Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp tập 1

Sau ba lần in bộ sách “Một số phương pháp chọn lọc đề giải các bài toán sơ cấp” chúng tôi đà nhận được nhiều thư từ khắp các miền của đất nước tỏ ý hài lòng vể chất lượng của bộ sách và

KHOA TOÁN C ơ ■ TIN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN - ĐHQG HÀ NỘI

phương pháp chọn lọc

GIẢI CÁC BÀI TOÁN

S ơ CẤP

GIÚP LUYỆN THI ĐẠI HỌC

VÀ BỐI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

Đ K Ị

G p G

PHAN ĐỨC CHÍNH - [p h ạ m v à n Đlẩu - Đ Ỗ V Ă N HÀPHAN V Ă N HẠP - PHẠM V À N HÙNG - PH ẠM Đ Ă N G LONG NGUYỀN V Ă N MẬU - Đ ỗ THANH SON - LẼ ĐÌNH THỈNH

MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP CHỌN LỌC

GIẢI CÁC BÀI TOÁN sỡ CÂP

Tài liệu dùng cho Học sinh chuẩn bị thi vào các trường đại học và bổi dưỡng học sinh giỏi toán

T Ậ P I(In lần thứ năm)

NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI HỌC Q UỐC G IA H À NỘI

Sau ba lần in bộ sách “Một số phương pháp chọn lọc đề giải các bài toán sơ cấp” chúng tôi đà nhận được nhiều thư từ khắp các miền của đất nước tỏ ý hài lòng vể chất lượng của bộ sách

và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích đồng thòi yêu cầu cho tái bản tiếp

Để đáp ứng nguyện vọng đó, chúng tôi đã bổ sung và chỉnh lý theo tinh thần: một m ặt giữ vững và nâng cao chất lượng các vấn

đề đã có, mặt khác kết hợp đưa vào các phương pháp giải khác nhau của các bài toán Các phần phương pháp tam thức bậc hai, lương giác, hàm số và bất đẳng thức đều được sửa chữa với tinh thần đó Riêng phần hình học chúng tôi bổ sung thêm chương các bài toán với phương pháp giải khác nhau

Theo quy định mới của Cục Xuất bản và để đáp ứhg yêu cầu bạn đọc có thể in vỏi số lượng lốn, lần này khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội cùng liên kết với Nhà xuất bản Đại học và giáo dục chuyên nghiệp để xuất bản bộ sách;Trong quá trình bổ sung và chỉnh lý chúng tôi đã được các đồng chí Nguyễn Thủy Thanh, Nguyễn Ngọc Thắng, Trần Hữu Phúc,

Đỗ Lệnh Đạt nhiệt tình giúp đỡ Nhân đây xin chân thành cảm

ơn các dồng chí đó

Chúng tôi cũng bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Cục Xuất bản

Bộ Thông Tin và tập thể cán bộ và công nhân viên chức Nhà máy

in Tiến bộ đã tạo điều kiện để bộ sách sớm đến tay bạn đọc.Chúng tôi chò mong ý kiến của bạn đọc về nội dung cửa

L Ờ I T ự A

(Cho lần in thứ ba)

Sau khi bộ sách "Một s ố phương pháp chọn lọc đ ể giải cáac bài toán sơ cấp” gồm ba tập ra m ắt bạn đọc, chúng tôi đã nhậnn được nhiều thư từ khắp các miền của đất nước tỏ ỹ hài lòng vếê' chất lượng của bộ sách và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích

Trong lần xuất bản này, ngoài việc chỉnh lý một vài sai sóbt chúng tôi đã bổ sung một số điểm mới trong phần các phươngg pháp tam thức bậc hai, viết thêm chương phương pháp thểể tích trong phần hình học, bổ sung và sửa chữa một số' đề bàùi tập ờ các chương và sau mỗi tập cho thêm hai đề toán để họoc sinh tự luyện có hưóng dẫn cách giải

Chúng tôi chân th à n h cảm ơn Cục Xuất bản Bộ Vãn hóa.1, tập th ể cần bộ và công n h ân Nhà in Tiến bộ đã tạo mọi điềuu kiện để bộ sách sóm đến tay bạn đọc

Chúng tôi chờ mong ỹ kiến của bạn đọc về nội dung cùa bộộ sách Thư từ xin gửi về khoa Toán - Cơ, Trường Đại học Tổngg hợp Hà Nội

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 19844

C ác tá c g iả

4

Sau khi tập ỉ và tập II của bộ sách: “Mật sô'phương pháp chạn lọc để giải các bài toán sơ cấp” ra mắt bạn đọc, chúng tôi đă nhận được nhiều thư từ tỏ ý hoan nghênh cố gắng của tập thể các tác giả và các hiệu đính viên đà hoàn thành có chất lượng việc biên soạn bộ sách.

Mặt khác bạn đọc cũng cho chúng tôi ý kiến nhằm nâng cao hơn nữa chất lượng của bộ sách, và tỏ ý hy vọng bộ sách sẽ được tái bản

Để đáp ứng các mong muôn tốt đẹp đó chúng tôi đã chinh lý lại các phần: phương pháp tam thức bậc hai, hàm sốvà đồ thị; chinh

lý và có bổ sung phần hình hoc; viết lại một cách tương đôì hoàn chỉnh các phần: iượng giác, đẳng thức và bất đẳng thức, phương trìnhT hệ phương trình và bất phương trình

Sau nữa để thuận tiện cho việc sử dụng chúng tôi đà sắp xếp toàn bộ các phần đã nêu thành một bộ sách gồm ba tập:

Tập I gồm các phần: phương pháp tam thức bậc hai và lượng giác

Chắc chắn bộ sách còn có nhiều thiếu sóti ehúng tôi mong được bạn đọc cho ý kiến

Thư từ xin gửi về Khoa Toán, Trường Đại học Tổng hợp

Để góp phần vào việc nâng cao chất lượng học tập môn tơánn

ố các trưòng phổ thông trung học và ồ các lốp chuyên toánn, chúng tôi biên soạn bộ sách “Một số phương pháp chọn lọc đầể giải các bài toân sơ cấp”

Bộ sách nhằm phục vụ:

- Các học sinh đang chuẩn bị thi vào các trường đại học

- Các học sinh muốn học tốt môn toán và học sinh giỏi toánn

- Các thầy, cô giáo dạy toán ố các trường phổ thõng tru n g g học

Bộ sách chủ yếu nhằm đạt được việc giối thiệu vdi bạn đọọc một số phương phốp chủ yếu, xuyên suốt trong việc giải mộôt sô" bài toán sơ cấp thưòng gặp, nhất là trong các kỳ th i vào cáàc trường đại học

Bộ sách có th ể gồm nhiểu tập, trước m ắt sẽ ra m ắt bạn đọọc hai tập

Tập I gồm hai phần:

Phần th ứ n h ấ t đề cập đến các phương pháp tam thức bậac hai để giúp bạn đọc nắm và sử dụng tố t các phương p háp giảai các bài toán dựa trên các lý luận vể tam thức bậc hai

P h ần thứ h ai dành riêng cho các phương pháp để giải mộột sô' bài 'toán vể hình học bao gồm việc khảo sá t các m ặt cắt, cáac quỷ tích trong m ặt phảng và trong không gian, các bài toánn cực trị, cốc bài toán về các đa diện nội và ngoại tiếp hình cầuu

và phép chiếu vuông góc

Tập II gồm hai phần:

P h ần th ứ nhâ't trình bày các khái niệm cơ bản về hàm sôp, chỉ rõ cách vẽ đồ thị hàm s ế và nêu ỉên các phương pháp địnhh hình, định tín h và định lượng các hàm số sơ cấp

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

(Cho lần xuất bản thứ nhất)

P h ần th ử hai nêu một cách vắn tắ t cách giải các bài toánn

về b ấ t đẳng thức, b ất phương trình, các phương trìn h mũặ,6

phương trình chứa lôgarít và các bàì toán về lượng giác, v.v chủ yếu để đáp ứng cho việc ôn thi đại học sắp tới- Việc trìn h bày cò hệ thống các vấn để ở phần này sè được tiến hành ở các tập sau.

Trong mỗi phần đểu nêu tóm tắ t các cơ sỏ lý luận, ví dụ và

từ các ví dụ chọn lọc mà nêu lên phương pháp jpải các bài toán Sau đó có các bài tập có chỉ dẫn cách giải để bạn đọc có thể tự rèn luyện và nắm chắc các phương pháp đă trìn h bày Các bài tập dành riêng cho học sinh giỏi có đánh dấu (*)

Để bạn đọc làm quen với các đề th i đại học, cuối mỗi tập có cho bôn để thi hoàn chỉnh như các đế th i vào đại học và hướng dẫn cách giải Để thuận lợi cho việc ôn thi, cuôì tập II có bản hướng dẫn nội dung ôn thi môn toán (khôi A và khôi B) vào đại học của Bộ Đại học và trung học chuyên nghiệp

Chúng tôi xin chán thành cảm ơn các đồng chí trong N hà xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp, các đồng chí ỏ Cục Xuất bản đã tạo điều kiện cho chúhg tôi hoàn th à n h sớm các th ủ tục xuất bản

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn cán bộ và công nhân N hà máy in Tiến bộ đã nhanh chóng hoàn th àn h việc in ấn giúp cho cuốn sách kịp thòi phục vụ bạn đọc

Vì thòi gian và khả năng hạn chế, chắc chắn còn nhiều thiếu sót trong cuốn sách, chúng tôi mong bạn đọc xa gần cho chúng tôi biết nhận xét về cuốn sách

Thư từ và nhận xét xin gửi theo địa chỉ:

Khoa Toán, Trưòng Đại học Tổng hợp, Hà Nội

C ác tá c giả

1 Cách giải: Gọi A = b2 - 4ac Khi đó:

Nếu A < 0: phương trìn h vô nghiệm;

Nếu A = 0: phương trìn h có nghiêm kép X = - —- ;

2aNếu A > 0: phương trìn h có hai nghiệm p h â n biệt:

2 Đ ịnh lý Viét: Giả sử Xp x2 là hai nghiệm của phươnkg

trình (1), Khi đó:s = Xj + x2 = — — ; p = Xj.x2 = —

Ngược lại, nếu hai số X, y có tổng s - X + y và tícìh

p = x.y thì X và y chính là nghiệm của phương trìnHi:

X2 - sx + p = 0.

3 Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm: D ự a vào h(ệ thức V iét ta có th ể tín h được các biểu th ứ c đổi x ử n g satu đây, với x1, x2 là các nghiệm của (1):

Xj2 + x22 = (xx + x2)2 - 2 xị X2 = s2 - 2P,

Xj3 t x23 = (xx + x2)3 - 3 x 1 x 2( x 1 + Xg) = s3 - 3SP

Tổng q u át, ta có hệ thức tru y hồi:

a S n + bSn _ J + cSn _ 2 = 0 vổi Sn = x xn + x2n (n > 2)

4 Dấu của nghiệm số: D ựa vào định lý Viét ta có:

Điểu kiện cần và đủ để phương trìn h (1) có h a i nghiệrm

p h â n biệt cùng đấu là:

A > 0

— > 0

aĐiều kiện cần và đủ để phương trìn h (1) có h a i nghiệim trá i dấu là:

— < 0

aTrong trư ơng hợp h a i nghiệm cùng dấu, m uôrt haii nghiệm cùng 'dương th ì cần th êm điểu kiện s > 0 Còm

m uốn h a i nghiệm cùng âm th ì cần th êm điểu k iện s < 0

Ví dụ 1. Cho phương trìn h 2x2 + 2x + e o sa = © (0 < a < 7t)

a) Vối nh ữ n g giá trị nào của ơ thì phương trìn h có nghiệm

b) Gọi X,, x2 là nghiệm của phương trìn h Hãy xác

Vi dụ 2. Cho phương trìn h : X2 - 2(m - l)x + m - 3 = 0.'.a) C hứng m inh rằ n g với mọi m phương trìn h luôn luônn

T h ế giá trị m vào (1) ta được: (Xj + x2) - 2XjX2 = 4

Đây là hệ th ủ e liên hệ giữa các nghiệm mà không phụụ thuộc vào m

c) Muốn phương trìn h có hai nghiệm tr á i dấu và bằngg

Vậy m = 1 là giá tr ị thỏa m ãn yêu cầu của bài toán

Ví dụ 3: Gọi a, p là các nghiệm của phương trìn h

3x2 + 7x + 4 = 0

Khống giải phương trìn h , hãy th à n h lập phương trìnhh bậc h ai vổi h ệ số bằng số’ mà cáq nghiệm của nó là:

(2)

T ừ (2) => Xj = ^/ã2. T h ế vào (1) ta có:

w + ( * ? ) * = ặ

=> a = ± || g 15Lúc đó, h iển n h iên rằ n g |a ( < — Vậy n h ữ n g ¡giá trịr ị

8

i ĩ

a cần tìm là a = +

Ví dụ 5. C hứng m inh rằn g hệ thức (k + l ) 2ac - k b 2 = F 0 (k *■ 0) là điều k iện cần và đủ để tì số các n g h iê m c ủ ả a phương trìn h ax 2 + bx + c = 0 bằng k (Giả sử p h ư ơ n g tr ìn h h

đã cho có nghiệm)

Giải: Xét biểu thức

p = (x2 - k x g ) ^ - kXj) = XjX2 + k 2X}X2 - k (X j2 + x 22) ==

N hư vậy, n ếu (k + l) 2ac - kb2 = 0, thì một tro n g h a i th ừ ư a

số của p p h ả i b ằn g không và ngược lại Đó c h ín h l à điềừu

a l x o2 + b l x o + c l = 0 » ( ! )

N h â n (1) vỏi a 2 và nhân (2) vổi a t rồi trừ đi n h a u ta được:

(a2bj - a 1b2)x0 + (a2Cj - ajC2) = 0 (3)

N h ân (1) với b2 và n hân (2) với bj rồi tr ừ đi n h au ta được:

Đó là điều p h ải chứng minh

Ví dụ 7 G iả sử phương trìn h ax2 + bx + c = 0 có đúng

m ột nghiệm dương Gọi nghiệm đó là Xj Chứng m inh rằ n g phương trìn h cx2 + bx + a ~ 0 cũng có đúng m ột nghiệm dương Gọi nghiệm đó là x2, chứng m inh rằ n g Xj + x2 > 2

Giải: Từ giả th iết, dễ d àng suy ra phương tr ìn h cx2 + bx + a = 0 cũng có đúng m ột nghiệm dương

Do Xj là nghiệm của phương trìn h ax2 + bx + c = 0 n ên aXj2 + bxj + c = 0 Chia cả hai v ế của đẳng thức trê n choXj2 *0 ta được a + b |“ Ị + c (“~ ) = k

Như vậy — , chính là nghiệm của phương trìn h

X1

15

Ví' d ụ 8. C hứng m inh rằn g nếu phương trìn h X2 + px í + + q = 0 với P, q là các số nguyên, có các nghiệm h ữ u tỉtỉ, thì các n ghiệm đó là nh ữ n g số nguyên.

Giải: N ghiệm của phương trìn h đã cho là:

- P ± V p2 - 4q

Do các nghiệm là hữ u tỷ nên p2 - 4q phải là sô” ch ínhh phương Tức là p z - 4q = k2 (*), với k là số nguyên nào đđỏ

Có h a i k h ả n ă n g xảy ra đối với p:

a) G iả sử p là số lẻ: khi đó, từ (*) suy ra k phải là sô' léẻ.b) G iả sử p là số chẵn: khi đó, từ (*) suy ra k phải là s s ố chẵn

V ậy p và k cùng tín h chẵn, lẻ Từ đó, tử số của nghỉệrcra

X, 2 là m ột số c h ẵn Tức X, 2 là những số nguyên

Ví d ụ 9. C hứng m in h rằn g chỉ có duy n h ấ t m ột cặp ssô (x,y) th ỏ a m ãn phương trìn h :

B ất đ ẳ n g thức này chỉ thỏa m ãn duy n h ấ t tại m ột giá tri

V y = 3 ỉhay y = 9

Với y = 9 suy ra X = 2,

Vậy, chỉ duy n h ấ t m ột cặp số X = 2, y = 9 th ỏ a m ãn phươ ng trìn h đâ cho

Ví d ụ 10. Chứng m inh rằn g trong mọi tam giác ABC

Xét Z_\ABC b ấ t kỳ Đ ặt cosA + cosB + cosC = k

Từ đó

/A + B V /A - B\ / 9 c \2cos( - ^ - ~ ) C0S( ~ Y ~) + Ị 1 - 2sin 2 ) - k 'hay là:

Như vậy, ta chứng m inh được:

cosA + cosB + cos c < —

2

B ất đ ẳn g thức có dấu bằng khi và chỉ khi A = Bi3 =

= c = 60° tức là khi AABC đểu (độc giả tự kiểm tra k ế t qiquả này)

Ví dụ 11. G iả s ử Xj, x2 l à h ai nghiệm c ủ a phương trìrìn h

Do cấp sô' n h â n là tăn g nên chỉ lấy được giá tr ị q “ 2.Vối q = 2 => X, = 1, X,, = 2, x3 = 4, x4 = 8.

T ừ (3) và (4) :=> m = 2, n = 32 Cả h a i giá tr ị này đều

X2 + X - 2 = 0

X2 - 2x + 1 = 0

và h iển n h iê n có một nghiệm chung là X = 1

Vối a = 1, th ì hiển nhiên cả hai phương trìn h đểu vô nghiệm Vậy, chỉ vói a = - 2, th ì h ai phương trìn h đã cho

m ột tro n g hai k h ả năng sau:

a) Mọi nghiệm của phương trìn h này đều là nghiệm của phương trìn h kia và ngược lại

p) Cả h ai phương trìn h đều vô nghiệm

Rõ rà n g rằng, theo lý lu ậ n ở câu a), các tậ p hợp nghiệm của h a i phương trìn h đã cho không th ể trù n g n h a u Vậy trư ờ n g hợp thứ n h ấ t không th ể xảy ra

T a x ét tiếp k h ả n ăn g th ứ h ai Gọi Aj, A2 lần lượt là b iệt

th ứ c của phương trìn h (1) và phương trìn h (2)

H ai phương trìn h đểu vô nghiệm , nếu:

í A j = 1 - 4a < 0,

ỉ A2 = a 2 - 4 < 0

1/ a > “ ,

V í dụ 13. Giả sử a, b, c là b a số khác nhau từ ng đôi m ột

v à c 5*0 Chứng m inh rần g nếu phương trìn h X2 + ax + bc = 0

và phương trin h x z + bx + ca = 0 có đúng m ột nghiệm chung, th ì nghiệm khác của các phương trìn h đó thỏa m ần phương trìn h : X2 + cx + ab = 0

Giải: Giả sử phương trìn h th ứ n h ấ t có các nghiệm là x0,

XjJ phương trìn h th ử h a i có các nghiệm là x0, x2 (xữ là nghiệm chung, Xj 5* x2) Khi đó:

Lấy (1) trừ đi (2) ta được: (a - b)(xo - c) = 0 Từ đó: x0 = c (do a * b) ■

Ngoài ra, theo định )ý Viét: ỊX0 X 1 = bc,

3 Cho h ai phương trìn h X2 + PjX + qj = 0 ,

X2 + p ọx + q2 = 0

B iết ră n g p ^ g = 2(qt + q2) C hứng m inh rằ n g ít n h ấ t

m ột phương trìn h đã cho có nghiệm

4» Với giá trị nào của k th ì tổng các b ìn h phương các nghiệm của phượng trìn h 4x2 - 28x + k = 0 bằng 22,5

5 Với những giá trị nào cửa k th ì phương trìn h :

x2 - IXI + k = 0 có m ột nghiệm duy n h ấ t

8 Giả sử a , p là các nghiệm của phương trìn h X2 +

px + q = 0 Hãy lập phương trìn h bậc h a i có các nghiệm là:

ở dế dự trữ khôi B năm 1975

/ x ) \ 2 / x2\2c) Xác đ ịn h m sao cho: Ị — + Ị — j > 3.

10. C hứng m inh rằng nếu các hệ số của phương trìn h

a x 2 + bx + c = 0 liên hệ vối n h au bởi hệ thức 2b2 - 9ac = 0, thì tỷ sô' các nghiệm của phương trìn h bằng 2

11 G iả sử a + b + c và c là nhữ ng sô' nguyên lẻ Chứng

m inh rằ n g phương trìn h ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm nguyên

12 C hứng m inh rằn g nếu các sô' hữ u tỷ a, b, c th ỏ a m ãn điểu kiện: ị b I = I a + c I , thì phương trìn h ax2 + bx + c = 0

có nghiệm h ữ u tỉ

13. Tìm điều kiện để các phương trìn h : X2 + ax + bc = 0;

X2 + bx + ca = 0; X2 + cx + ab = 0 từ ng đôi m ột có nghiệm chung

14. Cho a, b, c là ba số khác không, còn p, q là hai sô' tùy

ý Chứng m in h rằn g phương trìn h :

- + - = c

X - p X - q

luôn luôn có nghiệm

15. C hứng m inh rằn g nếu h ai phương trình:

b) sin 2A + sin 2B + sin 2C < — .

4

18. Tìm những cặp số X, y thỏa m ãn các phương trình:a) x2y4 - 16xy3 + 68y2 - 4xy + x2 = 0

b) X2 - 6xsiny + 9 = 0 (dư trữ A - 1971)

19. (A - 1981) Tìm giá trị lốn n h ấ t và nhỏ n h ấ t của tổng các bình phương các nghiệm của phương trìn h :

X2 - (3sina - cosa)x - 4 - 4cos2a = 0

khi th am số a biến thiên

20* Cho hai phương trìn h X2 + px + q = 0

9

22* Chứng m inh rằ n g vồi mọi sô' tự nhiên n, số

N - n 2 + 5n + 16 không chia h ết cho 169

23* Chứng m inh rằn g nếu a, b, c, đểu là những số nguyên lẻ th ì phương trìn h ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỷ

24* G iả sử p = abc là số nguyên tố C hứng minh rằng phương trìn h ax2 + bx + c - 0 không có nghiêm hữu tỉ

là nghiệm của phương trìn h

nh ủ n g số nguyên, nguyên tố cùng n hau

29* Trong mọi cặp nghiệm của phương trìn h X2 - yx2 -

- y + 8x + 7 = 0, hãy tìm cặp nghiệm (x, y) m à y có giá trị lốn nh ất

§2 C ác b à i t o á n q u y về p h ư ơ n g t r ì n h b ậ c h a iTrong chương trìn h phổ thông, chúng ta thường gặp các bài toán phải giải; các phương trìn h hoặc hệ phương trìn h ,

mà các phương trìịnh hoặc hệ phương trìn h đó thường được

th ể hiện dưới cúc hình thức:

- Phương trình bậc cao;

* Phương trìn h vô tỉ;

- Phương trìn h siêu việt;

- Phương trìn h lượng giác, v.v

25

Trong p h ần th ứ hai ctưói đây và tập III, chúng tôi sẽ trìn h bày m ột cách đầy đủ và có hệ thổng các phương p h áp

để giải các loại bài to án đó

Trong chương trìn h này, ch ú n g tôi chỉ nêu m ột vài th í

dụ điển hình, cỏ tín h c h ất m inh họa để bạn đọc th ấ y được vai trò của phương trìn h bậc hai

Cáe p h ầ n bài tậ p về loại này n h ư n g khó hơn (có th am sô)

sẽ được trìn h bày trong §2 của chương II

1 Phương trình bậc cao

Để giải một phương trìn h bậc ba, bậc bốn, ta cỏ th ể dù n g phép th ử trự c tiếp để tìm ra m ộ t nghiệm đặc biệt, hoặc dùng phương pháp nhóm các sô' h ạ n g để p h â n tích đa thứ c

th à n h tích các th ừ a số bậc n h ấ t hoặc bậc hai Có nhữ ng phương trìn h ta phải dùng ẩ n số p hụ để đưa vế phương trìn h bậc th ấ p hơn

Ta x ét một số ví <iụ m inh họa

Chủ ý Đối với phương trình hậc ba ax3 + bx2 + CX + d = 0

ta cẩn biết hai tính chất sau:

1 Nếu a + b + c + d = 0, thì phương trình có một nghiệm

b) G iải phương trìn h ứng vói các giá trị m đã tỉm được

Giải: a) M uốn phương trìn h đă cho có nghiệm bằng -1,

ta phải có (-1 )3 - (m2 - m +7) (-1) - (3m2 - 3m - 6) = 0, hay là m 3 - m - 6 = 0, từ đó:

Ví d ụ 3. Giải phương trìn h :

X4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0

Giải: Đối vối phương trìn h này r ấ t khó đoán n h ậ n được một nghiệm đặc biệt! Trong trư ờng hợp này ta phải khôn khéo nhóm các số h ạn g m ột cách th ích hợp để p h ân tích đa thức th à n h tích các th ừ a số Ta có:

Vói t, = 6, ta có: X + — = 6,

X

hay là X2 - 6x + 5 = 0, hay ]à Xj = 1; x2 = 5

5Vối t<> = 4,5 ta có X + — = 4,5,

phương trìn h hồi quy)

Cáeh giải các phương trìn h dạng tổng q u á t này hoàn toàn tương t ự như cách giải phương trìn h đã cho

kTrong trường hợp đặc biệt: — = 1, tức là đôl với những

hay là t 2 + 2t - 3 = 0.

Phương trìn h này có h a i nghiệm : tj = 1 và t 2 = -3.Vôi t-Ị = 1, ta có X2 + 5x + 4 = 1, hay là X3 + 5x + 3 = 0,

-5 + VĨ3hay là: x 52 = — —

Với t 2 = -3 , ta có X2 + 5x + 4 = -3 , hay là X2 + 5x + 7 = 0 Phương trìn h này vô nghiệm

Vậy, phương trìn h đã cho có nghiệm lắ:

- 5 ± VĨ3 x!>2 2

Chú ý Phương trinh đã cho là một trường hợp riêng của phương trình dạng:

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) - m

với a + b - c + d hoặc a + c = ò + d hoặc a + d - b + c Cách giải phương trình tổng quát này tương tự như cách giải phương trình đã cho.

Phương trìn h này có nghiệm kép t = 0 T ừ đó X + 4 = 0 hay X = - 4

Vậy phương trìn h đã cho có nghiệm kép X = -4

Chú ý Dạng tổng quát của phương trình đá cho là:

X * —

2

C hia cả tử số và m ẫu số của các p h ân thứ c ở v ế trá i cho

X * 0 ta được phương trìn h tương đương

Với tp = 5,5 => 2x + — = 5,5 Phương trìn h này có h a i

X

nghiệm Xj = 2

Vậy phương trìn h đã cho có h ai nghiệm :

3X1 - 2 ĩ x2 = 4 •

Chủ ý. Phương trìn h đã cho là m ột trư ờng hợp riêng của phương trìn h dạng:

Số a được gọi là nghiệm của đa thứ c nếu f(a) = ó

Nghiệm của m ột đa thức có th ể là m ột số hữu tỉ hay vô tỉ, tu y rằn g không có m ột công thức để xác định

nghiệm củá một đa thức tổng qu át, như ng tro n g trường hợp đa thứ c vói hệ số nguyên, ta có m ột phương pháp đơn giản để tìm cả các nghiệm hữu tỉ của đ a th ứ c ấy.

Phương pháp này dựa trê n định lý sau:

Đ ịnh lý. Giả sử f(x) = a0xn + aỊX11"1 + + a n.jX + a nl à đa thức với hệ số nguyên

Nếu đa thức f(x) có nghiệm h ữ u tỉ c th ì số c n h ấ t th iế t

p h ải có dạng: c = — , trong đó p là m ột ưóe số (dương hay

q

âm) của a n và q là một ước sô” của a o

T ừ định lý trê n ta suy ra phương pháp sau đây để tìm được t ấ t cả các nghiệm h ữ u tỉ (nếu có) của đa thức f(x) = a 0xn + + a n.jX + a n vói các hệ sô'nguyên

Bước 1. a) Tìm tấ t cả các ưốc sô' p củ a số h ạn g tự do a n

b) Tìm tấ t cả các ước sô' q của sô 'h ạn g a 0

nghiệm của đa thức hay không

Làm n h ư vậy sẽ p h á t hiện được tấ t cả các nghiệm hữu tỉ (nếu có) của đa thức f(x) Đặc biệt nếu ỏ bưốc 3

Ví dụ 8. Giải phương trìn h 3x3 - 14x2 + 4x + 3 - 0.

Giải: Trưóc h ế t ta hãy th ử xem phương trìn h đã cho có nghiệm hữu tỉ hay không Ta áp dụ n g phương ph áp tìm nghiệm hữu tỉ ở trên

SỐ h ạng tự do ( = 3) có t ấ t cả các ưổc sô' tà ±1; ±3

H ệ số cao n h ấ t ( = 3) có t ấ t cả các ước số là ±1; ±3.Vậy nghiệm hữ u tỉ, nếu có, p h ải là m ột tro n g các sốsau đây: ±1; ± — ; ±3

n h ấ t th iế t phải là m ột nguyên và số nguyên ấy là ưốc số của a n

BÀI TẬP

1 Giải các phương trìn h sau:

5 Xác địn h các số nguyên a, b sao cho phương trìn h

35

2 Các phương trình vô tỉ quy về phương trình bậc hai.

Ví dụ 1. Giải phương trìn h Ì5 x - 1 - Ì3 x - 2 = "V X - 1

Giải: Điều kiện để phương trìn h có n g h ĩa là:

Với điểu kiện (*), phương trìn h đ ã cho tương đương với phương trìn h :

Ì5 x - 1 = Vx - 1 + l3 x - 2 ,

Cả h a i v ế của phương trìn h đều không âm , bình phương

cà h a i v ế ta được phương trìn h tương đương:

5x - 1 = 4x - 3 + 2 1(x “ 1> (3x - 2 ),

h ay là: X + 2 = 2 V(x - 1) (3x - 2)

Với X > 1 th ì cả h a i v ế của phương trìn h trê n đểu không âm , bình phương h a i v ế ta được phương trìn h tương đương:

(x + 2)2 = 4(x - 1) (3x - 2),

h a y là: l l x 2 - 24x + 4 = 0

2Phương trìn h này có h ai nghiệm : x l = 2 và x2 = — Chỉ có nghiệm Xj = 2 th ỏ a m ãn điều k iện (*)

Vậy phương trìn h đ ã cho có n ghiệm là X = 2

Chú ý Khỉ giải phương trình vô tỉ, một phương pháp

p h ổ biến thường dừng là biến đổi phương trinh đã cho thành phương trình tương đương bằng cách lũy thừa cả hai v ế đ ể giảm bớt căn thửc (phương ph á p hữu tỉ hóa).

C ần chú ý điều kiện h ạ n c h ế cùa nghiệm để loại những nghiệm không thích hợp

h ay là X > 1.

Ví dụ 2. (Dự trữ A - 1977) G iải phương trình:

2^(1 + x)1 2 + 3^ 1 - X2 + a/(1 - x)2 = 0

(n là số nguyên dương cho trưóc)

Giải: a) Nếu n là s ố chẵn th ì phương trìn h đã cho tương đương với hệ:

1Với u 2 = - — , ta có:

Chú ý rằn g vối phương trìn h đã cho, nếu ta chia cảhai vế cho 'V i - X2 * 0 th ì ta được phương trìn h tương đương:

Do

(*)

1Vậy phương trìn h (*) có dạng: 2u +

Từ đây dễ dàng suy ra nghiệm X.

u + 3 = 0

Vậy phương trìn h đã cho có nghiệm là X j = l ; x 2 = - l

Chú ý Trong vi dụ 1 và ví dụ 2 kh i giải phương trình, chúng ta đã dùng phương pháp đặt ẩn số phụ Đối với phương trình mủ, ngoài các phương pháp: đưa về lũy thừa cùng một cơ sô'hoặc lôgarit hóa, phương pháp này cũng rất hay được sử dụng.

1 Giải các phương trìn h sau: