chuyên đề hình học không gian

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng đó... Hãy

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ( ĐÃ LÀM XONG DẠNG 3 PHẦN 1)

I Một số phương pháp dựng thiết diện

I.1 Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng…

1 Phương pháp giải

Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với mô ̣t mặt của T

(thường được gọi là giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao

điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện

2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn

thẳng AD, AB Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’)

2

J

I E

F

B A

C

B'

A' D

M

N

Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó

thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các

tam giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP)

Giải:

Chưa có giao tuyến gốc giữa

mặt phẳng cắt và tứ diện Mặt

phẳng(MNP) có điểm chung P với

mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm

chung nữa ta tìm giao điểm O của

MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB

tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1

mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt

(ABC) theo giao tuyến M1N1 nên

O là giao điểm của MN và M1N1

 OP là giao tuyến gốc Nối OP

cắt AB BC tại E, F

Tùy theo vị trí OP trong tam

giác ABC ta có thiết diện là tứ

P

F

M

giác EFIK (hi ̀nh a) hoặc tam giác EFI (hình b)

Khi MN // M1N1 thì giao tuyến gốc là đường thẳng qua P song song với

M1N1

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường hợp:

a Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD

b Đường thẳng d đi qua điểm C

Giải:

a) d là giao tuyến gốc ta tìm

thêm giao điểm của d với các

cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F

là giao điểm của AB AC, AD

với d

Xét (M, d) và (SAB) có M, H

chung nối MH cắt SB tại N ta có

một đoạn giao tuyến MN Tương

tự nối ME cắt SC tại P, nối MF

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi Gọi M, N là trọng tâm các

tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNE)

Giải:

Gọi I là trung điểm SA

Ta có M thuộc BI, N thuộc DI

A

B

C D

S

Q

Ta có EF là giao tuyến gốc Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm

chung của (MNE) và (SAD) Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,

nối KE, PF Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần

lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó

I.2 Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song

I.2.1 Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với đường thẳng l

1 Phương pháp

Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ // l

Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của

d và (Q) dựng được ngay Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi

đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’

2 Ví dụ

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC

Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với

AD

Giải:

K E

F

M

N G

J

I B

C

D A

Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K

nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại

nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK

Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2

I.2.2 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l

1 Phương pháp

Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường thẳng qua M song song với d và l Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng

2 Ví dụ

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng

tâm tam giác SBD Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB AC

Giải:

Gọi O là giao điểm AC và

BD Ta có trọng tâm M thuộc

SO Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)

trong mp này kẻ qua M đường

thẳng song song với SB cắt SD,

DB tại N, K

Mặt phẳng (M, AC) là mặt

phẳng (SAC) nên qua M kẻ

đường thẳng song song với AC cắt SA SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI

Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB BC tại E, F

Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng

O

I P

F E

Ví dụ 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD Dựng thiết

diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’

BD) (P) cắt (ABCD) theo giao

tuyến qua M và song song với BD

cắt AB CB CD lần lượt tại N, F, E

(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và

song song với AC’ (trở thành bài

toán 1)

H N

EF cắt AC tại I nên (P)  (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó cắt CC’ tại J Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H

Thiết diện là ngũ giác MNHJG

Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d)

(gọi là mặt phẳng (P) Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l

Ví dụ 8: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA

OB OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’ Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:

a Qua F song song với B’E và A’O

b Qua M song song với A’E và OH

Giải:

a Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua F và song song với A’O khó xác định hơn

Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ tại K (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O

Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO'2OI 2 'A J nên A JIO '

là hình bình hành Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ thì d cắt OA AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA AA'

Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’) Thiết diện là ngũ giác FKQJM (H1)

Q

J K

b Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua

M và song song với A’E khó xác định hơn Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua

M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E

Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)

Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB)

Nối MT cắt AB tại G

Thiết diện là tam giác MLG (H2)

I.2.3 Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q)

1 Phương pháp

Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song

Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a

Khi đó (P)  (R) = a’,a’ // a a’ qua M

Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R)

Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện

2 Ví dụ

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc

cạnh D’C’ sao choAM MD: D N NC’ : ’ Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD)

Theo định lý Talet đảo MN, AD’,

DC’ cùng song song với một mặt

D

D' A'

N

Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’)  (C’BD) = C’D nên (P) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’)

Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’

Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’

Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’

Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ

I.3 Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc

I.3.1 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng d

Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam giác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB

Giải:

Gọi I là trung điểm AB ta

có SI  AB (do tam giác SAB

đều), BC  AB suy ra (P) đi

qua M song song với BC, SI

Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại

H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G

Thiết diện là tứ giác EFGH.

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông

góc với đáy Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC

Giải:

Kẻ AH  SC ta có AH  (P)

Ta có: BD AC BD, SA

nên BDSC

Vậy (P) chứa AH và song song BD

Gọi O là giao điểm AC và BD, E là

giao điểm của SO và AH

M

N E

Ta được thiết diện là tứ giác AMHN

Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,

CA = CB = a AA’ = a 2, M là trung điểm CA Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B

Giải:

Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân

tại C nên AB = a 2 Tứ giác ABB’A’ là

hình vuông  AB’  A’B

Gọi H là trung điểm AB  CH  AB

C

B

B'

C' A'

Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì

Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt BB’ tại P Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được

thiết diện là tứ giác MNPQ

I.3.2 Mặt phẳng (P) đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một đường

thẳng l

1 Phương pháp

Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M

Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt phẳng (P) là mặt phẳng (H, d)

2 Ví dụ

Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC

đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện theo a và h

Giải:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có

SO (ABC) khi đó SO AB, gọi M là

trung điểm AB do tam giác ABC đều nên

B S

Theo giả thiết AB = a ta có

2 33

2 Ví dụ

Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên

bằng 3 Gọi M, N là trung điểm AB AC Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Giải:

Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm

SI Do hình chóp đều nên BC  (SAI)

H

D

N

M A

B

C S

Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E

đường thẳng song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC)

Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB SC tại Q, P

Thiết diện là tứ giác MNPQ

Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,

CA = CB = a AA’ = a 2, M, N, I, K là trung điểm CA CC’, AB BB’ Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (IKC)

Giải:

Ta tìm một đường thẳng vuông góc (IKC)

Theo giả thiết:

C

B

B'

C' A'

Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G

chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H,

nối NH cắt CB tại E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE

Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Gọi F là trung điểm

SA M là một điểm bất kỳ trên AD (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P)

Giải:

Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB),

(SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA 

Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song

song với AB

Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M

chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường

thẳng và song song với AB cắt BC tại N

(P)  (ABCD) = MN

N

E F

D

S

C M

Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với

AB cắt SB tại E Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF

Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm

được cách dựng thiết diện Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều

II Các bài toán liên quan đến thiết diện

II.1 Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất

1 Một số lưu ý:

- Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết diện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng Vì vậy ta có thể áp dụng tất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt phẳng để tính

- Công thức diện tích tam giác:



- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos

- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp dụng các phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacovxki …dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình học…

- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a i , i = 1,2,3…

   

, đẳng thức khi a 1 = a 2 =…= a n

2 Ví dụ

Ví dụ 21: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối

xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B

a Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK)

b Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a

Giải:

a Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng

Nối IJ cắt AC tại N, nối IK cắt AB tại M Tam giác IMN là thiết diện cần tìm

I

B C

Ví dụ 22: (Học viện quan hệ quốc tế năm 1999 khối D)

Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB (P) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD

a Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P)

b Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi

c Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất

Giải:

a Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M

và AC, qua M kẻ đường thẳng và song

song với AC cắt BC tại N Mặt phẳng

(ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường

thẳng và song song với BD cắt AD tại Q

tiếp tục quá trình được 2 giao tuyến NP,

QP thiết diện là hình bình hành MNPQ

Q M

B

C

D A

b MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi MN = MQ

Vậy MNPQ là hình thoi khi M thỏa mãn (*)

c Do MN // AC, MQ // BD nên góc giữa MN, MQ không đổi, giả sử là 

BD.AC

S = MN.MQ.sinα = MA.MB.sinα

Để diện tích thiết diện lớn nhất thì tích MA.MB lớn nhất

Mà MA + MB = AB không đổi nên tích đó lớn nhất khi MA = MB hay

M là trung điểm AB

Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là

tam giác vuông tại A M là điểm bất kì thuộc AD (khác A D) Xét mặt phẳng (P) qua M song song SA CD

a Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì?

b Tính diện tích thiết diện theo a b với AB = a SA = b và M là trung điểm AB

Giải:

a Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung,

(P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song

song với SA cắt SD tại Q Tương tự qua M kẻ

đường thẳng và song song với CD cắt BC tại

N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD

cắt SC tại P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ

Ví dụ 24: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a

Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC Xét mặt phẳng (P) đi

qua M và vuông góc với AA’ Đặt AM = x ( 3 3

x

  )

a Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)

b Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x

Tìm x để thiết diện đó lớn nhất

Giải:

a Theo giả thiết M thuộc OA’

Ta có SO  (ABC)

 SO  AA’, tam giác ABC đều

nên BC  AA’ Vậy (P) qua M song

Tương tự kẻ qua M đường thẳng

song song với SO cắt SA’ tại N, qua

N kẻ đường thẳng song song với BC

cắt SB, SC tại H, Q

F

E

G H

N

A' O

A

B

C S

M

Ta có thiết diện là tứ giác EFGH

b Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang

cân đáy HG, EF Khi đó: SEFGH = 1(EF + GH).MN

Ví dụ 25:(Tham khảo đề thi ĐH khối B 2003) Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ Tìm điểm M thuộc AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất

Giải:

Gọi O là tâm hình lập phương và E là

tâm đáy ABCD Đặt AB = a

Do các mặt đối diện của hình lập

phương song song nên (BD’M) cắt các

mặt bên theo các giao tuyến song song

Thiết diện là hình bình hành BMD’N

Kẻ MH  BD’ Ta có:

SBMD’N = 2SBMD’ = BD’.MH

N F

E O

D' A'

Ví dụ 26: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

vuông tại B AB = c, BC = a cạnh bên AA’ = h trong đó h2 > a2 + c2 Một mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với CA’

a Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp (P)

b Tính diện tích thiết diện

Giải: