Phương pháp toán tử

Phương pháp toán tử cho momen góc và cho dao động điều hòa

Phương pháp toán tử cho mô-men góc và

cho dao động điều hòa

Lý lê Ngày 9 tháng 9 năm 2009

Tóm tắt nội dung Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa

và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được xác định bằng cách giải phương trình vi phân Sau đây, chúng ta sẽ

sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi là phương pháp toán tử bậc thang Theo đó, các đặc trị được xác định chỉ cần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử.

1 Phương pháp toán tử bậc thang cho mô-men góc

Chúng ta đã dùng chữ cái L để chỉ mô-men góc orbital Sau đây, chúng ta

sẽ dùng chữ cái M để chỉ mô-men góc nói chung Có ba toán tử mô-men góc

là cMx, cMy, cMz Tính tất của chúng cũng giống như bLx, bLy, bLz mà chúng ta

đã biết Các mối liên hệ giao hoán của chúng như sau

[ cMx, cMy] = i~ cMz; [ cMy, cMz] = i~ cMx; [ cMz, cMx] = i~ cMy (1) Toán tử cM2 được xác định bởi

c

M2 = cMx2+ cMy2+ cMz2 (2) Chúng ta có

[ cM2, cMx] = [ cM2, cMy] = [ cM2, cMz] = 0 (3) Nhiệm vụ của chúng ta là sẽ xác định các đặc trị của cM2 và cMz dựa vào những mối liên hệ trên Trước hết, chúng ta định nghĩa hai toán tử mới là toán tử tăng cM+ và toán tử giảm cM− như sau

c

M+= cMx+ i cMy (4) c

M−= cMx− i cMy (5) c

M+ và cM− là những ví dụ về toán tử bậc thang (ladder operators) Sau đây, chúng ta khảo sát tính giao hoán của chúng với toán tử cMz

Ta có

c

M+Mc− = ( cMx+ i cMy)( cMx− i cMy)

= Mcx2+ i cMyMcx− i cMxMcy+ cMy2

= Mc2− cMz2+ i[ cMy, cMx] Vì

[ cMy, cMx] = −[ cMx, cMy] = −i~ cMz nên

c

M+Mc−= cM2− cMz2+ i[ cMy, cMx] = cM2− cMz2+ ~ cMz (6) Tương tự, ta tìm được

c

M−Mc+= cM2

− cMz2− ~ cMz (7)

Ta có

[ cM+, cMz] = [ cMx+ i cMy, cMz] = [ cMx, cMz] + i[ cMy, cMz]

với

[ cMx, cMz] = −[ cMz, cMx] = −i~ cMy

và

[ cMy, cMz] = i~ cMx Suy ra

[ cM+, cMz] = −i~ cMy− ~ cMx= −~( cMx+ i cMy) = −~ cM+ (8) Như vậy, chúng ta thấy

[ cM+, cMz] = cM+Mcz− cMzMc+ = −~ cM+ (9)

Do đó

c

M+Mcz = cMzMc+− ~ cM+ (10) Tương tự, ta tìm được

c

M−Mcz = cMzMc−+ ~ cM− (11) Gọi Y là những đặc hàm chung của cM2 và cMz, ta có

c

MzY = bY (12) c

M2Y = cY (13) với b và c là những đặc trị cần xác định Áp dụng toán tử cM+ lên (12), ta nhận được

c

M+MczY = b cM+Y (14)

với cM+Mcz= cMzMc+− ~ cM+, (14) trở thành

( cMzMc+− ~ cM+)Y = b cM+Y hay

c

Mz( cM+Y) = (b + ~)( cM+Y) (15) Phương trình trên có nghĩa là hàm ( cM+Y) là một đặc hàm của toán tử cMz với đặc trị là (b + ~) Tiếp tục, áp dụng toán tử cM+ lên (15) và sử dụng phương trình cM+Mcz = cMzMc+− ~ cM+, ta sẽ thu được

c

Mz( cM+2Y) = (b + 2~)( cM+2Y) (16)

Cứ tiếp tục như trên nhiều lần với toán tử tăng cM+ ta sẽ thu được

c

Mz( cM+kY) = (b + k~)( cM+kY) (k = 0, 1, 2, 3 ) (17) Tương tự, nếu ta áp dụng toán tử giảm cM− lên (12) và lưu ý

c

M−Mcz = cMzMc−+ ~ cM−

ta sẽ thu được

c

Mz( cM−Y) = (b − ~)( cM−Y) (18) c

Mz( cM−kY) = (b − k~)( cM−kY) (19) Tóm lại, bằng cách sử dụng các toán tử tăng và toán tử giảm lên đặc hàm với đặc trị b, chúng ta tạo ra từng nấc các giá trị đặc trị khác nhau là

b± k~

b− ~ b

b+ ~

b+ 2~

b− 2~

Như vậy, những hàm cM±kY là những đặc hàm của cMz với những đặc trị

là b ± k~:

c

Mz( cM±kY) = (b ± k~)( cM±kY) (20) Sau đây chúng ta sẽ chứng minh những hàm này cũng là những đặc hàm của cM2 với cùng những đặc trị là c; nghĩa là ta chứng minh

c

M2( cM±kY) = c( cM±kY) (21)

Ta thấy cM giao hoán với cM+ và cM− Thật vậy

[ cM2, cM±] = [ cM2, cMx± i cMy] = [ cM2, cMx] ± i[ cM2, cMy] = 0 (22) Tương tự, ta có

[ cM2, cM±2] = [ cM2, cM±] cM±+ cM±[ cM2, cM±] = 0 (23)

Do đó

[ cM2, cM±k] = 0 hay Mc2Mck

± = cM±kMc2 (24)

Từ (13), ta có

c

M±kMc2Y = cM±kcY = c cM±kY

Áp dụng (24), ta được

c

M2( cM±kY) = c( cM±kY) (25) Đây là điều chúng ta cần chứng minh

Đặt Yk= cMk

±Y và bk= b ± k~, từ (20) ta có

c

MzYk = bkYk (26) suy ra

c

MzMczYk= cMzbkYk= bkMczYk hay

c

Mz2Yk= b2kYk (27) Lấy (25) trừ (27), ta được

c

M2( cM±kY) − cMz2Yk= c( cM±kY) − b2

Thế cM±kY = Yk, ta có

c

M2Yk− cMz2Yk= cYk− b2

hay

( cMx2+ cMy2)Yk= (c − b2k)Yk (30) Toán tử cM2

x+ cM2

y tương ứng với một thuộc tính vật lí không âm, do đó

nó sẽ có những đặc trị cũng không âm Từ đó, ta suy ra

c− b2k ≥ 0 hay √c≥ |bk|

Vì vậy

−√c≤ |bk| ≤√c (31) (k = 0, ±1, ±2, ±3, )

Vì c là hằng số, trong khi đó k thì thay đổi, nên các đặc trị bk sẽ bị chặn trên và chặn dưới Chúng ta đặt bmin và bmax là những giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của bk Ymin và Ymax là những đặc hàm tương ứng

c

MzYmin= bminYmin (32) c

MzYmax = bmaxYmax (33)

Từ (33), ta có

c

M+MczYmax = bmaxMc+Ymax (34) hay

c

Mz( cM+Ymax) = (bmax+ ~)( cM+Ymax) (35) (Vì cM+Mcz = cMzMc+− ~ cM+)

Phương trình (35) cho ta thấy cM+Ymax là một đặc hàm của cMz với đặc trị

là (bmax+ ~) Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng bmaxlà đặc trị lớn nhất của cMz Để loại bỏ mâu thuẫn này và để (35) đúng thì hàm cM+Ymax phải

bị triệt tiêu; nghĩa là

c

M+Ymax= 0 (36)

Áp dụng toán tử giảm lên (36) và kết hợp với (7), ta được

c

M−Mc+Ymax= 0 ( cM2− cMz2− ~ cMz)Ymax= 0 (c − b2

max− ~bmax)Ymax= 0 (c − b2

max− ~bmax) = 0 Như vậy

c= b2

Lý luận tương tự, ta có

c

M−Ymin= 0 (38)

c= b2

Từ (39) và (37), ta được

b2max+ ~bmax+ ~bmin− b2

Giải phương trình trên cho ta kết quả

bmax = −bmin; bmax= bmin− ~ (41) Chúng ta loại nghiệm thứ hai vì bmax không thể nhỏ hơn bmin Vậy nên

bmin= −bmax (42)

Mặt khác vì các giá trị bk khác nhau từng nấc với giá trị là ~, nên

bmax− bmin = n~ (n = 0, 1, 2, ) (43) Thế (42) vào (43), ta được

bmax = 1

2n~= j~ (j =

n

2 = 0,

1

2,1,

3

2,2, ) (44)

Ta có

bmin = −bmax= −j~ (45) Như vậy, các đặc trị b của toán tử cMz nhận những giá trị từ −j~ đến j~ như sau

b= −j~, (−j + 1)~, (−j + 2)~, , (j − 2)~, (j − 1)~, j~ (46)

(j = 0,1

2,1,

3

2,2, )

và từ (37), ta tìm được các đặc trị c của toán tử cM2

c= j(j + 1)~2 (j = 0,1

2,1,

3

2,2, ) (47) Tóm lại, chỉ bằng cách sử dụng mối liên hệ hoán vị giữa các toán tử, chúng ta đã tìm được các đặc trị của cM2 và của cMz

c

M2Y = j(j + 1)~2Y (j = 0,1

2,1,

3

2,2, ) (48) c

MzY = mj~Y (mj = −j, −j + 1, , j − 1, j) (49) Bên cạnh những giá trị j nguyên, chúng ta còn thấy xuất hiện những giá trị

j bán nguyên Điều này được dự đoán là có thể có thêm một loại mô-men góc khác nữa bên cạnh mô-men góc orbital Thật vậy, trong những phần sau, chúng ta sẽ thấy mô-men góc spin có thể nhận những giá trị nguyên cũng như bán nguyên

2 Phương pháp toán tử bậc thang cho dao động điều hòa

Toán tử năng lượng cho dao động điều hòa trong không gian một chiều được viết như sau

b

H = −~

2

2m

d2

dx2 +1

2kx

2

= 1 2m(i

2

~2 d2

dx2 + m2ω2x2) (50) với ω2 = k

m

Các toán tử tăng bA+ và toán tử giảm bA− trong trường hợp này được định nghĩa như sau

b

A±= √1

2m



− i~dxd ± imωx= √1

2m

 b

px± imωx (51)

Ta có

b

A+Ab− = √1

2m

 b

px+ imωx 1

√ 2m

 b

px− imωx

= 1 2m(bpx+ imωx)(bpx− imωx)

= 1 2m(bp2

x− imωbpxx+ imωxbpx+ m2ω2x2

)

= 1 2m(bp2x+ m2ω2x2− imωbpxx+ imωxbpx)

= 1 2m

 b

p2x+ m2ω2x2+ imω(xbpx− bpxx) với

1

2m(bp2x+ m2

ω2x2) = bH; (xbpx− bpxx) = [x, bpx] = i~

Ta suy ra

b

A+Ab− = bH− 12~ω = bH−12hν (52) hay

b

H = bA+Ab−+ 1

Trong đó

ν = ω 2π Tương tự, ta có

b

A−Ab+ = bH+ 1

2~ω = bH+

1

2hν (54) hay

b

H = bA−Ab+− 1

Từ (52) và (54) ta được

[ bA+, bA−] = bA+Ab−− bA−Ab−= ( bH−12hν) − ( bH−12hν) = −hν (56) Mặt khác, ta có

[ bA+, bH] = [ bA+,( bA+Ab−+1

2hν)]

[ bA+,( bA+Ab−+1

2hν)]

Áp dụng các công thức

[ bA, bB+ bC] = [ bA, bB] + [ bA, bC]

[ bA, bB bC] = [ bA, bB] bC+ bB[ bA, bC]

Ta có

[ bA+,( bA+Ab−+1

2hν)] = [ bA+, bA+Ab−] + [ bA+,1

2hν]

= [ bA+, bA+] bA−+ bA+[ bA+, bA−] + 0

= 0 + bA+[ bA+, bA−] với [ bA+, bA−] = −hν, ta thu được

[ bA+, bH] = −hν bA+ (57) Tương tự, ta có

[ bA−, bH] = hν bA− (58) Chúng ta có phương trình Schr¨odinger

b

Áp dụng bA+ lên bHψ, ta được

b

A+( bHψ) = bA+Eψ= E bA+ψ (60)

Từ (57) ta có

b

A+Hb − bH bA+ = −hν bA+ ⇒ bA+Hb = bH bA+− hν bA+

Do đó, (60) trở thành

( bH bA+− hν bA+)ψ = E bA+ψ

⇒ bH( bA+ψ) = (E + hν)( bA+ψ) (61) Phương trình trên cho thấy bA+ψcũng là đặc hàm của bH với đặc trị E + hν nếu ψ là đặc hàm của bH Điểm khác biệt là năng lượng tăng lên một bậc bằng +hν so với năng lượng ở trạng thái ψ

Tương tự, ta có

b H( bA−ψ) = (E − hν)( bA−ψ) (62) Như vậy, bA−ψcũng là đặc hàm của bH với đặc trị E − hν So với năng lượng

ở trạng thái ψ, năng lượng ở trạng thái này giảm một bậc là −hν Bởi vì

đặc trị năng lượng của toán tử Hamiltonian chỉ nhận giá trị dương nên sự giảm này phải được dừng lại tại một điểm cụ thể nào đó Điểm này được gọi là năng lượng điểm không, tức năng lượng thấp nhất của hệ Tại đó, sự tác dụng của toán tử giảm bA− không làm cho năng lượng của hệ giảm thêm được nữa

b

A−ψ0 = 0 (63)

Ta có phương trình Schr¨odinger cho trạng thái ψ0

b

Hψ0= E0ψ0 (64) với

b

H = bA+Ab−+ 1

2hν

Do đó

( bA+Ab−+ 1

2hν)ψ0 = E0ψ0 b

A+Ab−ψ0+1

2hνψ0 = E0ψ0

Vì bA−ψ0= 0 nên

1

2hνψ0 = E0ψ0 Suy ra

E0 = 1

Mức năng lượng tiếp theo E1 cao hơn năng lượng điểm không E0 một bậc là hν

E1= E0+ hν = (1 +1

2)hν Tương tự, mức năng lượng E2 cao hơn mức năng lượng E1 một bậc là hν

E2= E1+ hν = (2 +1

2)hν Một cách tổng quát, năng lượng của dao động điều hòa được tính bởi

En= (n +1

2)hν (n = 0, 1, 2, ) (66) Như vậy, dựa vào sự hoán vị của các toán tử, chúng ta cũng xác định được các đặc trị của dao động điều hòa Kết quả hoàn toàn phù hợp với việc giải phương trình Schr¨odinger

Bài tập

1 Toán tử tăng và toán tử giảm của mô-men góc được định nghĩa như sau

c

M+= cMx+ i cMy c

M−= cMx− i cMy

Chứng minh

c

M−Mc+= cM2− cMz2− ~ cMz

2 Toán tử tăng và toán tử giảm của dao động điều hòa được định nghĩa như sau

b

A±= √1

2m

 b

px± imωx Chứng minh

b

A−Ab+= bH+1

2~ω

3 Cho biết các đặc trị được phép của cM2 và của cMz Nếu số lượng tử j = 1

2 thì số lượng tử mj nhận những giá trị nào? Gọi Y là đặc hàm chung của c

M2 và cMz Chứng minh

c

M±kY (k = 0, 1, 2, ) cũng là những đặc hàm chung cM2 và cMz

4 Thực hiện phép giao hoán sau

[ bA−,( bA−Ab+−12hν)]