sử dụng giản đồ véc tơ quay để giải bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ khác tần

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Chất điểm thực hiện dao động điều hòa có thể biểu diễn bằng véc tơ quay, việc giải bài toán dao động điều hòa bằng véc tơ quay trở nên

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, hình thức thi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn vẫn được sử dụng trong kì thi THPT quốc gia, trong đó có môn Vật lí Để đạt được kết quả cao trong kì thi này, học sinh không chỉ nắm chắc kiến thức môn học mà phải biết vận dụng các phương pháp giải nhanh, linh hoạt

Bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa là một bài toán phổ biến trong phần dao động cơ, khi gặp bài toán này nếu hai chất điểm dao động cùng tần số, học sinh thường sử dụng giản đồ véc tơ quay và sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi để hoàn thành, nhưng nếu hai dao động khác tần số thì không thể dùng máy tính để hỗ trợ, còn việc biểu diễn bằng giản đồ véc tơ cũng rất khó khăn Nếu sử dụng phương pháp đại số thì phải sử dụng các phép tính cồng kềnh, phức tạp mất nhiều thời gian, không phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Nhận thấy đa số những bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa khác tần số đã xuất hiện trong đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo đều có cùng biên độ

Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Sử dụng giản đồ véc tơ quay để giải bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ, khác tần số, giúp học sinh lớp 12 đạt kết quả cao hơn trong kì thi THPT quốc gia môn Vật lí” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học 2017-2018 với mong

muốn được chia sẻ cùng đồng nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu khả năng giải nhanh và hiệu quả của học sinh lớp 12 THPT khi vận dụng giản đồ véc tơ quay để giải bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ, khác tần số so với phương pháp giải truyền thống,

từ đó tiếp tục áp dụng rộng rãi hơn cho học sinh các khóa sau, giúp các em đạt kết quả cao hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu khả năng vận dụng phương pháp sử dụng giản đồ véc tơ quay vào giải bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động cùng biên độ, khác tần số của các em học sinh lớp 12C3 trường THPT Triệu Sơn 3, từ đó thấy được sự hiệu quả về mặt thời gian cũng như chất lượng khi áp dụng phương pháp đã nêu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp xây dựng mô hình giản đồ véc tơ quay

Xây dựng mô hình giản đồ véc tơ rút gọn sau đó xây dựng mô hình véc tơ phối hợp thông qua các bài toán mẫu, các bài toán mẫu đa dạng, sắp xếp từ dễ đến khó

1.4.2 Phương pháp chia nhóm đối tượng

Chia học sinh trong lớp 12C3 Trường THPT Triệu Sơn 3 thành 2 nhóm có trình độ tương đương nhau về bộ môn vật lí (dựa vào kết quả khảo sát lần 1 do nhà trường tổ chức)

- Nhóm thứ nhất là nhóm thực nghiệm, các em được học cách giải bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ, khác tần số bằng

mô hình véc tơ quay

- Nhóm thứ hai là nhóm đối chứng, các em được học cách giải bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ, khác tần số bằng phương pháp thông thường là sử dụng các phương trình đại số

1.4.3 Phương pháp thu thập và xử lí dữ liệu

Sau quá trình học tập và ôn luyện, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát, bài kiểm tra gồm 5 câu trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn thuộc chủ đề nghiên cứu, các em làm bài trong 10 phút, sau đó phân tích kết quả đạt được để thấy được tính hiệu quả của vấn đề nghiên cứu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Chất điểm thực hiện dao động điều hòa có thể biểu diễn bằng véc tơ quay, việc giải bài toán dao động điều hòa bằng véc tơ quay trở nên thuận tiện hơn vì véc tơ quay đều, còn chất điểm chuyển động không đều, nó thay đổi cả về hướng chuyển động lẫn tốc độ chuyển động

Và trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm“Biểu diễn đồng thời các đại lượng

li độ, vận tốc và gia tốc trên cùng một giản đồ véc tơ để giải bài toán về dao động điều hòa” tôi viết năm 2012 đã được Hội đồng khoa học Ngành xếp loại B

có trình bày cách biểu diễn giản đồ vec tơ rút gọn như sau (Xem H.1)

Khi đó điểm cuối của véc tơ chuyển động trên vòng tròn và những vị trí đánh dấu là những vị trí đặc biệt mà học sinh cần nhớ (điều này rất dễ)

Và ở đây tối giản hơn chút nữa ta chỉ giữ lại những vạch gọi là “vạch cơ sở” và bỏ đi những “nút tròn” Khoảng cách giữa hai “vạch cơ sở” liên tiếp gọi

là “góc đơn vị”, vậy mỗi góc đơn vị ứng với 1/12 chu kì dao động (Xem hình

2).









/ 6



/ 4



/ 3



/ 2



2 / 3 

3 / 4 

5 / 6 

/ 6



 / 4



 / 3





5 / 6 



3 / 4 



2 / 3 



2

A

2 2

A

2

A

2

A

2 2

A



3

2

A



0

A

/ 2





x

Hình 1: Các vị trí đặc biệt của vec tơ thể hiện giá trị của li độ x theo góc tạo bởi vec tơ

và trục chuẩn và giản đồ véc tơ đã được rút ngắn.

Hình 2: Giản đồ véc tơ rút gọn sử dụng

trong bài toán gặp nhau của hai chất điểm

dao động điều hòa : “Vạch cơ sở” và “góc

đơn vị”

Vạch cơ sở

Góc đơn vị

Hai chất điểm thực hiện hai dao động điều hòa, thì vị trí của mỗi chất điểm có sự tuần hoàn nên dẫn đến vị trí tương đối của chúng cũng có sự tuần hoàn Vậy nên để kiểm tra kiến thức của học sinh về dao động điều hòa, ở mức độ vận dụng với cấp độ cao thì bài toán gặp nhau hai chất dao động điều hòa được sử dụng

Để các chất điểm thực hiện được dao động bình thường thì chúng không được va chạm vào nhau trong quá trình chuyển động, trong đề thi hiện nay, người ta sử dụng 2 điểm sáng chuyển động trên cùng một trục tọa độ, một điểm màu xanh, một điểm màu đỏ Vì các điểm sáng dao động điều hòa nên ta có thể biểu diễn dao động của mỗi điểm bằng giản đồ véc tơ quay, đặc biệt chúng dao động cùng biên độ nên các điểm cuối của véc tơ chuyển động trên cùng một quỹ đạo tròn, tức chỉ cần vẽ một giản đồ véc tơ

Nếu hai điểm sáng đó dao động cùng tần số thì hai véc tơ biểu diễn chúng cũng quay cùng một tốc độ góc, bài toán này đã được sự hỗ trợ đắc lực của máy tính bỏ túi nên học sinh không mấy khó khăn trong việc giải nó

Nếu hai điểm sáng dao động với hai tần số góc khác nhau thì véc tơ biểu diễn chúng quay với tốc độ góc khác nhau, ở đây giả sử điểm sáng đỏ (biểu diễn bằng véc tơ màu đỏ ) có tần số góc bằng 2 lần điểm sáng màu xanh (biểu diễn bằng véc tơ màu xanh ) Như vậy véc tơ màu đỏ quay nhanh hơn véc tơ màu xanh 2 lần Véc tơ đỏ thực hiện được 2 “góc đơn vị” thì véc tơ xanh chỉ thực hiện được 1 “góc đơn vị” Khi hai véc tơ đối nhau qua trục chuẩn hoặc trùng

nhau thì các chất điểm gặp nhau (Xem hình 3).

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi giải những bài toán về gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa khác tần số, ngay cả khi cùng biên độ, phần lớn giáo viên đều hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đại số cùng phép biến đổi lượng giác để hoàn thành,

X0

 Đ0

Đ1

X0

 Đ0



X1



Hình 3: Biểu diễn sự di chuyển của các véc tơ

Vị trí ban đầu của các véc tơ Véc tơ đỏ di chuyển 2 “góc đơn vị”

Véc tơ xanh di chuyển 1 “góc đơn vị”

phải dùng nhiều phép toán rất cồng kềnh, mất nhiều thời gian dẫn đến nhiều sai sót, học sinh sẽ ngại và bỏ dở bài toán

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Xây dựng mô hình giản đồ véc tơ phối hợp cho học sinh

2.3.1.1 Nhắc lại mô hình véc tơ quay rút gọn

Nhắc lại cho học sinh mô hình véc tơ quay rút gọn đã trình bày ở phần 2.1

cơ sở lí luận

2.3.1.2 Xây dựng mô hình véc tơ quay phối hợp

Nêu mô hình véc tơ quay phối hợp đã trình bày ở phần 2.1 cơ sở lí luận

2.3.2 Các bước giải bài toán véc tơ phối hợp

2.3.2.1 Xét hai dao động

Hai chất điểm dao động điều hòa có phương trình lần lượt là

1 cos 1 1 ; 2 cos 2 2

x A t x A  t Giả sử 1 2, chọn tần số của dao động thứ nhất làm chuẩn, và đặt 2 k1k R , và thường trong các đề thi THPT quốc gia thì k N *(thường là k = 2 thậm chí 3)

2.3.2.2 Gắn màu cho các dao động

Để phân biệt hai dao động trên giản đồ véc tơ chúng ta gắn màu cho chúng, thường là vật nào dao động chậm hơn ta gắn màu xanh (với thầy giáo dùng phấn xanh, với học sinh bút bi xanh) Vật nào dao động nhanh hơn ta gắn màu đỏ (với thầy giáo dùng phấn đỏ, với học sinh dùng bút bi đỏ) (trừ khi đề bài đã chọn màu sẵn)

2.3.2.3 Vẽ giản đồ véc tơ

Biểu diễn trên cùng một giản đồ véc tơ các véc tơ biểu diễn các vật, véc tơ màu đỏ biểu diễn vật chuyển động nhanh, véc tơ màu xanh biểu diễn vật chuyển động chậm

Thứ nhất: Biểu diễn vị trí đầu tiên của các véc tơ, ta dựa vào điều kiện ban

đầu chúng

Thứ hai: Cho các véc tơ quay theo tốc độ  1; 2 k1, khoảng cách hai

“vạch cơ sở” trên vòng tròn ứng với một “góc đơn vị” nên véc tơ xanh quay được 1 “góc đơn vị” thì véc tơ đỏ đã quay được k “góc đơn vị” Cứ như vậy đầu véc tơ xanh dịch được thêm một “vạch cơ sở” thì đầu véc tơ đỏ dịch thêm 2

“vạch cơ sở” Chỉ cần dùng phấn màu đỏ và màu xanh lần lượt di chuyển từng khoảng một, nếu thỏa mãn bài toán thì đánh dấu

2.3.3 Tổ chức dạy học

2.3.3.1 Việc phân chia không gian nhóm học

Tôi đã dạy cho học sinh lớp 12 - Trường THPT Triệu Sơn 3 sử dụng giản

đồ véc tơ quay để giải bài toán gặp nhau của hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ, khác tần số, các bước tiến hành như sau:

Với nhóm thực nghiệm, tôi ôn lại cho học sinh mô hình véc tơ quay biểu diễn dao động điều hòa mà tôi đã dạy ở những bài trước Tôi lần lượt đưa ra từng bài toán ví dụ, sau đó hướng dẫn giải bằng giản đồ véc tơ

Với nhóm đối chứng, tôi ôn lại phép lấy nghiệm phương trình cosin Tôi cũng lần lượt đưa ra từng bài toán ví dụ như trên nhưng hướng dẫn các em giải bằng phương pháp thông thường tức sử dụng các phương trình đại số

2.3.3.2 Các bài toán ví dụ

2.3.3.2.1 Bài toán có nghiệm trùng với vạch cơ sở

Bài toán số 1: Hai điểm sáng dao động điều hòa trên trục Ox có cùng vị trí

cân bằng O, điểm sáng thứ nhất dao động theo phương trình

1 4cos 2 / 2

x  t  cm , điểm sáng thứ hai dao động theo phương trình

   

2 4cos 4

x  t cm Trong các phương trình trên, thời gian đo bằng giây Thời điểm bé nhất hai điểm sáng gặp nhau là bao nhiêu?

Cách giải thông thường:

Hai điểm sáng gặp nhau khi chúng có cùng li độ, nên

1 2

min

min

2

1,2,3,

2

0,1,2,

2

k















Vậy giá trị cần tìm là min  

1 12

Cách giải dùng véc tơ:

Bước 1: Tại thời điểm ban đầu, t = 0 thì véc tơ biểu diễn các điểm sáng

xanh và đỏ ở các vị trí như hình vẽ ( Xem hình 1-B1)

Bước 2: Véc tơ mà đỏ quay nhanh gấp đôi véc tơ màu xanh nên nó quay

được 2 “góc đơn vị” thì véc tơ màu xanh mới chỉ quay được 1 “góc đơn vị”

 Đ0

 X0

Hình 1-B1: Vị trí ban đầu

của các véc tơ

Đ1

X1



 Đ0

 X0

Hình 2-B1: Vị trí tiếp

sau của hai véc tơ

(Xem hình 2-B1) Nhận thấy ở thời điểm này các véc tơ đối nhau qua trục chuẩn

nên hai li độ bằng nhau nghĩa là hai điểm sáng gặp nhau sau 1/12 chu kì của điểm sáng màu xanh, tức 1

12s

2.3.3.2.2 Bài toán có nghiệm không trùng với vạch cơ sở

Bài toán số 2: (Đề Khảo sát Sở GD- ĐT Thanh Hóa 2018) Các điểm

sáng M (màu đỏ) và N (màu lục) dao động điều hòa cùng biên độ trên trục Ox quanh gốc tọa độ O Chu kỳ dao động của M gấp 3 lần của N Ban đầu M và N cùng xuất phát từ gốc tọa độ, chuyển động cùng chiều Khi gặp nhau lần đầu tiên, M đã đi được 10 cm Quãng đường N đi được trong thời gian trên là

A (20 2- 10) cm B 50

3 cm C (30 3- 10) cm D 30 cm Cách giải thông thường:

Không giảm tính tổng quát, chọn ban đầu các điểm sáng chuyển động theo chiều dương, gọi T là chu kì điểm sáng N; thì 3T là chu kì điểm sáng M, phương trình dao động của các điểm sáng lần lượt là

Chúng gặp nhau khi li độ bằng nhau nên

min

min

min

2

2

0,1,2,

3

0,1,2,

T t

















Nghĩa là khi gặp nhau lần đầu tiên M đi được

8

M

T

, điểm sáng N đi được 3

8

N

T

Bây giờ dùng giản đồ véc tơ (Hình 1-B2 và 2-B2) để tìm quãng đường mỗi

điểm sáng đi được



 s

M

M

Hình 1-B2: Biểu diễn sM Hình 2-B2: Biểu diễn sNN0

N

 

s

Điểm M đi được 2 10 

2

M

A

s   cm ; Điểm N đi được 2 2 

2

N

A

Từ đó ta có

 

Cách giải dùng véc tơ:

Bước 1: Biểu diễn các vị trí ban đầu của các

véc tơ là M0; N0 (Hình 3-B2)

Bước 2: Lần lượt vẽ các vị trí M1 ; N1 nhận

thấy chưa có kết quả (véc tơ chưa đối nhau qua trục

chuẩn); Vẽ tiếp vị trí M2; N2, nhận thấy đã đi quá vị

trí hai véc tơ đối nhau qua trục chuẩn tức vị trí hai

chất điểm gặp nhau

Bước 3: Vẽ tương đối vị trí hai véc tơ đối nhau

là M và N (hình 4-B2) Nhận thấy cung màu xanh

gấp 3 cung màu đỏ và 2 góc  ; phụ nhau nên

0 0

45 ; 90









Bước 4: Sử dụng véc tơ ta cũng tính được

Điểm M đi được 2 10 

2

M

A

s   cm ;

Điểm N đi được 2 2 

2

N

A

Từ đó ta có A10 2cm S N 20 2 10 cm

2.3.3.2.3 Một số bài toán khác

Bài toán số 3: (Tuyển sinh ĐH 2015 của

Bộ GD- ĐT): Đồ thị li độ theo thời gian của

chất điểm 1(đường 1) và chất điểm 2(đường 2)

như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là

4 cm s/ Không kể thời điểm t 0, thời

điểm chất điểm có cùng li độ lần thứ 5 là

A 4,0s B 3,25s C.3,75s D.3,5s

Cách giải thông thường:

Nhìn vào đồ thì ta thấy lần gặp nhau thứ 5 sau lần gặp nhau thưa nhất đúng

1 chu kì của chất điểm 2 Biên độ của các vật đều là 6cm nên

N

M

Hình 4-B2

N0 M0





N2

N1

N2

Hình 3-B2

N0 M0





N1

max 2 2 2

2

3

v        chất điểm 1 có tần số góc gấp đối nên 1 4

3



  ; chúng cùng xuất phát từ VTCB theo chiều dương nên pha bằng  / 2

Phương trình dao động của hai chất điểm

x    t  cm x   t  cm

Chúng gặp nhau khi

2











2

2

0,1,2,

t k













Vì không tính thời điểm t =0 nên thời điểm đầu tiên là 0,5s và thời điểm

thứ 5 sau đúng 1 chu kì của chất điểm 2 nên t5 0,5 3 3,5   s

Cách giải dùng véc tơ:

Nhận ra: max 2 26 4 2 2 2 3s;

3

Nhìn vào đồ thì ta thấy lần gặp nhau thứ 5 sau

lần gặp và nhau thưa nhất đúng 1 chu kì của chất

điểm 2

Gắn màu đỏ cho chất điểm thứ nhất, màu xanh

cho chất điểm thứ 2 Vẽ các vị trí ban đầu của véc

tơ và cho véc tơ đỏ đi quay nhanh gấp đối véc tơ

xanh ta nhận thấy thời điểm gặp nhau khi véc tơ

xanh quay được 2 “góc đơn vị” tức 1/6 chu kì (Hình

B3)

Vậy thời điểm gặp nhau

 

5

3

3 3,5

T

t  T    s

Bài toán số 4:(Tuyển sinh Đại học – Cao

đẳng 2013 của Bộ GD - ĐT) Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và

64 cm được treo ở trần một căn phòng Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau Gọi t là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc

hai dây treo song song nhau Giá trị t gần giá trị nào nhất sau đây?

Hình B3

N1 N0 M0





M1N2 M2

Cách giải thông thường:

Tỷ số tần số góc của hai con lắc là 1 2

2 1

9 8

l l



   Đặt 19  2 8 Phương trình dao động của con lắc đơn viết theo biên độ góc là

1 0cos 9 ; 2 0cos 8

           

Khi hai dây treo song song thì chúng có cùng li độ góc

min

min

min

0,1,2,

k

t k















Mà 1  g l/  9,81 / 0,81 3,48 rad s/    1/ 9 0,39 rad s/ 

Vậy thời điểm cần tìm là min 0,48 

17



Cách giải dùng véc tơ:

Nhận thấy 1 2

2 1

9 8

l l



   thì 11,1252 ; chọn véc tơ xanh biểu diễn con lắc 1 (X); véc tơ đỏ biểu

diễn con lắc 2 (Đ) thì do hai véc tơ đối xứng qua trục

ngang nên   90 ;0  2 1,125   84,70

(Xem hình B4)

84,7 0,81 84,7

Bài toán số 5: Điểm sáng màu đỏ (M) và điểm

sáng màu lục (N) dao động điều hòa trên trục Ox có

cùng vị trí cân bằng O, có cùng biên độ, chu kì của M và N lần lượt là 0,5s và 1s, ban đầu M ở vị trí biên dương và N qua vị trí cân bằng theo chiều dương a) Khi điểm sáng N thực hiện được 1 chu kì đầu tiên thì hai chất điểm gặp nhau mấy lần?

b) Tìm thời điểm hai điểm sáng gặp nhau lần thứ 2018

Cách giải thông thường:

Phương trình dai động của chúng: x1Acos 2 t  / 2 cm ,

   

2 cos 4

Hình B4

X0 Đ0

X Đ