Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức

Đây là Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức của Megabook Chuyên gia sách luyện thi. Các em có thể tham khảo nhé Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;) http:megabook.vn Chúc các em học tốt

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức

Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3

18 26

z = + i

Giải:

3

18 26

2 3

x xy

x y y

 − =



− =



Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược 1 3, 1

3

t = ⇒x = y= Vậy z=3+i

Ví dụ 2) Cho hai số phức z z thoả mãn 1 ; 2 z 1 = z 2 ; z 1 + =z2 3 Tính z 1 −z2

Giải:

Đặt z 1 = + a b i z 1 1 ; 2 = + a 2 b i2 Từ giả thiết ta có

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 3

a b a b

a a b b







( ) ( ) ( 2 )2

2 a b a b 1 a a b b 1 z z 1

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức

Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2

8(1 ) 63 16 0

' 16(1 ) i (63 16 ) i 63 16 i 1 8i

1 5 12 , 2 3 4

Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2(1 ) + i z 2− 4(2 − − − =i z ) 5 3 i 0

Giải: Ta có ∆’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 Vậy phương trình cho hai nghiệm là:

i

i i

i

2

5 2

3 2

)

1 )(

4 ( 1

4 )

1

(

2

4 )

2

(

2

−

=

−

−

= +

−

= +

+

−

i

i i

i

2

1 2

1 2

)

1 )(

( 1 )

1

(

2

4 )

2

(

+

−

= +

−

−

Ví dụ 3) Giải phương trình z 3 − 9 z 2+ 14 z− =5 0

Giải: Ta có phương trình tương ñương với ( ) ( 2 )

2 z − 1 z − + = 4 z 5 0 Từ ñó ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là 1 1 ; 2 2 ; 3 2

2

Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 2

2 z − 5 z + + + 3 z 3 (2 z + =1) i 0 biết phương trình có nghiệm thực

Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên

3 2

2 1 0

z



+ =



1 2

z −

⇒ = thoả mãn cả hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với

( ) ( 2 )

2

z = − z = − = +i z i

Ví dụ 5) Giải phương trình: z 3 + − (1 2 ) i z 2+ − − =(1 ) i z 2 i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo:

Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có

( ) 3 ( )2 2 3 2

bi + − i bi + − i bi − = ⇔ − i b b + − + b b + − =b i

2

3 2

0

1

b b

b b b

 − =



ñương với ( ) ( 2 )

(1 ) 2 0

z i z − + − + = i z Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm

Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau:z 2 = z

Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( )2

a bi + = +a bi

2 2

2

a b a

ab b

 − =

= −

 Giải hệ trên ta tìm ñược

( , ) (0; 0), (1; 0), ( ; )

2 2

a b = − ± Vậy phương

trình có 4 nghiệm là 0; 1; 1 3

2 2

Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức:

Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:

z + − = − +i z i và z i− = 5

Giải:

Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) Từ giả thiết ta có 1 ( 2) 2 (1 )

( 1) | 5

x y i





+ − =



( )

( )

2 2

1 ( 2) ( 2) (1 )

1 5

x y



+ − =

3

y x

x x

=



− − =

,

x = − y= − Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện

Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ;

1 ( 2 )

i m

m m i

−

a) Tìm m ñể 1

2

z z =

4

z i− ≤

c) Tìm số phức z có modun lớn nhất

Giải:

a) Ta có

2

z

( )

2

1

m

+

( )

2

2 2

2

m

m

+

+

b) Ta có

2

1

c) Ta có

( )

2

max

2

1 1

m

m m

+

+ +

Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện z − − =2 4 i 5 Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất

Giải: Xét số phức z = x+yi Từ giả thiết suy ra ( ) ( 2 )2

ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5

Dễ dàng có ñược M (2 + 5 sin ; 4 α + 5 cos )α Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ

OM

Ta có |z|2=OM 2 = + (2 5 sin ) α 2 + + (4 5 cos ) α 2 = + 25 4 5(sin α +2 cos )α

(sin α + 2 cos ) α ≤ + (1 4) sin α + cos α =5

5 sin α 2 cos α 5

min

max

Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z − − = − 2 4 i z 2i .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất

Giải: Xét số phức z = x+yi Từ giả thiết suy ra

( ) ( 2 ) 2 2 ( )2

số phức z là ñường thẳng y=-x+4

Ta có z = x 2 + = y 2 x 2 + − (4 x ) 2 = 2 x 2 − + = 8 x 16 2( x− 2) 2+ ≥ 8 2 2 Từ ñó suy

Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức

Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết:

a) z 3

z i =

− b) z = − +z 3 4i c) z i − + + =z i 4

Giải:

Gọi z=x+yi

a) Từ giả thiết ta có 3 2 2 9( 2 ( 1) ) 2 2 ( 9 )2 9

z = z i − ⇔ + = x y x + − y ⇔ + − x y =

Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm (0; ),9 3

I R =

b) Từ giả thiết ta có 2 2 ( )2 2

M là ñường thẳng 6x+8y-25=0

c) Giả sử z =x+yi thì z i − + + = z i 4 2 ( ) 2 2 ( )2

( )

( ) ( )

2

2

2

x y

x y



2

2 2

1 16(1)

3 4

4

4(3)

x y

x y

x y

y

y





Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4 Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt

2 2

1

3 4

x + y =

Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số

phức ω = + ( 1 i 3 )z+2 biết rằng số phức z thoả mãn: z− ≤1 2

Giải: Đặt z a bi a b R= + ( , ∈ )

Ta có z− ≤1 2 ( )2 2

Từ

Từ ñó ( ) 2 ( ) 2 ( )2

2

Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( ) 2 ( )2

kính R=4

Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số

phức z sao cho số 2

2

z z

− + có acgumen bằng 3

π

Giải:

Giả sử z=x+yi, thì ( )

( ) ( ) ( )2( 2 )

2

2

z

− +

i

Vì số phức 2

2

z

z

−

+ có acgumen bằng 3

π

, nên ta có:

( ) ( )

2 2

cos sin

π π τ

( )

( )

2 2

2 2

2 2

4 2 2

2 2

x y

y

τ τ





⇒ 

 − +



Từ ñó suy ra y>0 (1) và

2 2

x y

tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox)

Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức:

Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu z ≤1 thì 2 1 1

2

z iz

− ≤ +

Giải:

Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì z = a 2 + ≤ ⇔ + ≤ b 2 1 a 2 b2 1 Ta có

2 2

4 (2 1)

2 1 2 (2 1)

với

2 2

4 (2 1)

(2 )

a b

b a

Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện 3

3

1 2

z z

+ ≤ Chứng minh

rằng: z 1 2

z

+ ≤

Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức z z bất kỳ ta có 1 , 2 z 1 + ≤ +z 2 z 1 z2

Ta có

Đặt z 1

z

II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:

a) 1 ( cos sin )

1 cos sin

i i

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ + b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (  1 cos + ϕ +isinϕ)

Giải:

( )

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

2

2

i

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

- Khi tan 0

2

ϕ >

dạng lượng giác là: tan cos sin

ϕ   π   π 

- Khi tan 0

2

ϕ <

dạng lượng giác là: tan cos sin

ϕ  π  π 

   

- Khi tan 0

2

ϕ =

thì không có dạng lượng giác

) 1 cos sin 1 cos sin

2 sin sin cos cos cos sin

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π π

ϕ  ϕ  ϕ 

- Khi sin ϕ=0 thì dạng lượng giác không xác ñịnh

- Khi sin ϕ>0 thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin

π π

ϕ  ϕ − + ϕ− 

- Khi sin ϕ<0 thì dạng lượng giác là: ( 2 sin ) cos sin

π π

ϕ  ϕ  ϕ 

Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:

a) 1 ( cos sin )

1 cos sin

i i

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ + b) [ 1 (cos − ϕ + i sin ) 1 cos ϕ ][ + ϕ +isinϕ]

Giải:

2

sin cos

i

i

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

−

Khi tan

2

ϕ

>0 thì dạng lượng giác là tan

2

ϕ

π π

Khi tan

2

ϕ

<0 thì dạng lượng giác là - tan

2

ϕ

π π

    

+

   

   

Khi tan

2

ϕ

=0 thì không tồn tại dạng lượng giác

b) [ 1 (cos − ϕ + i sin ) 1 cos ϕ ][ + ϕ +isinϕ]

2sin sin cos 2 cos cos sin

i

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π π

ϕ ϕ ϕ

- Khi sin ϕ=0 thì dạng lượng giác không xác ñịnh

- Khi sin ϕ>0 thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin

π π

ϕ  ϕ − + ϕ− 

- Khi sin ϕ<0 thì dạng lượng giác là:( 2 sin ) cos sin

π π

ϕ  ϕ  ϕ 

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN

Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết 2

2 2 3

Do ñó: 2 2 2 3 2 4 cos 2 sin2

2 cos sin

1 3

2 cos sin

z i

π π

π π





Từ ñó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và − 3

Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: z − +( 1 i 3) biết một acgumen của z

bằng

3

π

Giải: z có một acgumen bằng

3

π

2 2

z z  i

Do ñó: z − + ( 1 i 3)= ( 2) 1 3

2 2

- Khi z > 2, một aacgumen của z − +( 1 i 3) là

3

π

- Khi 0 < < z 2, một acgumen của z − +( 1 i 3) là 4

3

π

- Khi z =2 thì z − + ( 1 i 3)=0 nên acgumen không xác ñịnh

Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1 Biết một acgumen của z là ϕ, tìm một acgumen của:

a) 2

2z b) 1

2z

− c) z z+ d) 2

z +z

Giải:

1

z = , z có một acgumen là ϕ Do ñó z = cos ϕ +isinϕ

cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 cos sin

z = ϕ + i ϕ ⇒ z = ϕ + i ϕ ⇒ z = ϕ −i ϕ

Vậy 2z2 có một acgumen là 2ϕ

b) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒2 z = 2 cos ( ϕ −isinϕ)

( ) ( )

2

2

z

z

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π

Vậy 1

2z

− có một acgumen là ϕ π+

c) Ta có: z z+ =2 cos ϕ

Nếu cos ϕ >0 thì có một acgumen là 0

Nếu cos ϕ<0 thì có một acgumen làπ

Nếu cos ϕ =0 thì acgumen không xác ñịnh

d) z 2 + = z cos 2 ϕ + i sin 2 , ϕ z = cos ϕ −isinϕ

cos 2 cos sin 2 sin 2 cos cos 2 cos sin

3

2 cos cos sin

i

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

Vậy acgumen 2

z +z là

2

ϕ

nếu cos 3 0

2

ϕ >

, là 2

ϕ π+ nếu cos 3 0

2

ϕ <

và không xác ñịnh

nếu cos 3 0

2

ϕ =

Ví dụ 4) Cho số phức 1 cos sin

Tính môñun, acgumen và viết z dưới

dạng lượng giác

Giải:

Ta có:

2

Đặt ϕ =arg z( ) thì

2

8

4

1 cos 2 sin

π π

π π

ϕ = − π = π = = − 

 

−

Suy ra: ,

14 k k z

π

Vì phần thực 1 cos 0

7

π

7

π

− < nên chọn một acgumen là

14

π

−

Vậy 2 cos 4 cos i sin

Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho 1

3

z = và một

acgumen của

1

z i

3 4

π

−

Giải:

Theo giả thiết 1

3

cos sin 3

z = ϕ +i ϕ

( ) ( ( ) ( ) )

z

i

π π

ϕ ϕ

π π π

ϕ π ϕ π

z c π i π

Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho: z 3 i 1

z i+ = + và z+1 có một ácgumen là 6

π

−

Giải: Từ giả thiết

z 3

1

i

z i+ =

2

y

⇒ = −

z+1 có 1 acgumen bằng

6

π

− tức là 1 [ os sin ] ( )3

z τ c  π  i  π  τ i

Ta có z+1=x+1-2i suy ra

3

2 3 1

2 2

x

x

τ

τ τ



+ =





Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP

Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1

a) S C = 2 1 0 n + − C 2 1 2 n + + C 2 4 n + 1 − + C 2 2 n n + −1 2 −C2 2n n+1

2 1 2 1 2 1 2 n 1 2 1n

S C = + − C + + C + − + C + − −C ++

Giải:

Xét

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 + i n + = C n + + iC n + + i C n + + + i n + C n n + + = C n + − C n + + − C n n + + i C ( n + − C n + + − C n n++) Mặt khác ta lại có:

( )2 1 2 1 (2 1) (2 1)

n

= 2 2 cos (2 1) sin (2 1) 2 2 cos (8 3) sin(8 3)

π π

Từ ñó ta có

a) S=-2n

b) S=2n

Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau:

1 n n n

S = − + − +C C C

b) 1 3 5 7

S C = − + − +C C C

Giải:

1 + = + i n C n iC n + i C n + + i C n n n = − + − + 1 C n C n ( i C n − + − +C n C n C n )

( )

n

Từ ñó ta có kết quả

a) 2 cos

4

b) 2 sin

4

Ví dụ 3) Chứng minh rằng: 3 6 1

n

n

Giải: Ta có 2 n = + + + +C n 0 C 1 n C n 2 C n 3 C n n (1)

π π

ε = + ⇒ε =

Ta có

( ) 0 1 2 2 0 1 2 2 3 4

1 + ε n = + C n ε C n + ε C n + ε n C n n = + C n ε C n + ε C n + + C n εC n + (2)

( )2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4

1 + ε n = + C n ε C n + ε C n + ε n C n n= + C n ε C n + ε C n + + C n ε C n + (3)

c π i π c π i π

ε ε ε ε

Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có

( ) ( ) ( 2 0 3 6 ) ( 0 3 6 )

3

n n

n

ε ε

n

n

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Giải phương trình sau trên tập số phức:

3

)

a z =z b z z ) + = +3 4i 2 ( )2

c z − z = i d z ) 2+ + − =2 z 1 i 0

2

) 4 5 0

e z + + =z f )(1 ) + i z 2+ + =2 11 i 0 g z ) 2− 2( z z+ + =) 4 0

2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình:

) 1 4 2 x 5

4

i

b + − x ≤

)1 log 2 1 2 2 0

2 1

−

3) Tìm số phức z sao cho A = − ( z 2)( z i+ ) là số thực

4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện 5; 7

1

z i z

z

+

= + là số thực

5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ñiều kiện

a 2 ( )2

) z − z =9 ) 2 4

2

z i

b

z − =i

+ )3 c z i + = + −z z 3i ) d z + − =3 4 i 2 ) e z + ≥ +1 z i

f z = + −z i ) 2 1

2

z i g

z − >i

+ )2 h z i − = − +z z 2i 1

3

2 2 ) log ( ) 1

4 2 1

z

k

z

− −

6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 2 3 3

2

nhất,nhỏ nhất

7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện ( )( z − 1 z +2i) là số thực và z nhỏ nhất

8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z z i + = z

9) Tìm số phức z thoả mãn 2

2

z + =z và z =2

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:

2 2

)

4

z i z z i

a

z z





− =

1 2

1 2

3 ) 1 1 3

5

z z

+ = −





+



+ =





2

1 2

2

2 1

1 0 )

1 0

z z

c

z z





− + =

12 5

8 3 )

4 1 8

z

z i

d

z z

 − =

 −





−

 −



3 2

2010 2011

2 2 1 0

)

1 0

e





11) Cho phương trình 2 z 3 − + (2 1) i z 2+ − + = (9 1) i z 5 i 0có nghiệm

thực Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình

12) Tìm phần thực phần ảo của 1 2011 w2011

w

z = + biết 1 w 1

w + =

13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:

)

3 3

n

i

a z

i

− + 

+

 

4 6 )

1 5

n

i

b z

i

+

= − + 

7 4 )

4 3

n

i

c z

i

+

=  − 

3 3 )

3 3

i

d z

i

 − 

−

14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng

( )

2

3

n

15) Tìm số phức z sao cho z = −z 2 và một acgumen của z-2 bằng một acgumen của z+2 cộng với

2

π

16) Giải phương trình

0

2

tan 10 4 2 os10

z

0

2

cot 12 6 7 sin12

z