ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TT 5... Chú ý: Định lí này có thể mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao hơn và cho hàm số n biến số nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục... Cực trị Đặt vấn đề.
Trang 1PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
GIẢI TÍCH I BÀI 14
§ 2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT)
5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao:
Định nghĩa: Cho z ( , )f x y , ta định nghĩa:
'' ( , ) ; '' ( , )
Tương tự nếu z ( , , )g x y z thì:
3
x
2
3
yx
Ví dụ 1
a) zlnx x2 y2 Tính z''xx, z''xy, z''yy d) z sin(xy Tính )
3 2
z
x y
arctan
1
z
xy Tính
'' '' '' , ,
z z z e) w e xyz Tính w'''xyz c) z e xe y Tính z''xx, z xy'' , z''yy
f) g x y( , )(1x) (1m y)n Tính g xx'' (0,0), g''xy(0,0), g yy'' (0,0)
g)
( , )
0 0
CMR f yx'' (0,0)1, f xy'' (0,0) 1
h)
2
( , )
0 0
xy
Tính f xy'' (0,0) ()
i),
2
( , )
0 0
xy
Tính f yx'' (0,0) ()
k), Cho z ysiny
x , tính
2 xx 2 xy 2 yy
l), Cho z xcosx
y , tính
2 xx 2 xy 2 yy
Trang 2m) Cho
3
sin
( , )
, tính f x y f x( , ), xy (0, 0)
2
sin
, 0, 0 ,
x
x y
, f xy 0, 01)
n) Cho
3
sin
( , )
, tính f x y f y( , ), yx (0, 0)
2
sin
, 0, 0 ,
y
x y
, f yx 0, 01)
o) Cho
y x
z ye Tính A x z2 xx 2xyzxy y z2 yy (0)
p) Cho
x y
z ye Tính A x z2 xx 2xyzxy y z2 yy (0)
q) Cho
tan
( , )
f x y
, tính f xx(0, 0) (0)
Định lí Schwart z = f(x, y) có các đạo hàm riêng f xy'' , f yx'' trong lân cận
0( 0, 0)
0( 0, 0)
M x y f xy'' (M0)f yx'' (M0)
Chú ý: Định lí này có thể mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao hơn và cho
hàm số n biến số nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục
Ví dụ 2: Tính các đạo hàm riêng cấp hai: f xy, f yx
a f x y( , ) x y2 3 y5; , ( , )b f x y e xy sin(x2 y2)
Định nghĩa z = f(x, y), ta định nghĩa d z n d d( n1z), 2nN
Nhận xét:
+ Khi x, y là các biến số độc lập ta có:
n n
+ Khi x, y không phải là các biến số độc lập thì công thức trên không còn đúng với n 2
Thật vậy:
2
Trang 3PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Do đó vi phân toàn phần d z n n 2của hàm z nhiều biến số không có dạng bất biến
Ví dụ 3
a) f x y( , )(1x) (1m y)n Tính d f2 0,0)
b) f x y z( , , ) x2 2y23z2 2xy 5xz7yz Tính d f2 (0,0,0)
c) z x2 2y y2 4lnx10ln y Tính d2(1,2) d) z e xy Tính d z 2
e) z e xcosy Tính d z f) 3 f x y( , ) x2y Tính d f2 (1,1) (2dx24dxdy ) g) ( f x y( , ) y3x Tính d f2 (1,1) (6dxdy 6dy2)
h) 1) f x y , x y2 Tính d2f(1, 1) (4dxdy)
2) f x y , y x3 Tính d2f(1, 1) (6dxdy)
i) Cho w f x y có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục; còn u, v không là ( , ) các biến số độc lập Tính d f u v2 ( , )
6 Công thức Taylor
Định lí: f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp (n + 1), liên tục trong lân cận nào đó
của M x y0( 0, 0) Nếu M x0( 0 x y, 0 y cũng nằm trong lân cận đó thì ta có: )
2
1
1
( 1)!
n
n
n
n
Ví dụ 4
a Khai triển f x y( , ) x2 3y2 2xy 6x2y 4 thành chuỗi Taylor ở lân cận điểm ( - 2, 1)
b Khai triển Maclaurin f x y( , )e xsiny đến bậc 3
c Khai triển Maclaurin
1 ( , )
1
f x y
x y xy
d Viết công thức Taylor hàm f x y( , ) y x ở lân cận điểm (1, 1) đến bậc hai
e 1) Cho hàm ẩn z xác định bởi z3 2xzy 0, biết z(1, 1) = 1 Hãy tính một
số số hạng của khai triển hàm z theo luỹ thừa của (x 1) và (y 1)
2) Cho hàm ẩn z xác định bởi z3 2xzy 0, biết z(1, -1) = 1 Hãy tính một số số hạng của khai triển hàm z theo luỹ thừa của (x 1) và (y + 1)
§3 Cực trị Đặt vấn đề
Trang 4I Định nghĩa:z f M( ), MR n
Ta bảo z đạt cực tiểu tại M0 f(M) > f(M0), M U (M0)\{M0}
Tương tự z có cực đại tại M1 f M( )f M( 1), M U (M1)\{M1}
Ví dụ 1 a) z x2 y2 b) z 4x2y2
II Quy tắc tìm cực trị
a, z = f(x,y), đặt x', q y', a ''2, b xy'' , "2
Định lí 1 z = f(x,y) đạt cực trị tại M0,f f x y', ' f M x'( 0)f M y'( 0) = 0
Định nghĩa: ta gọi M0 là điểm tới hạn
' 0 ( ),
x
f M
f M y'( 0)
Định lí 2: Giả sử z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong lân cận
nào đó của M x y0( 0, 0), f M x'( 0)0f M y'( 0) Khi đó:
+ Nếu b2 ac 0 thì f(x, y) đạt cực trị tại M0; cực tiểu nếu a >0, cực đại nếu a
<0
+ Nếu b2 ac 0 thì f(x, y) không đạt cực trị tại M0
+ Nếu b2 ac 0 thì không có kết luận gì về cực trị tại M0
Ví dụ 2: Tìm các cực trị của các hàm số sau:
a 1) z x2 2xarctany2 (zCT(1 ; 0) = 1)
2) z arccotx2 y2 2y ( C§0 ; 1 1
2
b 1) z 3x y2 x3 y4 (zCĐ(6 ; 3) = 27, cực trị tại (0 ; 0)
2) z 3xy2 y3 x4 (zCĐ(3 ; 6) = 27, cực trị tại (0 ; 0)
c 1) z (x22xy e) 2y (zCT
1 1;
e)
2) 1
xy (zCĐ(1 ; 1) = 3)
d) z x3 y3 3xy (zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị tại (0 ; 0)
e 1) z x4 y4 2x24xy 2y2 2) 1 4 4 2 2
1 4
3) z (x2 y2)e(x2y2) 4) z 1 (x2 y2 2/3)
5) z xyln(x2 y2) 6) z x2 xy y2 4lnx10lny
f) x2 y2z2 2x4y 6z11 0
x 2 3 3
z e x y y (zCĐ(0 ; 1) = 2, cực trị tại (2 ; 1)
Trang 5PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
+)
0
0
x
y
z
3 2
x
x
2 1
x
y
1 2
0 ; 1
2 ; 1
M M
+) z xx ex2x 3y y3 4, z xy ex33y2, z yy ex6y
M1 2 0 6 12 zCĐ(M1) = 2
12e4 Không có cực trị
y 3 3 2
z e x x y (zCĐ(1 ; 0) = 2, cực trị tại (1 ; 2)
h 1) z xy3xy (zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị tại (0 ; 0), (0 ; 3), (3 ; 0) 2) z xy x y 3 (zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị tại (0 ; 0), (0 ; 3), (3 ; 0)
3) 2 2 4
x y (zmin1; 2 7, (1 ; 2) không là cực trị) 4) 1 2 2
x y (zmax1; 15, (1 ; 1) không là cực trị)
k 1) z 2x3 2y3 3x2 3y2
(zmax(0 ; 1) = 1, zmin(1 ; 0) = 1, tại (0 ; 0), (1 ; 1) không là cực trị) 2) z 3x2 3y2 2x3 2y3
(zmin(0 ; 0) = 0, zmax(1 ; 1) = 2 tại (0 ; 1), (1 ; 0) không là cực trị) 3) 2 2 2
xy , (zmin(1 ; 1) = 4 = zmin(1 ; 1))
4) 2 2 2
xy , (zmax(1 ; 1) = 4 = zmax(1 ; 1))
5) z x2 2y3 2x3y2 (zmin(1 ; 1) = 2, tại (1 ; 0) không là cực trị) 6) z 2x3 y2 3x2 2y (zmin(1 ; 1) = 2, tại (0 ; 1) không là cực trị)
l 1) 2 2 1
x y (zmin1, 1 5, CT 1, 1 ) 2) 4 2 2
x y (zmax2, 1 7, CT 2, 1 )
m 1) z e2x4x2 2xy y2 (zmin(0; 0) = 0, cực trị tại (-1 ; -1))
2) z e2xx y x)( y 2 (zCĐ(2 ; 1) = e4, cực trị tại (-1 ; -1)) 3) z x4 y4(xy)3 (zmin(3 ; 3) = -54, cực trị tại (0 ; 0))
Trang 64) Tìm a, b,c để hàm số z 2x4 y4 4x2 2y3 đạt cực trị tại M(1,1) và
có z(M) = 0 (a=b=-9, c=11)
n 1) z 2x4 y4 4x2 2y2 (zmin(0; 1) 1 ; (0 ;0) không là cực trị) 2) z x2 2xy2 2y4 4y 1 (zmin(1;1) 2 ; (0 ;0) không là cực trị) 3) z x3 2xy y2x2 (zmin(1;1)1 ; 1 1
3 3 không là cực trị) 4) z 2x23y2 e(x2y2) (zmin(0;0) 1 )
Have a good understanding!