Bài tập oxy chọn lọc

Phân tích: Vì hai điểm A, D đã thuộc hai đường thẳng, cùng với đã biết tọa độ điểm C nên theo tính chất của hình chữ nhật chính xác là của hình bình hành ta có thể tính được tọa độ đi

54 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả

3

1 0



 





   

0

2, 2 , 0,6 2

1 1

4,8 , 2, 4 2

4

d

b d

d

b

 



  







*Tìm tọa độ điểm A

Vì AC và BD đều nhận I làm trung điểm nên ta có

x x  x x

và tương tự với tung độ

Khi B   2, 2 ,D 0,6 thì

x  x x x  y  y y y 

Khi B4,8 , D 2, 4 thì

x  x x x   y  y  y y 

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là

    3,3 , 2, 2 , 1,5 ,  0,6

hoặcA 5, 7 , B  4, 8 , C 1,5 , D 2, 4 

Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C3, 1  

Gọi M là trung điểm của cạnh BC, đường thẳng DM

có phương trình y  Biết đỉnh A thuộc đường 1 0

thẳng : 5d x y    và điểm D có hoành độ âm 7 0

Tìm tọa độ các đỉnh A và D

Phân tích: Vì hai điểm A, D đã thuộc hai đường

thẳng, cùng với đã biết tọa độ điểm C nên theo tính

chất của hình chữ nhật (chính xác là của hình bình

hành) ta có thể tính được tọa độ điểm B theo hai ẩn

mô tả tọa độ điểm A, D theo công thức:

x x x x

 (tương tự với tung độ)

Từ đó, ta cũng có thể mô tả tọa độ điểm M là trung

điểm BC theo hai ẩn đó Ta chỉ còn tìm ràng buộc

của hai ẩn Thứ nhất, điểm M phải thuộc đường

thẳng DM Thứ hai, là ràng buộc đủ để ABCD là hình chữ nhật

Nó đã là hình bình hành vì ta đã sử dụng công thức

ở trên, thì để là hình chữ nhật thì phải có một góc vuông

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm , A D lần lượt thuộc các đường

thẳng 5x y  7 0,y  là 1 0

 ,5 7 ,  ,1

A a a D d

Vì I đồng thời là trung điểm của AC và BD nên

2x I x Ax C  x B x D

3

B x A x C x D a d

 Tương tự, y B 5a   7 1 1 5a 5

Vì M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M là

6 5 4 ,

Theo đề, ta có:

 3   5 6 2 0

2

C

AD D

a





 

2

2 5

2

2 5

5 2

a

a

a d

  









  



Vậy tọa độ điểm A và D là 2,5 ,  2,1

5

A  D 

Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có B 1,1 Trọng

tâm của tam giác ABC nằm trên đường thẳng

d x y   Điểm N 4,6 là trung điểm

cạnh CD Tìm tọa độ đỉnh A

Phân tích: Đề bài của ta chỉ cho tọa độ hai điểm B,

N cùng một đường thẳng chứa trọng tâm G của tam giác ABC Ta thấy rằng, B, G cùng thuộc đường chéo BD và ta có thể tính được tỉ lệ giữa độ dài các cạnh của đường chéo đó theo tính chất của trọng tâm và của hình chữ nhật Từ đó, ta tính được tọa

độ điểm I và D theo 1 ẩn tọa độ của G

Và từ D ta có thể tính được tọa độ C theo trung điểm

N của DC Ràng buộc của ta không gì khác ngoài DCBC

A

B

I

M

Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission

Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 55

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm G thuộc 3 x y   là 2 0 G g g ,3 2

*Tính tọa độ điểm D theo g

Tam giác ABC vuông tại B có G là trọng tâm nên

nếu I là tâm hình chữ nhật, tức BI là trung tuyến ứng

với cạnh AC thì ta có hệ thức 2

3

BG  BI

 

và 1

2

 

Suy ra: 1

3

 

Ta có: BGg1,3g3 , BDa1,b1 với

 ,

D a b

1

3

3



      



*Tìm tọa độ , G C

Vì N là trung điểm CD nên

Khi đó

3 6,9 14 , 9 3 ,19 9 

Ta có:

BC NDBC ND    g g   g g 

 

2

5

3 3

g



*Tìm tọa độ điểm A

 Với  5,5 , 5,3

3

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

x  x x x  

y  y  y y 

 Với 18 4; , 32 22,

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

9 3

5

x  x x x 

57 3

5

y  y y y 

Vậy tọa độ của A là A1,3 hoặc 9 57,

5 5

 

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

48, đỉnh D3, 2  Đường phân giác của góc BAD

có phương trình x y   Tìm tọa độ đỉnh B 7 0

biết điểm A có hoành độ dương

Phân tích: Với kinh nghiệm khi giải các bài toán có

tam giác, ta có thể nhận ra ở bài này ta cũng có thể

sử dụng cách tương tự để tìm một điểm E nằm trên

AB khi lấy đối xứng của D thuộc AD qua phân giác góc DAB Thêm một điều nữa, góc DAB là một góc vuông và A lại thuộc đường phân giác góc đó đã có phương trình nên hoàn toàn có thể xác định được tọa độ điểm A Lúc này, ta có thể viết được phương trình các cạnh BA, AD, DC dựa vào tọa độ các điểm

E, A, D cùng độ dài cạnh AD Từ diện tích, ta tính được độ dài cạnh còn lại nên điểm B (C) thuộc AB (DC) và cách A (D) một đoạn đã biết nên ta tính được tọa độ B, C

Lời giải:

Gọi E a b , là điểm đối xứng của D qua phân giác góc A

*Tìm tọa độ điểm E Khi đó tọa độ trung điểm DE là 3, 2

a b

 3, 2

DE  a b



Theo đề, ta có:

,

5

10

7 0

x y

a b

A

   















N

A

B

I

G

F

E A

B

I

56 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả

*Tìm tọa độ điểm A

Gọi tọa độ điểm A thuộc đường thẳng x y   7 0

là A c ,7c Khi đó: DAc3,5c,

 5, 3 

EA c  c



Ta có:

 

5

5, 2

3 0

c

A c





    

 

*Tìm tọa độ điểm B

AD     

48 6 8

ABCD

S

AB

AD

Đường thẳng AB đi qua điểm A 5, 2 và

nhận vecto pháp tuyến làAD  8, 0 nên có

phương trình:8x 5 0 y2  0 x 5

Gọi tọa độ điểm B thuộc đường thẳng x5

là B 5,d Ta có:

  2 2

AB   d 

8

2 6

4

d d

d







 Xét vị trí tương đối giữa D3, 2 , B 5, 4 

và đường thẳng x y   ta có: 7 0

  3 2 7 5 4 7   48 0 nên D3, 2 và

5, 4

B  cùng phía với đường thẳng

 Xét vị trí tương đối giữa D3, 2 ,  B 5,8

và đường thẳng x y   ta có: 7 0

  3 2 7 5 8 7     48 0 nên D3, 2 và

5, 4

B  khác phía với đường thẳng

Vậy tọa độ điểm B là B 5,8

Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C nằm trên

đường thẳng : x2y   đường thẳng BD có 1 0,

phương trình 7x y   Điểm 9 0 E1, 2 thuộc

cạnh AB sao cho EB3EA.Biết rằng điểm B có

tung độ dương Tìm tọa độ của các điểm A, B, C, D

Phân tích: Ở đây, nếu không tính đường thẳng đi

qua điểm C thì đề bài chỉ cho ta biết tọa độ điểm E

và phương trình đường thẳng BD Ta sẽ tìm liên hệ

giữa khoảng cách từ E đến BD và độ dài các cạnh

của hình chữ nhật Nếu gọi H, K lần lượt là hình

chiếu của E, A lên BD thì ta có hai tam giác BEH

và BAK đồng dạng với nhau dẫn đến ta tính được khoảng cách từ A đến BD cũng chính là từ C đến

BD Cùng với phương trình đường thẳng chứa điểm

C ta tìm được tọa độ điểm C

Lời giải:

*Tìm tọa độ điểm C Gọi hình chiếu của E, A lên BD là H, K theo thứ tự

Ta có khoảng cách từ E đến đường thẳng BD:

 

5 1

7

E BD





Hai tam giác vuông BEH và BAK có EBH ABK

nên đồng dạng với nhau, suy ra hệ thức

/

3

3

EH A

Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng

x y  là C c2 1, c

2 2 /

1

5 7

C BD

d



  

 

31 22

13 2 12 2

13 13 13

5

C

   





điểm 31, 22

13 13

  và E1, 2 nằm cùng phía so với đường thẳng 7x y  9 0 :vô lí nên tọa độ điểm C là C 5, 2

*Tìm tọa độ điểm B Gọi tọa độ điểm B thuộc đường thẳng

7x y   là 9 0 B b b ,7 9 , khi đó ta có:

 

K

E A

B

H

Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission

Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 57

 

29 22

25 25 25

B b

   



Điểm 29, 22

25 25

  có tung độ âm trái với đề bài

nên tọa độ điểm B là B 2,5

*Tìm tọa độ điểm A

Gọi tọa độ điểm A là A a a 1, 2.Theo đề bài ta có,

 

 

1

1 2 2

4

3

3

a a

   







   



 

*Tìm tọa độ điểm D

Gọi tọa độ điểm D thuộc đường thẳng

7x y   là 9 0 D d d ,7 9 , khi đó ta có:

DADC AD CD

 2 5 7 10 7 11 0 1

2

d

d







Ta loại D 2,5 vì trùng điểm B

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là

 2,1 ,     2,5 , 5, 2 , 1, 2

Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc

đường thẳng d1: 2x y    đỉnh C thuộc 2 0,

đường thẳng d2:x y    Gọi H là hình chiếu 5 0

của B xuống đường thẳng AC Biết

 

9 2

, , 9, 2

5 5

  lần lượt là trung điểm của AH

và CD Tìm tọa độ các đỉnh , B C của hình chữ nhật

ABCD biết x C  4

Lời giải:

*Chứng minh MB vuông góc với MK

Gọiu  AB v,  AD u, u v, v Áp dụng

hệ thức lượng của tam giác cho tam giác vuông

ABC có đường cao ứng với cạnh huyền BH ta có:

2 2

2

AC

 

   

 

2 2

1

AC



      

2

   

2 2 2

u

u

v

Mặt khác: MK MA AD DK   

 

2 2

1

AC

Từ đó:

2

2

v







0





Gọi tọa độ điểm B thuộc đường thẳng

2x y   là 2 0 B b b , 2 2, khi đó:

9, 2 8

MBb b 



Ta có:

MB MK   b     b 

 

 

1 1, 4

Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng x y   5 0

là C c c , 5 Khi đó, KCc9,c7 ,

 1, 9

BC c c



Ta có phương trình:

c9c  1 c 7c90

 

9 4

9, 4 4

c

C c

 



Vậy tọa độ điểm B, C là B   1, 4 ,C 9, 4

Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 6, 2 , điểm M 4;5 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB

K

M A

B

H

I

58 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả

và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng

5 0

x y    Viết phương trình AB

Lời giải:

Lấy điểm N đối xứng với M qua I Suy ra N thuộc

CD N8; 1 

Điểm E thuộc đường thẳng 5 0 Suy ra

E(e; 5-e)

8 ; 6

6 ; 3

EN e e

EI e e



 





Mà ENEI Do E là trung điểm của CD) Suy ra:

6; 1 6

;

E e













TH1: +) E6; 1  suy ra EI0; 3

 

 

4;5

AB

qua M









TH2:+) 11; 1 1 5;



cos

1

DBA









Khi đó gọi vecto pháp tuyến của đường thẳng AC là

 1, 2

n n n



dẫn đến:

 

1 5

;

2 2 :

4;5

AB

vtpt n EI

AB

qua M







 

Vậy phương trình đường thẳng AB là y hoặc 5

5 29 0

x y 

Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình

cạnh AB x: 2y 1 0, đường chéo

: 7 14 0

BD x y  Đường thẳng AC đi qua

 2;1

M Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Lời giải:

B là giao điểm của đường thẳng AB và BD nên tọa

độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:

21

5

x

y

 





21 13

5 5

B ABBD B   Gọi nAC A B;  A2B2 0  Khi đó



10 5

2









1



 



 



*) Với 1

7

A  B

chọn

B   A  AC BD ( loại)

*) Với A  chọn B

 

B    A n  

 

 

2;1 1; 1

AC

qua M AC

vtpt n





 





A AC AB tọa độ của A thỏa mãn

 

3, 2

A

I  ACBD tọa độ của I thỏa mãn

7

;

2

x

x y

I

 



  



I là trung điểm của AC suy ra C 4;3

Tương tự I là trung điểm của BD suy ra

14 12

5 5

E

F

A

B

M

I

Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission

Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 59

Vậy tọa độ các đỉnh của hình

 3, 2 , 21 13, ,  4,3 , 14 12,

Bài 13: Cho hình hình chữ nhật ABCD có các cạnh

, , ,

AB BC CD AD lần lượt đi qua các điểm

   4,5 , 6,5 ,

M N P   5, 2 ,Q 2,1 Tìm tọa độ các

đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết diện tích của nó

bằng 16

Lời giải:

Vì AB vuông góc với BC nên ta có:

k



Vì ABCD là hình chữ nhật nên:

P AB

AD d











Tương tự, ta có:

.2 1 5 6

1

Q BC

AB d

l

  



1 1

k





Theo giả thiết, diện tích hình chữ nhật là 16 nên ta

có:

1 16 1

AD AB

2 4k 3 4 2 1

2

2

1

3

k

l k





 



 Trường hợp phương trình đường thẳng AB là

1 0

x y    và BC là x y 11 0

Đường thẳng AD đi qua điểm Q 2,1 và vuông góc

với x y   nên có phương trình 1 0

1 x2 1 y     1 0 x y 3 0

Điểm A là giao điểm của AD và AB nên tọa

độ của A là nghiệm của hệ phương trình sau:

Điểm B là giao điểm của AB và BC nên tọa

độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:

Đường thẳng CD đi qua điểm P 5, 2 và song song với x y   nên có phương trình 1 0

3 0

x y  

Điểm C là giao điểm của CD và BC nên tọa

độ của C là nghiệm của hệ phương trình sau:

Điểm D là giao điểm của CD và AD nên tọa

độ của D là nghiệm của hệ phương trình sau:

 Trường hợp phương trình đường thẳng AB là

3 11 0

x y  và BC là 3 x y 23 0 Hoàn toàn tương tự, ta tìm được tọa độ các đỉnh của

 1, 4 , 29 28, , 34 13, ,  2,1

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là

       1, 2 , 5,6 , 7, 4 , 3,0

hoặc A 1, 4 , 29 28, , 34 13, ,  2,1

Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D 3;4 Gọi M là trung

điểm của AD, đường thẳng CM : 2x y  1 0

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết

B thuộc đường thẳng 3 x y   và B có 3 0 hoành độ âm

Phân tích: Như những bài trước, mình sẽ tính khoảng cách từ 1 điểm cho trước tới 1 đường cho trước, tìm mối liên hệ khoảng cách từ điểm đã cho với 1 điểm thuộc phương trình đường thẳng không

có tính chất hình học trong hình vẽ

Mình chọn điểm D để tính khoảng cách tới CM, và tham số hóa tọa độ điểm B, bằng cách tìm liên hệ khoảng cách dựa vào liên hệ diện tích của 2 tam giác chung đáy mình sẽ tính được khoảng cách từ

B tới AC và tìm được điểm B Bài toán này cho

A

B

60 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả

hoành độ B âm là một dữ kiện khá quan trọng và

không có chút gì gọi là “lừa” chúng ta, nhưng nếu

không có điều kiện này của B chúng ta vẫn chỉ được

lựa chọn 1 điểm B thỏa mãn, vì vị trí tương đối của

B và D so với MC là khác phía, việc dùng khoảng

cách cho chúng ta 2 điểm B, thực tế có 1 điểm cùng

phía với D so với MC (phải loại) một điểm khác

phía (đây mới là điểm cần tìm) Có B, có D thì mình

sẽ tìm trung điểm I của BD để tìm mối liên hệ với

AC (vì I thuộc AC) Bây giờ thì tham số hóa C và sử

dụng thêm BC và BD vuông góc với nhau để giải ra

C Cuối cùng là tìm A khi đã có I và C

Lời giải:

Ta có: BC AD2MDS MBC 2S MDC

 ;  2  ;MC 1 

d B MC d D

Gọi: Bb; 3 3  b b 0

Từ (1) ta được:  

2



2

2 5

b

b

 





 

 Gọi ACBD I  I là trung điểm BD

1 7;

2 2

   Gọi

 ; 2 1  2; 2 2 ;  3;2 3

C c c BC c c DC c c

Do ABCD là hình chữ nhật dẫn đến:

 

   0,1 , 1,6 0

c











Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là

  1,6 , B 2,3 ,  0,1

, , B 2,3 , ,

3 Hình thoi

Bài 1: Cho hình thoi ABCD có AC2BD Biết

đường thẳng AC có phương trình 2x y  1 0

Đỉnh A 3,5 và điểm B thuộc đường thẳng

d x y   Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của

hình thoi ABCD

Phân tích: Hai điểm B, C thuộc hai đường thẳng đã

biết phương trình nên ta cần tìm ràng buộc giữa hai

điểm đó Với giả thiết AC2BD , ta có thể biến đổi

về quan hệ giữa các điểm đã đặt ẩn, các điểm đã có

tọa độ và phương trình đường thẳng AC đó là:

/

4 B AC

Với tính chất của hình thoi, ta còn có một ràng buộc

nữa là BI  AC với I là trung điểm của AC dễ dàng

tính được theo ẩn tọa độ điểm C

Lời giải:

*Tìm tọa độ điểm B, C

Gọi tọa độ điểm B, C lần lượt thuộc các đường

thẳng x y  1 0, 2x y   là 1 0

 ,1  , , 2 1

B b b C c c

Khi đó tọa độ tâm I của hình thoi cũng chính là trung điểm AC có tọa độ: 3 ,4 2

Ta có:

2

AC c c BI    b c  

và

AC BD BI

Từ đó ta có hệ phương trình sau:

A

D

C

B

I

Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission

Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 61

4

AC BI









 

2

2



 

 



 

2 2

2

4

4 2

b b

c b

        



 



 1 35 7

2 2

c

c b







  



 Khi c , 3

 2 2b22b25 0    b

 Khi 5 7

c

b  

,

2

c

5

3 6

3 5

3 6

3

     





13 31

5

c

   







*Tìm tọa độ D

Vì I là trung điểm chung của AC và BD nên

2x I x A x C x B x D, 2y I  y A y C  y B  y D

Khi 13, 31 , 3, 2

,

x x x x   y  y y y 

 Khi C 1, 3 , B 1, 2, tương tự ta có

Vậy tọa độ các đỉnh , , B C D của hình thoi ABCD

là 3, 2 , 13, 31 , 13 4,

hoặc B1, 2 , C  1, 3 ,  D 3,0

Bài 2: Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh

AC là x7y31 0 , hai đỉnh , B D lần lượt thuộc

các đường thẳng d x y1:    8 0,

d x y  Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh C

có hoành độ âm

Phân tích: Tương tự như bài trên, ta sẽ đặt hai ẩn

tương ứng với tọa độ hai điểm B, D đã thuộc hai đường thẳng cho trước Vì ABCD là hình thoi nên

ta sẽ sử dụng các tính chất một cách chọn lọc của hình thoi để tìm hai ẩn đó Và tính chất đó là: hai

đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi

đường (dễ dàng thấy rằng một tứ giác có tính chất trên cũng chính là hình thoi) Vì đề bài chỉ cho phương trình đường thẳng AC nên ta chỉ sử dụng

tính chất tại trung điểm mỗi đường ở chỗlà trung

điểm BD nằm trên AC

Từ đó ta tính được tọa độ B, D Cặp điểm A,

C cũng đã cùng thuộc một đường thẳng nên ta chỉ cần hai ẩn để mô tả A, C Và ràng buộc lúc này sẽ

bổ sung cho tính chất ở trên là trung điểm AC trùng

với trung điểm BD Kết hợp với diện tích bằng 75

ta tính được tọa độ A, C

Lời giải:

*Tính tọa độ B, D Gọi tọa độ điểm B, D lần lượt thuộc các đường thẳng d x y1:   8 0,d2:x2y  3 0 là:

 ,8  , 2 3, 

B b b D d d Từ đó, ta có:



với I là trung điểm BD và cũng là trung điểm AC

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo

vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường từ đó

ta có hệ phương trình sau:

A

D

C

B

62 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả

AC BD

I AC

     





         



 

 

b

 





Suy ra tọa độ điểm I là 1 9,

2 2

I 

  và

  2 2

BD     

*Tính tọa độ A, C

Gọi tọa độ điểm A, C thuộc đường thẳng

x y  là A31 7 , a a C , 31 7 , c c Từ

đó, ta tính được tọa độ điểm I theo a, c:

7

a c a c



  và AC5 2 a c Ta

có hệ phương trình sau:

5 2

9

3 9 3

3 9

9

ABCD

S

BD

a c

a c

a c

a c

a c

a c

a c









  



  

  





6

11, 6 , 10,3 3

10,3 , 11, 6 3

6

a

c

a

c

 











 





Vì điểm C có hoành độ âm nên ta chọn tọa

độ điểm C là C11,6

Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD là

10,3 ,   0,8 , 11,6 ,  1, 1 

Nhận xét: Ta cũng có thể đặt một lúc 4 ẩn tương

ứng với 4 điểm rồi giải hệ phương trình với 4 ẩn đó

Tuy nhiên làm như vậy sẽ khó theo dõi, khó sửa lỗi

Làm từng bước như trên sẽ giúp kiếm được từng

phần, tránh trường hợp sai một chỗ sai toàn bộ bài

toán

Bài 3: Cho hình thoi ABCD có AC x y:   1 0

Điểm E 9, 4 nằm trên đường thẳng AB, điểm

 2, 5

F   thuộc AD, AC2 2.Xác định tọa độ , , ,

A B C D biết điểm C có hoành độ âm

Phân tích: Một tính chất của hình thoi (cũng đúng

cho tất các hình bình hình khác) ít sử dụng là đường chéo từ đỉnh nào cũng là đường phân giác ứng với góc ở đỉnh đó Tính chất này sẽ hữu dụng ở bài này

do ta có điểm E nằm trên tia AB của góc BAD cùng với phương trình AC là phân giác góc BAD Từ đó, tương tự như các bài tập liên quan đến tam giác, ta tính được tọa độ điểm đối xứng của E qua phân giác

AC và thuộc AD Từ đó, kết hợp với điểm F thuộc

AD đã biết, ta kẻ được đường thẳng AD

Điểm A sẽ là giao điểm của AD và AC Sử dụng thêm các dữ kiện khác, ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh khác của hình thoi

Lời giải:

*Tìm tọa độ điểm đối xứng của E qua AC

Gọi K k k 1, 2 là điểm đối xứng của E qua

phân giác AC của góc BAD Khi đó,

 1 9, 2 4

EK  k  k 



và trung điểm H của EK có tọa độ 1 9 2 4

,

  Ta có hệ phương trình sau:

A

K C

H









 1   2 

1

2

3

1 0 2

9 2

k



 





 

    





*Tìm tọa độ điểm A, C Đường thẳng AD di qua điểmF 2, 5 và

có vecto chỉ phương FK   1, 3 hay vecto pháp tuyến3, 1  nên có phương trình:

3 x2  y5  0 3x y  1 0

Điểm A là giao điểm của AD và AC nên tọa

độ A là nghiệm của hệ phương trình:

A

D

C

B

I

F K E

Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission

Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 63



Gọi tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng

1 0

x y   là C c ,1c Theo đề, ta có:

  2 2

AC c   c 

2 0

2

c

c

 



*Tìm tọa độ điểm , B D

Gọi tọa độ điểm D thuộc đường thẳng

3x y   là 1 0 D d d ,3 1

Ta có tọa độ trung điểm I của AC là I1, 2  Khi

đó,IDd1,3d 1  Vì ABCD là hình thoi nên:

ID AC ID AC   d   d   d

Áp dụng tính chất của hình bình hành cho

hình thoi ABCD:

3,

x  x  x   y B  y A y C y D  0

Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD là

  0,1 , 3,0 ,  2,3 ,  1, 4

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi

ABCD,có tâm I(2;1)và AC=2BD Điểm 0;1

3

thuộc đường thẳng AB Điểm N 0;7 thuộc

đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có

hoành độ dương

Phân tích: Khi thấy một bài toán về hình bình hành

(hay các hình bình hành đặc biệt:hình thoi, hình

vuông, hình chữa nhật) mà có giao điểm 2 đường

chéo, và 1 điểm nằm trên 1 cạnh của hình đã cho,

mình thường lấy điểm đó đối xứng qua I để tìm thêm

1 điểm nữa , sẽ rất hữu ích

Với hình thoi ABCD trong bài toán này, mình thấy đề bài cho I, cho N thuộc CD nên mình

sẽ tìm cách lấy điểm L đối xứng với N qua I và L mới tìm được nằm trên AB Từ 2 điểm L,M thuộc

AB, mình lập được AB Tiếp sau đó mình khai thác thêm quan hệ độ dài AC=2BD hay AI=2BI

Bằng việc đặt BI a, mình sẽ tính được độ dài khoảng cách từ I tới AB theo a và dễ dàng tìm

ra a nhờ tính độ dài dI;AB Theo cách tính trên

ta được BI  5,nên điểm I sẽ thuộc đường tròn tâm I bán kính 5 , mình sẽ lập phương trình đường tròn này sau đó giải hệ phương trình tương giao giữa đường tròn vừa lập và phương trình đường thẳng AB để tìm ra tọa độ điểm B cần tìm

Lời giải:

Gọi L đối xứng với N qua I L(4; 5)

Ta có AB qua

1

3

4.2 3.1 1



Vì AC 2BD, nên AI2BI Đặt BI  a AI 2a

Xét tam giác vuông ABI có

4

Điểm B là giao của đường thẳng 4 x y   với 1 0 đường tròn tâm I bán kính 5

 Tọa độ B là nghiệm của hệ

  2 2







;







(vìx B  ) 0

VậyB1; 1 

A

D

C

B

I

M

N

L