Đạo hàm và vi phân cấp cao.. a Đạo hàm cấp cao... Vi phân cấp cao không có tính bất biến Ví dụ 8.. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG Đặt vấn đề.. Các định lí về hàm khả vi Định l
Trang 1GIẢI TÍCH I BÀI 4
(§9, §10)
§9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp theo)
5 Đạo hàm và vi phân cấp cao
a) Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa. f (n) (x) = (f (n 1) (x))'
Ví dụ 1 a) y = cosx,
cos
2
n
b) y = x , , tính y (n) c) y = log a |x|, tính y (n)
Quy tắc f (n) (x), g (n) (x)
1) ( f(x)) (n) = f (n) (x)
2) (f(x) g(x)) (n) = f (n) (x) g (n) (x)
0
n
n k
Ví dụ 2 y = x lnx, tính y(5) Ví dụ 3. y = sinax cosbx, tính y(20)
Ví dụ 4 y = x2 cosx, tính y(30) Ví dụ 5.
2
1 1
y
x , tính y
(n)
Ví dụ 6. a) 1 22
x
x y
e , tính y
(n)
((2)n e 2x (n + 1 2x))
b) y xln(1 3 ) x , tính y (n) (
1
( 2)!3
3
1 3
n n
n
x
)
2
3
( ),
t
, tính f x ,f x (
2
3
t
e
2
2
2
9 1 2
t
te f
t )
( ),
2
t t
, tính f x ,f x (f 2(1e t),
2 1
t t
e f
e )
e) f(x) = x2 sin(1 x) Tính f(50)(1) (100)
f) f(x) = (1 x)2 cos x Tính f(51)(0) (102)
g) Cho
2
ln
x
f x
x x Tính
2n 0
f ((2n 1)!)
b) Vi phân cấp cao
Định nghĩa d n f = d(d n 1 f)
khi x là biến số độc lập ta có d n f = f (n) (x)dx n
Ví dụ 7. y = x3e x , tính d10y
Trang 2Vi phân cấp cao không có tính bất biến
Ví dụ 8 y = x3, x = t2, có d2y y(2)dx2
Ví dụ 9 a) y = (x + 1)2 ln(2x + 3), tính d11y(1), (8!C112210dx11)
b) y (1x2)ln(2x1), tính d10y(1) (7!C102 29dx10)
Ví dụ 10 a) f x e xsinx, tính d22f(0) (211dx22)
b) f x e xcosx, tính d20f(0) (210dx20)
Ví dụ 11 a) f x( )(x3 1)ln(1x) Tính d7f(0) (540 dx7)
b) f x( )(x3 1)ln(1x) Tính d7f(0) (540 dx7)
§ 10 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG
Đặt vấn đề
1 Các định lí về hàm khả vi
Định lí Fermat. f(x) xác định trên (a ; b), f(x) đạt cực trị tại c (a ; b), f'(c) thì
f'(c) = 0
Ví dụ 1 a) y = x2, x (1 ; 2) b) y = |x|, x (1 ; 1)
Định lí Rolle f(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b), f(a) = f(b) c (a ; b) sao cho f'(c) = 0
Ví dụ 2. f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3), x [3 ; 1]
Ví dụ 3. f x 25x4 , x [1 ; 1] Ví dụ 4 f(x) = x2
+ 2x, x
3
; 1 2
Ví dụ 5 f(x) khả vi [0 ; 1], f'(0).f'(1) < 0 CMR c (0 ; 1): f'(c) = 0
Ví dụ 6 a) Cho a = b + c CMR phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = 0 có
nghiệm thuộc khoảng (1 ; 0)
b) Cho a + b + c = 0 CMR phương trình ax3 + 2bx + 2c = 0 có
nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2)
c) CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ n, phương trình
0
arctan
x
n
không quá 2 nghiệm thực phân biệt
d) CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ n, phương trình
0
arccot
x
n
không quá 2 nghiệm thực phân biệt
e) Cho 6a = 4b + 3c CMR phương trình ax3 + bx2 + c = 0 có ít
nhất một nghiệm trong khoảng (2 ; 0)
Trang 3Định lí Lagrange f(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b) c (a ; b):
f c
Ví dụ 7. f(x) = x(x + 1), x [0 ; 2] Ví dụ 8 f(x) = |x|(x 1), x [1 ; 2]
Ví dụ 9. CMR: |arctana arctanb| |a b|
Ví dụ 10 a) Chứng minh rằng các VCB (x) (x), x +,
(x) = arctan2(x + 1) arctan2x, (x) =
2 2
arccot 1 1
x
b) Chứng minh rằng các VCB (x) (x), x +,
(x) = arccot2(2 x) arccot2(1 x), (x)
2 2
4 arctan 1 1
x
c) Chứng minh rằng
1
1
ln 2
n
k n k , d) Chứng minh rằng
1
1
ln 2 2
n
e) Tìm a để
x
1
x khi x +
(2)
f) Tìm a để
x
1
x khi x +
(3)
g) Hàm số f x x x( 1), 1 x 2 có thỏa mãn định lý Lagrange ? công
thức Lagrange có đúng cho hàm đó ? (thỏa mãn, 3
2
h) Cho x y i, i ( ; ),a b x i y , 1, i i n CMR nếu f khả vi trên (a;b) thì tồn tại số
( ; ),
c a b sao cho
Định lí Cauchy f(x), g(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b) c (a ; b):
(f(b) f(a))g'(c) = (g(b) g(a))f'(c)
Ngoài ra, nếu g'(x) 0, x (a ; b) thì có
Ví dụ 11 f(x) = x2, g(x) = x3, x [1 ; 2]
Ví dụ 12. f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x [2 ; 1]
Ví dụ 13 a) 1) CMR x > 0 có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1)
2) CMR x > 0 có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1)
Trang 4b) 1) Cho phương trình x4 a x1 3 a x2 2a x3 a4 0,
4
1
0
k k
a , có bốn
nghiệm thực phân biệt CMR : 3(a )1 2 8a2
2) Cho f(x) liên tục trên [0,1], khả vi trên (0,1), có f(0)=0, f(1)=1
+) CMR : phương trình f(x)=1-x có nghiệm trong khoảng (0,1)
+) CMR : Tồn tại hai số a, (0,1)b : f a f b( ) ( ) 1
c) Cho phương trình x4 a x1 3 a x2 2 a x3 a4 0,
4
1
0
k k
a , có bốn
nghiệm thực phân biệt CMR : 3(a )1 2 8a2
d) Hàm số f x x x( 1), g x x 1, 1 x 2 có thỏa mãn định lý
Cauchy ? công thức Cauchy có đúng cho hàm đó ? (không thỏa mãn, 1
2
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!