) (vì so le trong với BDA) Lại có  AIC nội tiếp đường tròn  O 2 có AC là đường kính nên tam giác AIC vuông tại I, hay  0

AIC 90 (2)

Từ (1) và (2) suy ra I I'  Vậy D,A,I thẳng hàng

5

4 3

2 1

Định dạng
Số trang	460
Dung lượng	18,51 MB