CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC CẬP NHẬT CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA MỚI

Mục lụcTrần Văn Nhung Lê Đại Hải, Mai Công Mãn, Tạ Duy Phượng Dãy truy hồi tuyến tính cấp một - một mô hình toán học đơn giản Phạm Văn Hoằng, Nguyễn Chí Quân Nguyễn Văn Ngọc Hoàng Văn Th

NGUYỄN VĂN MẬU - HOÀNG VĂN THI

(CHỦ BIÊN)

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC CẬP NHẬT CHƯƠNG TRÌNH VÀ

SÁCH GIÁO KHOA MỚI

KỶ YẾU

HỘI THẢO KHOA HỌC

SẦM SƠN 28-28/09/2019

Mục lục

Trần Văn Nhung

Lê Đại Hải, Mai Công Mãn, Tạ Duy Phượng

Dãy truy hồi tuyến tính cấp một - một mô hình toán học đơn giản

Phạm Văn Hoằng, Nguyễn Chí Quân

Nguyễn Văn Ngọc

Hoàng Văn Thi, Lê Văn Tiến

Vũ Tiến Việt

Lê Thị Bình

Lê Văn Cao

Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm số học 1 Nguyễn Bá Đang

Vẽ hình và những gợi ý nảy sinh cho lời giải bài toán hình học tương ứng 1 Huỳnh Kim Linh

Lê Thị Minh

Áp dụng định lí Rolle trong chứng minh bất đẳng thức đa thức 1 Nguyễn Văn Nhiệm

Chứng minh một số bất đẳng thức bằng phương pháp so sánh giá trị của

Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Đỗ An Khánh, Bùi Thị Hằng Mơ, Tạ Duy Phượng

Hoàng Minh Quân, Nguyễn Văn Sơn

Nguyễn Viết Sơn

Một số dạng toán về tính giới hạn của hàm số qua các kỳ Olympic 1 Nguyễn Đình Thanh

Trịnh Khắc Tuân

Một số phương pháp tính giới hạn của dãy lặp 1

Lường Văn Hưng

Lê Văn Lâm

Đặng Thị Huệ, Nguyễn Ngọc Phương Anh

Ứng dụng công nghệ 3D trong dạy học theo chương trình giáo dục phổ thông

T ERENCE T AO - C ON NGƯỜI VÀ SỰ NGHIỆP

Trần Văn Nhung

Tóm tắt nội dung

Bài viết này là câu chuyện về cuộc đời và sự nghiệp của thần đồng Toán học, Giáo

sư Terence Tao (Terry Tao), người khi 15 tuổi đã công bố bài báo khoa học đầu tiên, Cửnhân và Thạc sĩ năm 16 tuổi, Tiến sĩ năm 21 tuổi, Giáo sư năm 24 tuổi (kỷ lục là AliaSabur 18 tuổi, người Pakistan), vẫn đang giữ kỷ lục là học sinh trẻ nhất thế giới (11 tuổi)

3 lần giành Huy chương (Đồng, Bạc, Vàng) IMO và giành Giải thưởng Fields năm 2006khi anh mới 31 tuổi (kỷ lục là Jean-Pierre Serre 28 tuổi, người Pháp) vì đã chứng minhđược một giả thuyết về các cấp số cộng gồm toàn số nguyên tố

1 Thần đồng toán học Terence Tao

Terence Tao (Terry Tao) đã bộc lộ năng lực toán học rất đặc biệt của mình từ khi cònnhỏ và vì thế người ta gọi anh là thần đồng toán học Giáo sư John Garnett của TrườngĐại học Los Angeles, California (UCLA, Hoa Kỳ) thì gọi anh là ”Mozart (của) toán học”.Tao có IQ = 230, thuộc loại cao nhất thế giới, nằm trong topten thiên tài thế giới có IQ từ

190 đến 230 Theo thống kê: 50

Tuy nhiên, chỉ số IQ có tính chất khá chủ quan và đã gây tranh cãi, liệu nó có thể làthước đo thích hợp để đánh giá độ thông minh của một con người Một số người khôngđồng ý và cho rằng thành quả đạt được mới là thước đo sự thông minh Bill Gates và một

số người siêu thành đạt nói (đại ý): Khái niệm thông minh nay đã được hiểu khác trước.Người thông minh không nhất thiết phải "trên giỏi thiên văn, dưới tường địa lý, kinh sửlàu làu" mà phải là người khi được đặt vào bất cứ hoàn cảnh, công việc nào cũng hoànthành xuất sắc, tối ưu

Stephen Hawking thì nói: "Sự thông minh là khả năng thích ứng với những thay đổi"

và "Những ai khoe khoang về chỉ số IQ (chỉ số thông minh) của họ là những kẻ thuacuộc"

Terence Tao sinh ngày 17/7/1975 tại Adelaide (Australia) Bố mẹ anh đều là ngườiHoa, nhập cư từ Hongkong vào Australia Bố anh là bác sĩ nhi khoa, mẹ anh nhậnbằng Cử nhân tại Trường Đại học Hongkong và từng là giáo viên toán bậc THPT tạiHongkong Bố anh kể lại rằng trong một cuộc gặp mặt gia đình, khi mới 2 tuổi anh đãdạy Toán và tiếng Anh cho một cậu bé 5 tuổi Khi được hỏi tại sao Terence Tao biết số vàchữ, bố anh trả lời: Anh học được từ chương trình truyền hình Sesame Street

Nữ Giáo sư Miraca Gross, một chuyên gia nghiên cứu về giáo dục tài năng tại TrườngĐại học New South Wales (Australia), đã viết hẳn một bản tham luận về Terence Tao vàtài liệu này đã được xuất bản bởi Prufrock Press Trong đó bà nhắc lại một kỷ niệm đáng

nhớ về khả năng đặc biệt của Tao khi anh chưa đầy 4 tuổi: ”Cậu bé làm nhẩm trong đầuphép tính nhân các số có hai chữ số, trong khi tôi, một người đến để phỏng vấn cậu ấy,lại cần đến bút và giấy để kiểm tra lại kết quả”.

Thần đồng Terence Tao bắt đầu học đại học khi mới 9 tuổi

Để định hướng cho con mình, Billy Tao (bố của Terence Tao) đã tham khảo ý kiến củanhững chuyên gia về giáo dục cho những đứa trẻ thiên tài Ông nghĩ: ”Để lấy được mộttấm bằng ở độ tuổi còn trẻ, hay để trở thành người phá kỷ lục, thì chẳng có nghĩa lý gì.Tôi thích mô hình kim tự tháp tri thức, chỉ trên đáy rộng và chắc, kim tự tháp mới có thểlên cao Nếu bạn chỉ muốn nhanh chóng đi lên như một cái cột, thì chắc chắn bạn sẽ dễ

bị lung lay ở trên đỉnh và rồi bạn sẽ bị đổ sụp xuống” Và Billy Tao đã mời các giáo sưtoán học làm thầy dạy con mình Nhờ đó mà Terence Tao đã có một sự nghiệp tuyệt vời.Người viết bài này (Trần Văn Nhung) cho rằng suy nghĩ trên của Billy Tao không chỉđúng trong lĩnh vực toán học và các khoa học mà còn đúng theo cả nghĩa rộng hơn chobất cứ ai muốn trở thành một con người thành đạt, nhân văn, hài hòa và hạnh phúc: Dù

là một thần đồng hay một học sinh, sinh viên bình thường, ngoài việc học tập, nghiêncứu chuyên môn (đương nhiên với tốc độ và kết quả có thể rất khác nhau), ai cũng cầnphải trau dồi thêm nền kiến thức văn hoá đủ chắc, đủ rộng, để đặt chuyên môn của mìnhtrên đó, vào đó

Và cuối cùng thì cần phải rèn luyện để có sức khỏe và sự dẻo dai làm nền tảng chotất cả những điều vừa nói ở trên, cho sự nghiệp và cho việc làm người Như M D.Vauvenargues đã nói: ”Ta phải chăm sóc sự khỏe mạnh của thân thể để giữ gìn sự khỏemạnh của trí tuệ”; hay như A Chekhov: ”Cần có trí tuệ minh mẫn, đạo đức trong sáng

như một vài thần đồng khác Thì ra để vun trồng được một thần đồng, một tài năng đặcbiệt cũng cần có những ông bố, bà mẹ, thầy cô giáo và môi trường xuất sắc.

Xin trích nguyên văn một đoạn từ tài liệu [b]:

”Vào ngày 16-7-1983, một ngày trước sinh nhật lần thứ 8 của Terence Tao, KenClements - một chuyên gia về giáo dục những trẻ em có năng khiếu toán học, đã đếnthăm nhà cậu bé để đánh giá khả năng của cậu Trong quá trình đánh giá, anh đã đưacho Tao một chuỗi các câu hỏi được viết ra giấy, và Tao trả lời bằng miệng mà không hềviết gì ra giấy Tất cả các câu trả lời của cậu đều đúng

Dưới đây là các câu hỏi và câu trả lời của Tao:

Câu 1: Hai đường tròn có bán kính bằng 2cm và 3cm Khoảng cách giữa các tâm củachúng là 4cm Vậy chúng có giao nhau hay không?

Tao: Có Nếu chúng không giao nhau, khoảng cách giữa các tâm của chúng sẽ lớnhơn 5

Câu 2: Một chiếc kim giờ sẽ tạo ra một góc bằng bao nhiêu trong 20 phút?

Tao: Đơn giản! 1/3 của 1/12 của một vòng tròn kín là bằng 1/36 của một đường tròn.1/36 của 3.600 tương đương với 100

Câu 3: Một can dầu nặng 8kg Khi rót một nửa số dầu ra khỏi can thì can nặng 4,5kg.Hỏi cân nặng của chiếc can rỗng là bao nhiêu?

Tao: Chú có một phương trình đại số, nhưng khó tính nhẩm Trọng lượng của can+ trọng lượng của dầu = 8 Trọng lượng của can +1/2 (trọng lượng dầu) = 4 1/2 Vậy,trọng lượng dầu = 7kg, trọng lượng can = 1kg

Câu 4: Bây giờ là mấy giờ nếu khoảng thời gian kể từ giữa trưa đến bây giờ bằng 1/3quãng thời gian từ bây giờ đến nửa đêm?

Tao: 1 phần + 3 phần = 12 giờ

Vậy 1 phần = 3 giờ, bây giờ là 3 giờ chiều

Câu 5: Chú đi bộ từ nhà tới trường trong 30 phút, còn anh của chú phải mất 40 phút.Anh chú rời khỏi nhà trước chú 5 phút Vậy trong bao nhiêu phút thì chú sẽ vượt đượcanh ấy?

Tao: 35 phút Nếu chú khởi hành cùng thời gian với anh trai thì chú sẽ đến trước chú

ấy 10 phút Ồ không, 15 phút, bởi vì khi đó cả hai đều đã đi được nửa đường rồi

Câu 6: Chu vi của một tam giác vuông là 5cm Độ dài mỗi cạnh bên của nó là 2cm.Vậy chiều dài cạnh thứ ba bằng bao nhiêu?

Tao: Cạnh thứ ba là 1cm À không, điều đó không đúng Theo định lý Pythagore thì

nó phải là căn bậc 2 của 8 hoặc là Không thể được, phi lý!

Câu 7: Một lớp học nhận được một số cuốn vở thông thường và một số cuốn vở đặcbiệt, tất cả có 80 cuốn vở Một cuốn vở thường có giá 20 cent và một cuốn vở đặc biệt cógiá 10 cent Hỏi lớp học nhận được bao nhiêu cuốn vở mỗi loại?

Tao: Cháu thực sự không biết (cười) (R+S = 80

Tất cả những gì chú cho là giá các cuốn vở Không thể giải được Có thể là 40 cuốnthường và 40 cuốn đặc biệt Hoặc cũng có thể là 50 cuốn thường và 30 cuốn đặc biệt).”

Trích bài phỏng vấn Terence Tao, từ Gazette của Hội Toán học Australia, vào tháng9/2010 (lúc đó Tao 35 tuổi), do Đỗ Đức Thái & Trịnh Duy Tiến (ĐHSP Hà Nội) dịch:

Gazette: Khi anh bỏ qua các lớp, anh có bỏ qua tất cả các môn học hay chỉ môn toán?Terence Tao: Khi 8 tuổi tôi học như các bạn cùng trang lứa những môn như tiếng Anh,Vật lý, Nhưng đối với toán tôi học với các anh chị 11, 12 tuổi

Gazette: Anh đã có nhiều đóng góp cho toán học?

Terence Tao: Không chỉ tôi, còn rất nhiều nhà toán học giỏi Thật tuyệt vời khi đượcnghe về các đột phá trong toán học Tôi muốn nhắc đến Perelman, người đã chứng minh

Giả thuyết Poincaré Đó là một công trình thực sự tuyệt vời!

Gazette: Cộng sự chính của anh là ai?

Terence Tao: Liên tục thay đổi Hiện nay tôi cộng tác nhiều với ba người: Ben Greenlàm về lý thuyết số ở Cambridge, Tamar Ziegler làm về lý thuyết ergodic ở Israel và

Vũ Hà Văn là một nhà xác suất tại Rutgers (Nguồn những tài liệu về Terence Tao:http://terryTerence Tao)

Khi lên 8 tuổi, Tao đã đạt 760 (trên 800) điểm môn Toán khi thi SAT và là một tronghai đứa trẻ duy nhất đạt trên 700 điểm trong lịch sử của chương trình nghiên cứu tàinăng đặc biệt của Johns Hopkins Từ năm lên 9 tuổi anh đã theo học các bài giảng toánhọc ở bậc đại học

Năm 1986, khi mới 11 tuổi, anh đã tham dự Kì thi Olympic Toán Quốc tế (IMO) dànhcho học sinh THPT Kết quả thi của Tao trong ba năm liền như sau: Tại IMO 1986 là 19điểm (HCĐ), 1987 là 40 điểm (HCB) và 1988 là 34 điểm (HCV) Cho đến nay Tao vẫnđang giữ kỷ lục là học sinh trẻ nhất (11 tuổi) tham dự, 3 lần giành HC IMO và là ngườitrẻ nhất (13 tuổi) giành HCV trong lịch sử IMO (từ năm 1959 được tổ chức tại Rumani)

Tại IMO năm 1988 được tổ chức ở Australia, Terence Tao (lúc đó 13 tuổi) và Ngô BảoChâu (16 tuổi) cùng dự thi Bài toán khó nhất năm đó là bài số 6 về số học và trong tổng

số mấy trăm thí sinh chỉ có 3 em làm được bài này, trong đó có Ngô Bảo Châu của ViệtNam và anh đã giành Huy chương vàng với số điểm tuyệt đối 42 trên 42

Bài toán số 6 do CHLB Đức đề nghị (7 điểm), bài khó nhất tại IMO 1988 ở Australia:Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn a2+b2 chia hết cho ab+1 Hãy chứngminh rằng(a2+b2)/(ab+1)là bình phương của một số nguyên (Let a and b be positiveintegers such that ab+1 divides a2+b2 Show that a2+b2/ab+1 is the square of aninteger)

Paul Erd ¨os (72 tuổi) và Terence Tao (10 tuổi) cùng làm toán năm 1985

Paul Erd ¨os (1913-1996, thọ 83 tuổi): Bố mẹ là người Do thái, giáo viên toán ở Hungary

Cả đời Ông công bố 1.525 bài báo khoa học và những giả thuyết (conjectures), treo phầnthưởng cho nhiều bài toán, từ 25 USD - nhiều ngàn USD

Người ta đã thiết lập hẳn Dự án Số Erd ¨os (The Erd ¨os Number Project,https://oakland.edu/enp/) để thống kê, nghiên cứu và tìm ra nhiều điều thú vị xungquanh nhà toán học huyền thoại này của nhân loại trong thế kỷ XX

Số Erd ¨os E là số nguyên mô tả "khoảng cách cộng tác" giữa một người đối với Erd ¨os.Theo thống kê năm 2007: Erd ¨os có 511 đồng tác giả, những người này có số E =1, có 8.162người với E=2 (đồng tác giả với một đồng tác giả của Erd ¨os) và rất nhiều người có số

Erd ¨os là 3, 4, E max hiện nay là 15.

Người ta còn thống kê được Số Erd ¨os của hàng trăm nhà khoa học trên khắp thế giới

đã từng được trao Giải Nobel Vật lý, Hóa học, Y học và Kinh tế, Giải thưởng Fields và cácgiải thưởng cao quý khác Ví dụ: E(M Curie) = 7, E(A Einstein) = 2, E(L V Kantorovich)

= 2, E(A Wiles) = 3, E(N B Châu) = 4, PGS TS Nguyễn Mậu Chung, Khoa Vật lý,Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN, có một bài báo viết chung với Erd ¨os và hơn 200 bài báoquốc tế khác có uy tín

Số công trình, đóng góp và sức lao động của Erd ¨os có thể sánh được vơi L Euler:Euler làm việc một mình và viết nhiều trang hơn, Erd ¨os có nhiều đồng tác giả và cónhiều công trình hơn

GS Tao đang giảng bài hay một SV, NCS đang báo cáo khoa học?

2 Công trình Giải thưởng Fields của Terence Tao

Các bài toán về số nguyên tố mãi mãi là khó khăn và bí ẩn

Các số nguyên tố lớn trở nên thưa thớt hơn, nhưng vào năm 300 TCN nhà toán học

Hy Lạp Euclid đã chứng minh rằng, tập hợp các số nguyên tố là vô hạn Euclid cũngtin rằng có vô hạn những ”số nguyên tố sinh đôi” (twin primes), tức là những cặp sốnguyên tố cách nhau 2 đơn vị, ví dụ như 3 và 5, 11 và 13, nhưng ông không thể chứngminh được Và cũng chưa từng có ai sau ông 2.300 năm làm được điều này

P Erd ¨os đã từng nói: "Nếu một bài toán nào đó được nêu ra mà sau hơn một trămnăm chưa ai giải được thì nó phải thuộc về lý thuyết số"

Vài ví dụ minh họa:

Định lý (nhỏ) Fermat: Với mọi số tự nhiên n, 22n+1 là số nguyên tố Sau này, L Euler(1707-1783) đã cho phản thí dụ với n = 5

Giả thuyết Goldbach do nhà toán học người Đức Christian Goldbach (1690-1764) nêu

ra vào năm 1742 trong một lá thư gửi tới Leonhard Euler, là một trong những bài toán lâudài và nổi tiếng còn chưa giải được trong lý thuyết số nói riêng và toán học nói chung

"Mỗi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 có thể biểu diễn bằng tổng của hai số nguyên tố."

Ví dụ: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 7 + 3, Giả thuyết đã được chỉ

ra là đúng tới 4 × 1018, nhưng đến nay vẫn chưa được chứng minh hoàn toàn.(https://vi.wikipedia.org/wiki/Gi

Câu hỏi: Có tìm được, xây dựng được hay không một đa thức/công thức P(n)mà

P(n)là nguyên tố với mọi n = 1, 2, , n, ? Câu trả lời là không! Thậm chí P(n) lànguyên tố với một dãy con vô hạn của n cũng chưa có Terence Tao chỉ chứng minh, vềnguyên tắc, có dãy số nguyên tố với độ dài bất kỳ, nhưng không chỉ ra được dãy nào cụthể

Hai ”đa thức hiếm”: P(n) =n2+n+41 là số nguyên tố với n=1, 2, 3, , 39 và Q(n) =

n2−79n+1601 là số nguyên tố với n=0, 1, , 79; khi n tăng lên∞ cũng chưa biết hai đathức P(n), Q(n)có cho vô hạn số nguyên tố hay không?

Số nguyên tố p được gọi là số nguyên tố Chen (Trần) nếu p + 2 cũng là số nguyên tốhoặc là tích của hai số nguyên tố Vào năm 1966, Trần Cảnh Nhuận (Chen Jingrun) đãchứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố như vậy

Một số số nguyên tố Chen đầu tiên là

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101

Vào tháng 10/2005 Micha Fleuren và nhóm PrimeForm đã tìm thấy số nguyên tốChen lớn nhất hiện nay, (1284991359×298305+1) × (96060285×2135170+1) −2 với70.301 chữ số

Ứng dụng quan trọng của số nguyên tố: RSA là một thuật toán mật mã hóa khóacông khai được Rivest, Shamir, Adleman đưa ra lần đầu năm 1977 tại ĐH MIT (Mỹ).Khóa RSA được xây dựng đựa trên việc phân tích một hợp số n = p.q, trong đó p và q làhai số nguyên tố đủ lớn, càng xa nhau càng tốt Nói rõ hơn: Khi tìm được n, p, q càng lớn

và p, q cách nhau càng xa thì khóa càng tốt, càng bí mật

Một phương pháp khác để lập khóa nhờ sử dụng các đường cong elliptic (ECC) được

đề xuất độc lập bởi N Koblitz và S Miller vào năm 1985 Một khóa ECC 256- bit có thểbảo mật tốt bằng một khóa RSA 3.072-bit

Đóng góp của Tao

Tao nhận bằng Cử nhân và Thạc sĩ tại Trường Đại học Flinders (Australia) năm 17tuổi Năm 1992, anh giành được học bổng Fulbright để làm nghiên cứu sinh tại TrườngĐại học Princeton (Mỹ) dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Elias Stein và nhận Bằng Tiến

sĩ khi mới 20 tuổi Năm 24 tuổi, anh được phong Giáo sư thực thụ (full professor) củaUCLA (Mỹ) và là giáo sư trẻ nhất trong lịch sử của trường đại học này cho đến nay Tao

đã là giáo sư trẻ kỷ lục thế giới chưa?

Alia Sabur (SN 22/02/ 1989 ở New York, Mỹ, gốc Pakistan) là nhà khoa học vật liệu

Mỹ Cô hiện tại đang giữ kỷ lục Guinness là giáo sư trẻ nhất thế giới khi mới 18 tuổi.(https://vi.wikipedia.org/ wiki/Alia-Sabur)

Tao nghiên cứu nhiều lĩnh vực của toán học như giải tích điều hoà, phương trình

vi phân đạo hàm riêng, tổ hợp, lý thuyết số, xử lý tín hiệu, Tạp chí NewScientist(22/8/2006) viết: ”Terence Tao là nhà toán học trẻ nổi tiếng đến mức mà nhiều nhà toánhọc trên thế giới đều muốn lôi cuốn anh về cùng giải bài toán của mình và anh trở thànhmột trong những Ông ”Thợ giải toán” hợp tác đắc lực với các đồng nghiệp trên thế giới”.Giáo sư C L Fefferman (Giải thưởng Fields) nói: ”Nếu bạn bị bế tắc trong một bàitoán, một trong những cách giải quyết là tìm cách lôi cuốn Terence Tao” Giáo sư JohnGarnett (UCLA) còn nói : ”Tao viết 56 bài báo khoa học trong vòng hai năm và tất cảnhững bài này đều có chất lượng cao Còn tôi năm nào may mắn thì được ba bài”

Năm 2006, khi mới 31 tuổi, tại Đại hội Toán học thế giới (ICM) lần thứ 25 ở Madrid,Tao là một trong những người trẻ nhất, người Australia đầu tiên và là giáo sư đầu tiêncủa UCLA giành được Giải thưởng Fields vì những đóng góp to lớn của mình cho lýthuyết phương trình đạo hàm riêng, tổ hợp, giải tích điều hoà và lý thuyết số cộng tính.Công trình được Giải thưởng Fields của anh mang tên ”Các cấp số cộng dài trong các số

nguyên tố” hay ”Về cấu trúc và ngẫu nhiên”[e].

Terence Tao (31 tuổi) nhận GT Fields năm 2006 ở ICM tại Tây Ban Nha

Theo tôi biết, cho đến nay trong lịch sử GT Fields (1936-2018), không phải ence Tao mà Jean - Pierre Serre (SN 1926, năm nay 92 tuổi, Pháp, học trò của H.Cartan) đang giữ kỷ lục trẻ nhất (28 tuổi) khi giành GT Fields năm 1954 (Nguồn:https://stats.areppim.com/listes/list-fieldsxmedal.htm)

Ter-Ngoài ra, Terence Tao còn giành được nhiều giải thưởng toán học cao quý khác vàđược mời tham gia ban biên tập của nhiều tạp chí toán học nổi tiếng thế giới Anh làViện sĩ của Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Anh, Viện Hàn lâm Khoa học Australia,Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Hoa Kỳ, Hiện nay Terence Tao đang sống hạnhphúc cùng với vợ và con trai tại Los Angeles (Hoa Kỳ)

Định lý Green-Tao (Ben Green ở Đại học Cambridge (Anh) và Terence Tao ở UCLA(Mỹ), năm 2004): Dãy các số nguyên tố có chứa cấp số cộng độ dài tùy ý Nói cách khác,cho k là số tự nhiên bất kỳ, luôn tồn tại cấp số cộng độ dài k gồm toàn số nguyên tố

Ngày 12 tháng 4 năm 2010, Benoãt Perichon với phần mềm của Wróblewski và GeoffReynolds trong dự án PrimeGrid đã tìm ra cấp số cộng với độ dài kỷ lục cho đến naygồm 26 số nguyên tố (dãy số A204189 trong bảng OEIS):

43.142.746.595.714.191+23.681.770×223.092.870×n,

với n=0 đến 25 (https://vi.wikipedia.org/wiki/

Chứng minh nhờ một mở rộng của Định lý Szemerédi Do công trình xuất sắc này mà

T Tao được trao GT Fields năm 2006 (https://vi.wikipedia.org/wiki/

Endre Szemerédi đã chứng minh Giả thuyết Erd˝os-Turán, một tổng quát hóa của Định

lý van der Waerden

Năm 1936 Erd˝os và Turán đưa ra giả thuyết rằng với mọi giá trị d gọi là mật độ thỏamãn 0 < d < 1 và số nguyên k, tồn tại số nguyên N(d, k) sao cho mọi tập hợp con A của

1, , N với lực lượng dN đều có một cấp số cộng độ dài k, nếu N > N(d, k) Đây là mộttổng quát hóa của định lý van der Waerden

Trường hợp k = 1 và k = 2 là tầm thường Trường hợp k = 3 được chứng minh năm

1956 bởi Klaus Roth bằng phương pháp đường tròn Hardy-Littlewood Trường hợp k

= 4 được chứng minh năm 1969 bởi Endre Szemerédi bằng phương pháp tổ hợp Cuốicùng trường hợp tổng quát cho mọi k được chứng minh năm 1975, cũng bởi Szemerédi.(Nguồn:https://vi.wikipedia.org/wiki/

Terry hạnh phúc bên vợ, Laura (kỹ sư tại NASA, Mỹ) và hai con

[10] Và một số tài liệu khác trên Internet với đường link cụ thể trong bài.

Tác giả rất cám ơn GS TS Trần Vũ Thiệu và PGS TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học,VHLKHCNVN) về những ý kiến và nhận xét có giá trị!

D ÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

CỦA NHIỀU BÀI TOÁN THỰC TẾ

Lê Đại Hải, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà NộiMai Công Mãn, Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

Tạ Duy Phượng, Cộng tác viên Viện Toán học

Tóm tắt nội dung

Bài viết trình bày các bài toán thực tế dẫn đến mô hình toán học là dãy truy hồi tuyếntính cấp một và ứng dụng dãy truy hồi tuyến tính cấp một trong giải toán cũng nhưtrong giải các bài toán thực tế

1 Từ các bài toán thực tế

1.1 Sử dụng tài nguyên thiên nhiên

Ví dụ 1.1 (Thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội,

Trung học Cơ sở, 2017) Dự báo với mức độ tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay, trữ

lượng dầu sẽ hết sau 100 năm Thay vì mức độ tiêu thụ dầu không đổi, do nhu cầu thực

tế, mức tiêu thụ dầu năm sau tăng lên 5% so với năm trước Hỏi sau bao nhiêu năm sốdầu dự trữ sẽ hết?

Lời giải. Giả thiết rằng mức tiêu thụ dầu hàng năm như hiện nay là A đơn vị Khi ấytrữ lượng dầu là 100A Nếu xnlà lượng dầu sử dụng vào năm thứ n thì x1 = A Với tỉ lệtăng 5%/năm thì x2 =1.05x1 =1.05A và

xn=1.05xn − 1=1.052xn − 2 = · · · =1.05n−1x1=1.05n−1A

Tổng lượng dầu sử dụng sau n năm là

Sn =x1+x2+ · · · +xn= A+1.05A+ · · · +1.05n−1A= (1+1.05+ · · · +1.05n−1)A

= 1.05n−11.05−1 A=

1.05n−10.05 A.

Để xem lượng dầu sử dụng được bao lâu (với mức tăng hàng năm là 5%), ta cần xácđịnh n để tổng lượng dầu bằng 100A, tức là 1.05

0.05 A=100A hay 1.05

1

1.2 Lạm phát Lạm phát xảy ra khi đồng tiền bị mất giá Tỉ lệ phần trăm tăng lên

trong chỉ số giá bán lẻ trong một năm được gọi là tỉ lệ lạm phát của năm Ví dụ, khi nói tỉ

lệ lạm phát là 3%/năm, nghĩa là ta cần 1.03 đô-la khi mua một vật trị giá là 1 đô-la trướcđây một năm (giả thiết vật cũ vẫn giữ nguyên giá) Với tỉ lệ lạm phát là 3%/năm thì

x1=1.03x0, x2 =1.03x1 =1.032x0, , xn=1, 03nx0.Sau 20 năm ta muốn mua một vật trị giá lúc đầu là 1000 đô-la thì cần số tiền là:

Mặc dù tỉ lệ lạm phát r = 3% là bình thường trong thực tế, sau một thời gian dài giá trịđồng tiền bị mất giá một cách đáng kể Ví dụ, với tỉ lệ lạm phát vẫn là 3%/năm, hỏi saubao lâu thì giá trị đồng tiền chỉ còn một nửa? Để trả lời câu hỏi này ta cần tìm n sao cho

xn= (1+ 3

100)

nx0 =2x0.Vậy n = ln 2

ln 1.03 ≈23.44, tức là, sau khoảng 24 năm, ta cần 2 đô-la để mua một vật trị giálúc đầu là 1 đô-la (với giả thiết vật sau 20 vẫn giữ nguyên giá như ban đầu)

1.3 Phân rã chất phóng xạ

Chất có chứa chất phóng xạ (quặng có chứa chất radium, ) thường xuyên phát ramột lượng chất phóng xạ và do đó lượng chất phóng xạ có trong chất ấy bị giảm dần

Thời gian mà chất phóng xạ giảm chỉ còn một nửa được gọi là chu kì bán rã.

Giả sử xnlà lượng chất phóng xạ còn lại sau n năm Nếu tỉ lệ phân rã là r thì

xH = 1

2x0, hay(1−r)

2x0.Suy ra

1−r = (1

2)

1

H Thay vào phương trình trên ta được

Ví dụ 1.2. Khi đo tỉ lệ carbon-14 trong một xác động vật chết, người ta thấy nồng độcarbon-14 chỉ còn 54% lượng carbon-14 ban đầu Để xác định thời gian động vật đósống, ta sử dụng công thức (2.3) với xn =0.54x0và H=5730 Ta có

0, 54x0 =xn= (1

2)

n

5730 x0hay

0, 54= (1

2)

n

5730 Suy ra

n=5730×ln 0, 54

−ln 2 ≈5094 năm.

Vậy động vật đó đã chết cách đây khoảng 5100 năm

1.4 Bài toán tăng trưởng dân số

Bài toán tăng trưởng dân số là một bài toán thực tế, thường xuyên được dùng làm đề

thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử từ năm 1996 đến nay Nội dung của nó

thường được phát biểu như sau

Dân số của một thành phố (một nước) A hiện nay là x0(người) Tỉ lệ tăng dân số hàngnăm là r% Hỏi sau n năm, số dân của thành phố (nước) A sẽ là bao nhiêu người

Lời giải. Số dân sau một năm sẽ là x1 =x0+r%x0= (1+r%)x0

Số dân sau n năm sẽ là xn= (1+r%)xn− 1

Đây cũng chính là cấp số nhân Số dân của thành phố A sau n năm sẽ là

Nhận xét 1.1. Theo công thức (1.4), biết ba trong bốn đại lượng n, r, x0, xn, ta dễ dàngtính được đại lượng còn lại Cụ thể:

1) Biết n, r, x0 Khi ấy xnđược tính theo công thức (2.4);

2) Biết n, x0, xn Khi ấy

r = r xn n

3) Biết r, x0, xn Khi ấy

Ví dụ 1.3(Thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa

Thiên-Huế, Trung học cơ sở, 2006-2007) Dân số của một thành phố năm 2007 là 330.000

người

Câu 1Hỏi năm học 2007-2008, dự báo có bao nhiêu học sinh lớp 1 đến trường, biết trong

10 năm trở lại đây tỉ lệ tăng dân số mỗi năm của thành phố là 1.5% và thành phố thựchiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1?

Câu 2Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố chỉ đáp ứng được 120 phòng học cho họcsinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh thì phải kiềm chế tỉ lệ tăng dân số mỗi năm

là bao nhiêu, bắt đầu từ năm 2007? (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)

Lời giải Câu 1 Gọi a (đơn vị: người) là số dân đầu năm 2000 của thành phố Khi đó:

Câu 2.2Gọi x là tỉ lệ tăng dân số cần khống chế từ năm 2007

Vì số dân năm 2007 là 330000 người nên số dân năm 2008 là: 330000× (1+ x

Giải phương trình trên ta được:

x1 =1, 256928578; x2 =101, 2569286

Vậy tỉ lệ tăng dân số cần khống chế là 1, 25%

1.5 Bài toán lãi suất tiết kiệm

Bài toán lãi suất tiết kiệm cũng là một bài toán thực tế, thường xuyên được dùng làm

đề thi Giải toán trên máy tính điện tử từ năm 2000 đến nay Nó cũng đã xuất hiện trong đề

thi Trung học Phổ thông 2017 và 2018 Mặc dù phát biểu ngày càng phức tạp (theo thờigian), nhưng các bài toán dạng này thực chất cũng chỉ là áp dụng các công thức (1.1),(1.2),(1.4), (1.5), (1.6),(1.7)

Lãi képSau một đơn vị thời gian (tháng, năm), lãi được gộp vào vốn và được tính

lãi Loại lãi này được gọi là lãi kép.

Ví dụ 1.4(Thi Tốt nghiệp Trung học Phổ thông 2018, Đề số 101 Câu 16; Đề số 107 Câu

20; Đề số 109 Câu 16; Đề số 115 Câu 16; Đề số 117 Câu 22; Đề số 123 Câu 19) Một người

gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 7.5%/năm Biết rằng nếu không rút tiền rakhỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho nămtiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu vàlãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thayđổi và người đó không rút tiền ra?

Đáp số(khoanh tròn đáp án đúng): A 11 năm B 9 năm C 10 năm D 12 năm

Ghi chú: Để cho gọn, ở đây chỉ nêu đáp số của một Đề Đáp số các Đề khác đã được

Bài 1.1(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 102 Câu 24; Đề số 108 Câu 22; Đề số 110

Câu 22; Đề số 116 Câu 17; Đề số 118 Câu 22; Đề số 124 Câu 20) Một người gửi tiết kiệm

vào một ngân hàng với lãi suất 7, 2% /năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngânhàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấpđôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi vàngười đó không rút tiền ra?

A 11 năm B 12 năm C 9 năm D 10 năm.

Bài 1.2(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 103 Câu 25; Đề số 105 Câu 22:; Đề số 111

Câu 22; Đề số 113 Câu 17; Đề số 119 Câu 22; Đề số 121 Câu 25) Một người gửi tiết kiệm

vào một ngân hàng với lãi suất 6, 6%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngânhàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấpđôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi vàngười đó không rút tiền ra?

A 11 năm B 10 năm C 13 năm D 12 năm

Bài 1.3(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 106 Câu 24; Đề số 104 Câu 16; Đề số 112

Câu 24; Đề số 114 Câu 16; Đề số 120 Câu 23: Đề số 122 Câu 16) Một người gửi tiết kiệm

vào một ngân hàng với lãi suất 6, 1%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngânhàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấpđôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi vàngười đó không rút tiền ra?

A 12 năm B 13 năm C 10 năm D 11 năm

Bài 1.4(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2017, Đề số 101 Câu 35; Đề số 107 Câu 31; Đề số 109

Câu 38; Đề số 115 Câu 33; Đề số 117 Câu 39; Đề số 123 Câu 41) Một người gửi 50 triệu

đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏingân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếptheo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệuđồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người

đó không rút tiền ra

A 13 năm B 14 năm C 12 năm D 11 năm

Bài 1.5(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2017, Đề số 102 Câu 41; Đề số 108 Câu 38; Đề số 110

Câu 43; Đề số 116 Câu 36; Đề số 118 Câu 40; Đề số 124 Câu 39) Đầu năm 2016, ông A

thành lập một công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm

2016 là 1 tỷ đồng Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dung để trả lương cho nhânviên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm nào dưới đây là nămđầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2

tỷ đồng ?

A Năm 2023 B Năm 2022 C Năm 2021 D Năm 2020

Bài 1.6 (Sở Giáo dục – Đào tạo Thừa Thiên-Huế Đề thi học sinh giỏi tỉnh 2008-2009

Khối 12 Trung học phổ thông Đề chính thức Ngày thi: 17-12-2008) Lãi suất của tiền gửi

tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi Bạn Châu gửi số tiềnban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0, 7% tháng Sau chưa đầy một năm, thì lãi suất tănglên 1, 15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãisuất giảm xuống còn 0, 9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa,khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bạn

Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng?

1.6 Cuộn giấy, cuộn vải

Cuộn giấy gồm một lõi carton đường kính d0 bằng 4 cm và cuộn giấy quấn quanhlõi Cuộn giấy thường chứa 60 lá giấy mỗi lá dài 25 cm, do đó tổng chiều dài cuộn giấy

là 1500 cm Cho rằng giấy được quấn quanh một lõi đường kính d0, sau mỗi vòng quấntổng đường kính của cuộn giấy tăng lên 2t, trong đó t là bề dày của giấy Giả sử xncm làtổng chiều dài cuộn giấy khi quấn n vòng quanh lõi, như vậy, x0= 0 Đường kính ngoàicủa cuộn giấy là dn = d0+2tn cm Điều này khiến chiều dài của cuộn giấy tăng lên từvòng thứ n sang vòng thứ n+1 là xn+ 1 =xn+π(d0+2tn) Như vậy, ta có công thức

xn+ 1 =xn+π(d0+2tn) (1.8)

Để tìm được công thức nghiệm của phương trình này (công thức biểu diễn tường minh

xn từ công thức (1.8), ta cần có kiến thức về dãy truy hồi (phương trình sai phân) cấpmột, được trình bày dưới đây

2 Mô hình toán học

Nhận xétTất cả các bài toán thực tế trình bày trong Mục 1 đều dẫn đến một mô hình

toán học đơn giản là Dãy truy hồi (hay Phương trình sai phân) tuyến tính cấp một.

2.1 Khái niệm

Dãy truy hồi (Phương trình sai phân) tuyến tính cấp một là dãy có dạng

xn+ 1 =qxn+dn, n=1, 2, (2.9)Nếu q=1, dn ≡dthì ta có

Dãy xn + 1=qxncòn được gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp một thuần nhất.

Nếu dnkhông đồng nhất bằng 0 thì dãy (1.9) được gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp một

không thuần nhất

Như vậy, dãy truy hồi tuyến tính cấp một là trường hợp tổng quát của cấp số cộng và cấp

số nhân

Cho trước giá trị ban đầu x0và dãy dn, ta dễ dàng tính được nghiệm (số hạng tổng quát)của dãy truy hồi (1.9):

Nhận xét 2.2. Với giá trị ban đầu x0 và dãy dn cho trước, ta dễ dàng tính được nghiệmcủa dãy truy hồi (1.9) trên máy tính theo công thức định nghĩa (1.9) (công thức truy hồi)hoặc công thức nghiệm tổng quát (12) Đây chính là một trong những thế mạnh của máytính điện tử

2.2 Nghiệm tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính không thuần nhất

Khi chưa biết giá trị ban đầu x0, bằng qui nạp, ta dễ dàng chứng minh được rằng,dãy truy hồi tuyến tính cấp một thuần nhất xn + 1 = qxn có nghiệm tổng quát dạng

˜xn =Cqn, với C là một số bất kì

Dãy{¯xn}thỏa mãn (1.9) với mọi n được gọi là nghiệm riêng của (1.9) Ta có

Mệnh đề 2.1. Nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) có dạng

xn= ˜xn+ ¯xn,trong đó ˜xn =Cqnlà nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

xn+ 1 =qxnvà ¯xnlà một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1.9)

Chứng minh. Giả sử ¯xnlà nghiệm riêng của (1.9), tức là ¯xn + 1 = q¯xn+dnvới mọi n và

˜xn =Cqnlà nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất xn+ 1 =qxn Khi ấy

xn+ 1 = ˜xn+ 1+¯xn+ 1 =Cqn+1+q¯xn+dn =q(Cqn+ ¯xn) +dn= q(˜xn+ ¯xn) +dn =qxn+dn.Vậy xn = ˜xn+ ¯xn =Cqn+ ¯xnlà nghiệm tổng quát của (1.9)

Dễ dàng thấy rằng nghiệm của (1.9) ứng với giá trị ban đầu x0có dạng

xn =qnx0+ ¯xn

Tìm nghiệm riêng trong một số trường hợp đặc biệt

Theo Mệnh đề 2.1, để tìm công thức nghiệm của (1.9), ta phải tìm một nghiệm riêng.Dưới đây ta sẽ tìm nghiệm riêng của dãy (1.9) trong một số trường hợp đặc biệt, tuy

nhiên, vẫn tương đối tổng quát.

Mệnh đề 2.2Giả sử dn=Pk(n)là một đa thức bậc k của n

Nếu q 6=1 thì có thể tìm một nghiệm riêng ¯xncủa phương trình không thuần nhất (1.9)dưới dạng ¯xn=Qk(n)(đa thức bậc k của n )

Nếu q = 1 thì có thể tìm một nghiệm riêng ¯xn của phương trình (1.9) dưới dạng

¯xn =nQk(n)(đa thức bậc k+1 của n )

Chứng minh. Xem, Ví dụ, [6], trang 12; [7], trang 47

Ví dụ 2.5. Tìm nghiệm của phương trình

xn+ 1 =xn+2n2, x0 =1, n>0

Lời giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất xn + 1= xnlà xn=C

Vì q=1 và dn=2n2nên tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng (cao hơn dnmộtbậc)

¯xn= n(C1n2+C2n+C3).Thay vào phương trình ta được đẳng thức sau đúng với mọi n>0 :

3)

Vì x0 = 1 nên C−1 = 2 hay C= 3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho ứng với điềukiện ban đầu x0=1 là xn =3(2

Nếu q 6=1 thì do dn = d(là đa thức bậc 0 với mọi n ) nên ta tìm một nghiệm riêng dạng

¯xn =c(đa thức cùng bậc với đa thức dn =d)

Thay vào phương trình xn + 1=qxn+dta được c= qc+d, suy ra c= d

1−q.Vậy nghiệm tổng quát của (13) có dạng xn= Cqn+ d

1−q.Nếu biết x0thì C = x0− d

1−q Nghiệm của phương trình (13) với điều kiện ban đầu x0là

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất xn + 1= xnlà xn≡ C

Nghiệm riêng được tìm dưới dạng xn = cn (đa thức bậc nhất của n cao hơn đa thức

dn≡ dmột bậc)

Thay vào phương trình xn + 1= xn+dta được c(n+1) =cn+d Suy ra c=d

Vậy nghiệm tổng quát của dãy xn + 1 =xn+d(cấp số cộng) là xn=C+nd

Nếu x0cho trước thì xn =x0+nd

Đây chính là công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức này cũng dễ dàng chứng minh trực tiếp như sau:

Mệnh đề 2.3(Nguyên lí chồng chất nghiệm) Giả sử dn có dạng dn = d(n1)+d(n2) và

xn(i), i=1, 2, là nghiệm riêng của các phương trình

xn+ 1 =qxn+d(ni), i=1, 2,Khi ấy xn =x(n1)+x(n2)là nghiệm riêng của phương trình

xn+ 1 =qxn+dn= qxn+d(n1)+d(n2).Như vậy, để tìm nghiệm riêng của xn+ 1 = qxn+d(n1)+d(n2), ta chỉ cần tìm nghiệm

riêng của các phương trình đơn giản hơn:

3 Ứng dụng của phương trình sai phân cấp một trong

giải toán và trong các bài toán thực tế

Nhận xét 3.3. Các công thức nghiệm của dãy truy hồi tuyến tính cấp một trong Mục 2

rất có ích trong giải toán và trong giải các bài toán thực tế

phương trình trên dưới dạng đa thức bậc hai (cao hơn đa thức dn= nmột bậc:

¯xn= n(C1n+C2).Thay vào phương trình ta được đẳng thức đúng với mọi n :

(n+1)(C1(n+1) +C2) =n(C1n+C2) +n

So sánh hệ số của hai vế ta được C1 = 1

2; C2= −

1

2.Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là xn=C+n(n−1)

Ta cũng đã biết cách tính Sn=1+2+ · · · +nnhư sau

Viết lại tổng trên dưới dạng Sn =n+ (n−1) + · · · +2+1

Cộng hai đẳng thức trên ta được

Ví dụ 3.8. Xét phương trình sai phân xn + 1= xn+ (n+1)2

Nghiệm của phương trình thuần nhất xn + 1 =xnlà xn=C

Vì dn = (n+1)2là một tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dưới dạng

¯xn= n(an2+bn+c).Thay vào phương trình ta được đẳng thức đúng với mọi n :

(n+1)(a(n+1)2+b(n+1) +c) =n(an2+bn+c) + (n+1)2.Suy ra a= 1

Ví dụ 3.9. Xét phương trình sai phân xn+ 1= xn+ (2n+1)2.

Nghiệm của phương trình thuần nhất xn + 1 =xnlà xn =C

Vì dn = (2n+1)2là một tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dưới dạng đa thức bậc ba

¯xn =n(an2+bn+c)

Thay vào phương trình ta được đẳng thức đúng với mọi n :

(n+1)(a(n+1)2+b(n+1) +c(n+1)) =n(an2+bn+c) + (2n+1)2.Suy ra a= 4

3, b=0, c= −

1

3.Vậy phương trình đã cho có nghiệm là xn =C+ 4

12+32+ · · · + (2n+1)2 = 1

3n(4n

2−1)

Tiểu kết

Như vậy, có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình sai phân như một

phương pháp để tính tổng Phương pháp này hay hơn cách chứng minh qui nạp ở chỗ,chứng minh qui nạp thường phải biết trước công thức nghiệm, còn phương pháp

phương trình sai phân cho cách tìm công thức nghiệm Phương pháp này cũng cho phép

sáng tạo các bài tập tính tổng của các số theo một qui luật nào đó Hơn nữa, có thể đisâu nghiên cứu về phương trình sai phân cấp một theo [2]-[4], [6], [7] để tìm tổng củacác biểu thức lượng giác, biểu thức chứa hàm mũ,

Bài 3.10. Tìm nghiệm của phương trình sai phân xn+ 1 = xn+ (2n+1)3 Tính tổng

x0 = 0 nên vớid0 = 4 nghiệm của phương trình trên gồm tổng hai nghiệm riêng tươngứng với hai số hạng d(n1) =4π và d(n2) =4πtn Vì phương trình thuần nhất xn+ 1 = xncó

q = 1 nên nghiệm riêng của phương trình xn+ 1 = xn+4π là 4πn và nghiệm riêng của

phương trình xn+ 1 =xn+π(d0+2tn)là 2πt×1

2n(n−1).Nghiệm của phương trình (1.8) ứng với x0 =0 là xn=4πn+πtn(n−1)

Ví dụ, bề dày của giấy là 0,07 cm và n=70 thì

xn=4π×70+π×0, 07×70×69=1941, 8 cm

Đây là chiều dài của cuộn giấy khi quấn 70 vòng

Tất nhiên, nếu biết chiều dài của cuộn giấy và số vòng quấn, ta có thể tìm được độ dàycủa giấy Ví dụ, khi tời cuộn giấy ra và quấn lại được 61 vòng Toàn bộ cuộn giấy gồm 60

lá chiều dài 25 cm mỗi lá Hỏi bề dày của giấy

Từ công thức xn= d0πn+πtn(n−1)với xn=60×25=1500 cm, n=61 suy ra

t = xn−4πn

πn(n−1)=0,063788204 (cm)

3.3 Tăng trưởng hoặc suy giảm có bổ sung

Ở Mục 1.5 ta đã xét bài toán gửi tiền tiết kiệm Bài toán này có nội dung là: ta gửivào ngân hàng một khoản tiền (đồng), để số vốn đó tự sinh lãi và quên đi, sau một thờigian ta rút tiền ra Số tiền cả gốc lẫn lãi được tính theo công thức số hạng thứ n của cấp

số nhân là xn = qnx0 Tuy nhiên, trên thực tế, ta còn gặp những bài toán phức tạp hơn:

Để mua nhà, trả nợ, , ta thường hay sử dụng loại “tăng trưởng hoặc suy giảm có bổsung”, tức là ta sẽ thường xuyên gửi vào hoặc rút ra một lượng tiền nào đó Xét Ví dụ sau

Ví dụ 3.10. Giả sử rằng vào ngày 1 tháng giêng ta gửi 1000 đô-la với lãi suất 0, 5%/tháng.Khi ấy, sang ngày 1 tháng hai ta có 1000+1000×0, 5%=1005 đôla

Sang ngày 1 tháng ba ta có số tiền là 1005+1005×0, 5%=1010, 025 đôla

Giả sử đầu tháng ba ta rút ra 100 đôla (tiêu đột xuất), như vậy số tiền mà ta còn lại sẽ là

1010, 025−100=910, 025 đôla

Nói chung, nếu xnlà số tiền ta có vào đầu tháng thứ n, thì số tiền ta có do gửi tiết kiệm(với lãi suất r% ) vào đầu tháng thứ n+1 sẽ là xn+ 1= xn+r%xn = (1+r%)xn.

Nếu ta thêm vào hay bớt đi một lượng tiền dnvào đầu tháng thứ n thì số tiền sẽ là

xn+ 1 = (1+r%)xn+dn, n =0, 1, 2, 3, Đây chính là phương trình sai phân bậc nhất tuyến tính không thuần nhất (1.9) đã xéttrong Mục 2

Khi biết giá trị các đại lượng dn, ta có thể lần lượt tính các giá trị xn+ 1 theo công thứctruy hồi trên Trong Ví dụ 3.3.1, với n=0 ta có d0=0 và

Bài 3.13 (Thi chọn đội tuyển thi Giải toán trên máy tính,Trường THCS Cát Tiên, Đồng

Nai, 2004) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1.000.000 đ (một triệu

đồng) với lãi suất tiết kiệm 0, 45% một tháng Hỏi sau hai năm người ấy nhận được baonhiêu tiền (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Bài 3.14 (Sở Giáo dục – Đào tạo Hải Phòng Đề thi chọn đội tuyển Giải toán trên máy

tính năm 2007-2008) Hai vợ chồng có một con mới vào lớp 6 quyết định: Mỗi tháng

sẽ gửi đều đặn vào ngân hàng 800.000 đồng (tám trăm nghìn đồng) với lãi suất 0, 25%/tháng cho đến khi con học hết lớp 12 Hỏi sau 7 năm (84 tháng), vợ chồng để dànhcho con số tiền là bao nhiêu? Số tiền lãi là bao nhiêu? (Tính đúng số tiền đến nghìn đồng)

Bài 3.15(Bộ Giáo dục và Đào tạo, Thi Giải toán trên máy tính điện tử, Trung học Cơ sở,

2010) Câu 1 Một người gửi tiết kiệm 250.000.000đ (hai trăm năm mươi nghìn đồng)

loại kì hạn 3 tháng vào ngân hàng với lãi suất 10, 45% một năm Hỏi sau 10 năm 9 thángngười đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi tất

cả các định kì trước đó Câu 2 Nếu với số tiền ở Câu 1, người đó gửi tiết kiệm loại kì

hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 10, 5% một năm thì sau 10 năm 9 tháng người đónhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi tất cả các định

kì trước và nếu rút tiền trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn

là 0, 015% một ngày (1 tháng tính 30 ngày) Câu 3 Một người hàng tháng gửi tiết kiệm

10.000.000 đ (mười triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0, 84% một tháng Hỏi sau 5năm người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãitất cả các định kì trước đó

4 Thay lời kết

Bài viết minh họa khả năng sử dụng một mô hình toán học đơn giản (dãy truy hồituyến tính cấp một) trong giải toán và đặc biệt, trong giải các bài toán thực tế Khá nhiềucác bài toán thực tế dẫn đến phương trình sai phân tuyến tính cấp một đã được sử dụng

làm đề thi học sinh giởi Giải toán trên máy tính (xem, Ví dụ, [1], [5]) Nếu biết khai thác các

kiến thức về phương trình sai phân cấp một và cấp cao, xem, Ví dụ, [2]-[4], [6], [7], thì cóthể sử dụng chúng trong giải toán và/hoặc giải quyết được những lớp bài toán thực tếphức tạp hơn

Tài liệu

[1] Bùi Việt Hà, Hướng dẫn sử dụng nhanh Geogebra, School@net.

[2] Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Đỗ An Khánh, Bùi Thị Hằng Mơ, Tạ Duy

Phượng, Geogebra-Một công cụ thí nghiệm trong phân tích đa thức ra thừa

số, Kỷ yếu Hội thảo Seminar toán Olympic (Nguyễn Văn Mậu chủ biên),Trường Trung học Cơ sở Cầu Giấy, 02/05/2019 Xem thêm: Big School:https://stream.bigschool.vn/static/Bigschoolvn/document/2019/05/8Geogebra24-4-2019.pdf

[3] Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Bùi Thị Hằng Mơ, Tạ Duy Phượng, Sử dụng phần mềm

Geogebra trong tìm hiểu môt số giả thuyết về số nguyên tố , Kỷ yếu Hội thảo Các chuyên

đề toán học cập nhật chương trình và sách giáo khoa mới(Nguyễn Văn Mậu, Trần QuốcTuấn chủ biên), Lạng Sơn 02-03/03/2019

[4] Lại Đức Thịnh, Giải đáp thắc mắc, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, Số 29 (tháng 2-1967).

[5] Lại Đức Thịnh, Nói chuyện về số nguyên tố, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, số 7-1966.

[6] Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997, trang 343 [7] Trần Đỗ Minh Châu, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Khác Toàn,Tuyển tập các đề thi Giải

toán trên máy tính, Trung học cơ sở 2003-2011, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2013

[8] Lê Đình Định, Bài tập Phương trình sai phân, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011 [9] Nguyễn Văn Mậu, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006.

[10] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, Chuyên đề chọn

lọc Dãy số và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2008

[11] Phạm Thị Nhàn, Tạ Duy Phượng, Trần Dư Sinh, Các đề thi học sinh giỏi Giải toán trên

máy tính điện tử cấp tỉnh, thành phố và toàn quốc, Trung học Phổ thông, 2008-2015(Bảnthảo)

[12] Tạ Duy Phượng, Phạm Thị Hồng Lý, Một số dạng toán thi học sinh giỏi Giải toán trên

máy tính-Phương trình sai phân, Nhà xuất bản Giáo dục, 2005, 2006, 2008

[13] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương trình sai phân, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

Hà Nội, 2004

M ỘT TIÊU CHUẨN KIỂM TRA SỐ VÔ TỈ VÀ ỨNG

DỤNG

Phạm Văn Hoằng, Hội Toán học HN;

Nguyễn Chí Quân, Lớp CLC, Khoa Toán, ĐHSP HN

Tóm tắt nội dung

Đặt vấn đề: Trong bài báo [1], chúng tôi đã xem xét bài toán tìm giới hạn của một sốdãy tổng riêng Một vấn đề đáng quan tâm là giới hạn của các dãy tổng riêng là số vô tỉhay hữu tỉ Bài báo này, chúng tôi tập trung vào việc đưa ra tiêu chuẩn để một số thực là

số vô tỉ, từ đó ứng dụng để xem xét giới hạn của các dãy tổng riêng và một số bài toánliên quan

Xét dãy số(un), ta xét dãy tổng riêng (Sn)được xây dựng như sau: Sn = u1+u2+

· · · +un Nếu(Sn)có giới hạn là c thì ta kí hiệu: u1+u2+ · · · +un+ · · · =+∞

∑

1

ui.Chẳng hạn, nếu un = u1.qn, n = 1, 2 thì với 0 < q < 1, ta có công thức tính tổngcủa cấp số nhân lùi vô hạn: u1+u2+ +un+ · · · = u1

Câu hỏi đặt ra là nếu a là số vô tỉ thì có tồn tại n nguyên sao cho{na} =0?

Bài toán 2.1 Cho α là số vô tỉ Với e>0 tùy ý, luôn tồn tại n sao cho 0< {nα} <e.

Chứng minh. Xét khai triển thập phân của α

α= A, a1a2 an

Khai triển này là thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Theo nguyên lý Dirichle, với mỗi p, tồn tại i>jsao cho

Bài toán 2.2 Cho α là một số vô tỉ tập{nα, n∈Z}là trù mật trong đoạn[0; 1].

Theo Bài toán 1, với e>0 bất kì thì tồn tại n0sao cho{ 0α} <e

|{nα} − {x}| <λ.Giả sử{nα} =c Khi đó, k∈Z sao cho|{knα} −x| <c

Như vậy, ta cần chứng minh:∀ε>0 bất kì thì tồn tại n∈Z sao cho n0α= k+c

Với x∈ [0; 1]bất kì,∃n1∈Z sao cho

⇒: Giả sử α là số vô tỉ Theo Bài toán 1, ta có∀e>0,∃n∈ Z sao cho 0< {nα} <e

⇔: Giả sử α là số thực thỏa mãn∀e>0,∃n∈Z sao cho 0< {nα} <e

Giả sử phản chứng α không là số vô tỉ, vậy α∈Q Khi đó, tồn tại n∈N∗sao cho nα ∈Z.

Khi đó, lấy 0<ε <min{{α},{2α}, ,{(n−1)α}}, ta sẽ thấy được điều mâu thuẫn

Từ đó ta sẽ thu được điều phải chứng minh

Như vậy, ta thấy được thêm môt tính chất khác biệt nữa giữa số hữu tỉ và số vô tỉ

Đây có thể coi Định lí 1 như là một tiêu chuẩn để chứng minh giới hạn của một dãy tổng

riêng là số vô tỉ hay số hữu tỉ

3 Một số ứng dụng

3.1 Tính chất giới hạn dãy tổng riêng dạng nghịch đảo

Bài toán 3.1 Cho dãy số dương(un)thỏa mãn tính chất

3.2 Tính chất giới hạn dãy tổng riêng theo khai triển hệ cơ số 2

Trong mục này, ta xét dãy số(un)được xác định bởi

Ta có dãy(un)hội tụ ( dãy tăng bị chặn trên bởi 1 ) về số thực không âm c và 0≤ c≤1

Bài toán 3.2 Biết rằng dãy(un)thỏa mãn điều kiện (3.2) và ck(k+1) = 1 với k ∈N và ci =0

trong các trường hợp còn lại Chứng minh rằng c là số vô tỉ.

Từ đó ta suy ra được c thỏa mãn điều kiện Định lí 1 Vậy c là một số vô tỉ (đpcm).

Tiếp theo, ta đặt δ(n)là chỉ số mang chữ số 1 thứ n tính từ bên trái sang

Đặt φ(n) = δ(n) −δ(n−1), áp dụng cách chứng minh của bài 2 ta nhận được kếtquả sau:

Bài toán 3.3 Cho dãy(un)thỏa mãn điều kiện (3.2).

Nếu lim

n →+ ∞sup φ(n) = +∞ thì c là giá trị vô tỉ.

Bây giờ ta xét trường hợp lim

n →+ ∞sup φ(n) =c1 < +∞Khi đó, ta có

n →+ ∞ inf φ(n) =1 và limn →+ ∞ sup φ(n) =2.

Câu hỏi đặt ra bây giờ đó là: Liệu có tồn tại trường hợp+∑∞

n →+ ∞ inf φ(n) =1 và limn →+ ∞sup φ(n) =2.

Như vậy, trong trường hợp lim

n →+ ∞sup φ(n) < +∞ thì ta chưa thể kết luận được gì vềgiá trị hội tụ của chuỗi số

Như ta đã biết, khi viết một số hữu tỉ dưới dạng thập phân thì sẽ có hai trường hợp:hữu hạn hoặc là vô hạn tuần hoàn Liệu điều đó có đúng cho các hệ cơ số khác?

Ta có kết quả sau cho hệ cơ số 2:

Bài toán 3.4 Khi khai triển một số hữu tỉ sang hệ cơ số 2 thì khai triển đó, hoặc là hữu hạn hoặc

là vô hạn tuần hoàn-tức là tồn tại n0,k nguyên dương sao cho an+k =an∀ ≥ n0.

Chứng minh. Ta chỉ cần xét các số hữu tỉ m

n <1.

Có 3 trường hợp xảy ra:

+ n lẻ

Khi đó: Chọn số j nhỏ nhất sao cho: n|2j−1

Xét khai triển nhị phân của

n có khai triển sang hệ cơ số 2 là vô hạn tuần hoàn.

Như vậy, bài toán được chứng minh

3.3 Hàm liên tục trên R có tỷ số hai chu kì là một số vô tỉ

Ta nói hàm f(x) tuần hoàn với chu kì T trên tập D nếu ∀x ∈ D, x+T ∈ D và

f(x+T) = f(x),∀x ∈ D Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kì cơbản của hàm f(x)

Định nghĩa 3.1. Hàm số g(x)được gọi là liên tục đều trên tập E ⊂R nếu∀ε>0, tồn tại

λsao cho|g(x) −g(y)| <ε∀x, y∈ Evà|x−y| <λ

Ta có kết quả sau:

Bài toán 3.5 Cho hàm số f(x)liên tục trên R, tuần hoàn với hai chu kì T1, T2sao cho T1

T 2 là số

vô tỉ Chứng minh khi đó f(x)là hàm hằng.

Sử dụng phép biến đổi hàm : f(x) → f(T2x), ta có thể coi hàm số f(x)có chu kì tuần

Tài liệu

[1] Phạm Văn Hoằng, Một số phương pháp tính giới hạn của dãy tổng riêng, Kỷ yếu Hội

thảo Hội Toán học Hà Nội, Lạng Sơn, tháng 3-năm 2019, 79-85

[2] Đoàn Quỳnh (CB), Tài liệu chuyên toán, NXB GDVN, 2016.

Số điện thoại liên hệ: 0988.667.555

M ỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

TRONG TAM GIÁC

Nguyễn Văn NgọcTrường Đại học Thăng Long

Tóm tắt nội dung

1 Mở đầu

Bất đẳng thức hình học nói chung và vất đẳng thức trong tam giác nói riêng là chuyênmục khó trong lĩnh vực Toán Phổ thông, nhưng lại có sức hấp dẫn kỳ lạ, bởi vì các bấtđẳng thức này không chỉ có ý nghĩa về nội dung mà còn khá đẹp về hình thức và đòi hỏinhiều sáng tạo

Bất đẳng thức trong tam giác là chuyên mục lý thú, hấp dẫn nhiều thế hệ nhữngchuyên gia toán học, những người dạy và người học toán trong các trường cấp Trunghọc ở khắp nới trên Thế giới

Hầu hết các bất đẳng thức trong tam giác hiện nay có trong các tài liệu chuyên khảo

đã được tìm ra từ nhiều thế kỷ trước, nhất là Thế kỷ 20 Các bất đẳng thức này có thể tìmthấy trong nhiều tài liệu, thí dụ như các tài liệu [1] và [5]

Nhiều bất đẳng thức trong tam giác mới được tìm ra trong khoảng vài thập niên gầnđây (xem, [3, 4, 7,6] và các tài liệu trong đó), nhưng chưa được hệ thống và giới thiệu ởViệt Nam Mục đích của bài viết này là trình bày một số các bất đẳng thức kinh điển vàbất đẳng thức mới trong tam giác, giúp người dạy và học Toán ở bậc phổ thông có thêm

tư liệu phục vụ cho công việc giảng dạy và học tập

2 Bổ trợ

2.1 Các bất đẳng thức kinh điển của dãy số

Chúng ta sẽ cần đến các bất đẳng thức quan trọng sau đây

Định lý 2.1. (Bất đẳng thức AM−GM).Với n số thực không âm bất kì a1, a2, , an, ta có bất đẳng thức

Định lý 2.2(Bất đẳng thức lũy thừa) Với mọi bộ số không âm a1, a2, , anvà m = 1, 2,

(Với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).

Định lý 2.4(Minkovskii) Với hai bộ số thực{ak}n

2.2 Các đại lượng và định lý thông dụng của một tam giác

Trong phần này ta luôn giả sử tam giác ABC có:

• BC=a, CA=b, AB=c;

• S là diện tích tam giác;

• p là nửa chu vi tam giác;

• ma, mb, mc, wa, wb, wc, ha, hb, hc lần lượt là độ dài các trung tuyến, các phân giác vàcác đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;

• r, R, ra, rb, rc lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp,đường tròn bàng tiếp với các cạnh a, b, c của tam giác ABC

• ∑ a= a+b+c

Định lý 2.5(Định lý hàm số sin) Trong mọi tam giác ABC có hệ thức

asin A =

bsin B =

asin A =2R.

Định lý 2.6(Định lý hàm số cosin) Trong mọi tam giác ABC có hệ thức

a2 =b2+c2−2bc cos A,

b2= c2+a2−2ca cos B,

c2 =a2+b2−2ab cos C

Như một hệ quả của Định lý hàm số cosin, ta có khẳng định Địnhnlý Pitago nổi tiếng

Định lý 2.7(Định lý Pitago) Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi

a2= b2+c2

Định lý 2.8 (Định lý Apollonius-Pappus) Tam giác ABC có các hệ thức sau đây về đường

3 Một số bất đẳng thức kinh điển liên quan đến đường cao và đường trung tuyến

Mệnh đề 3.1 Trong mọi tam giác có bất dẳng thức



≥9r

Do đó vế trái của (3.1) được chứng minh Cũng từ công thức diện tích của tam giác ta có

ha = bc2R, hb=

ac2R, , hc =

ab2R.Suy ra

2R.

Vậy vế phải của (3.1) cũng được chứng minh Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 3.2 Trong mọi tam giác ABC có bất dẳng thức



=9R2.Suy ra

a+b+c≤ √3R, (a+b+c)2≥ 6

3√3(a+b+c)(ha+hb+hc).

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 3.3 Trong mọi tam giác ABC có bất đẳng thức

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.

Chứng minh. Ký hiệu pa, pb, pc tương ứng là khoảng cách từ tâm vòng tròn ngoại tiếptam giác ABC đến các cạnh BC, CA, AB Khi đó

ma ≤R+pa, mb≤R+pb, mc≤ R+pc.Theo công thức tính diện tích của tam giác, ta có

apa =R2sin 2A, bpb=R2sin 2B, cpc= R2sin 2C

Suy ra

pa+pb+pc =R(cos A+cos B+cos C) = R1+ r

R

.Vậy ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b=cvà A= π

3, tức tam giác ABC đều Vậy ta có

4 Bất đẳng thức Brown-Barrero về đường trung tuyến

Mục này trình bày một bất đẳng thức về đường trung tuyến do Brown p.H và Barrero J.L nhận được trong [2] Trước hết ta cần Bổ đề sau đây

Diaz-Bổ đề 4.1 Cho ABC là tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và bán kính đường tròn nội tiếp là

r Khi đó

∑

quay vòng

a2(b+c)(a+b)(a+c) ≤ abc

abc8r2

và vế phải của bất đẳng thức được chứng minh Để chứng minh vế trái của bất đẳngthức, ta chú ý rằng

∑

quay vòng

2a2(b+c)(a+b)(a+c) ≤ a+b+c (4.3)Thật vậy, ta có

∑

quay vòng

a2(b+c)(a+b)(a+c) =

5 Bất đẳng H.Y.Yin mở rộng

5.1 Giới thiệu

Mục này trình bày các kết quả của Jian Liu [4] chứng minh một bất đẳng thức đã biếtliên quan đến cận trên của tổng đường trung tuyến là mạnh Tác giả cũng đã chứng minhmột giả thiết mạnh hơn về bất đẳng thức này, tương đương với bất đẳng thức được đềxuất bởi H.Y.Yin trong [1]

Cho ABC là tam giác có các đường trung tuyến ma, mb, mcvà nửa chu vi p, khi đó ta

có bất đẳng thức sau (xem [1]):

trong đó hằng số 2 là tối ưu

Năm 2000, Chu Xiao-Guang và Yang Xue-Zhi (xem tài liệu trong [4]) thiết lập một bấtđẳng thức mới mạnh hơn, được cho bởi Định lý sau đây

Định lý 5.1 Trong tam giác ABC bất kỳ với các đường trung tuyến ma, mb, mc, nửa chu vi p, bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bất đẳng thức sau đúng:

(ma+mb+mc)2≤4p2−16Rr+5r2 (5.2)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

Bất đẳng thức (5.2) là một cận trên xuất sắc cho biểu diễn(ma+mb+mc)2 Nhưng

các tác giả trên vẫn chưa trả lời một câu hỏi tự nhiên là: tìm giá trị cực đại λ sao cho bất

đẳng thức

(ma+mb+mc)2≤4p2−λRr+ (2λ−27)r2 (5.3)đúng với mọi tam giác ABC

Một trong các mục tiêu của bài báo này là chứng minh kết luận liên quan sau:

Định lý 5.2 Giả sử λ là số thực dương sao cho bất đẳng thức (5.3) đúng với mọi tam giác ABC.

Khi đó λmax=16

Bất đẳng thức (5.3) trở thành (5.2) khi k = 16 Điều này có nghĩa bất đẳng thức (5.2)

là mạnh nhất trong tất cả các bất đẳng thức dạng (5.3)