2 Tiệm cận Định nghĩa... Lược đồ khảo sát đồ thị.. a Tập xác định b Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi lõm, tiệm cận, bảng biến thiên c Đồ thị Ví dụ 3.. Tìm các tiệm cận... Đường
Trang 1GIẢI TÍCH I BÀI 6
§11 CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Đặt vấn đề
I Hàm số y = f(x)
1) Điểm uốn
Định nghĩa Điểm I(c ; f(c)) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) là điểm
phân chia phần lồi, lõm của đồ thị hàm số
Cách tìm Tìm (c ; f(c)) sao cho f’’(x) đổi dấu khi x biến thiên qua x = c
2) Tiệm cận
Định nghĩa x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị y = f(x)
0
lim
x x f x
y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị y = f(x)
lim
x (f(x), ax + b) = 0
Khi đó ta có
lim
x
f x a
lim ( )
x
Khi a = 0 ta có tiệm cận ngang
Ví dụ 1 Tìm các tiệm cận
a)
2
2
1
x
y
4 2
4
x y
1 ln
x ,
1
1
x
2
1
x
x
x
Ví dụ 2 Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
4
x
y
x
(x = 2, y = 3x phải ; y = 3x trái)
2
2
1
x
y
x
(x = 1, y = 2x phải ; y = 2x trái)
c )
2
arccot
1
y
x (x = 1, y = 1, y = x + 1 )
d )
2arccot
1
y
x (x = 1, y = 1, y = x 1 )
3
2
arccot
1
y
x (y = 1, y = x + 1) f)
5
4
arccot 1
y
x (y = 1, y = x + 1)
Trang 22)
1
1
x
y xe (tc đứng bên phải x=0 ; y=x+2)
3 Lược đồ khảo sát đồ thị
a) Tập xác định
b) Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi lõm, tiệm cận, bảng biến thiên
c) Đồ thị
Ví dụ 3
3 4
4x 1
y
1
Ví dụ 5
1
x
ln 1 x
II Đường cong cho dưới dạng tham số
( ) ( )
x f t
y g t , t [ ; ] Tương tự như y = f(x), chỉ khác là khảo sát gián tiếp y theo x qua biến trung gian
t, và chú ý
dx x t ;
2
Ví dụ 1
2 3
2 3
x y a , a > 0
Ví dụ 3 x3 + y3 3axy = 0, a > 0 (lá Descarter)
Ví dụ 4 a) 1) Cho y ( )f x , ở đó
2
3
3 2
t
y te
, tính f x f x ( ), ( )
(
2 3
t e
2
2
2
9 1 2
t e f
t
)
2) Cho y ( )f x , ở đó
t t
, tính f x f x ( ), ( ) ( 2 1 t
2 1
t t
e f
e )
b) 1) Cho y ( )f x , ở đó
3
, tính f x f x (( ), ( ) f 4t,
2
4
f
2) Cho y ( )f x , ở đó
3 5
3 5
, tính f x f x (( ), ( )
2
3
t
2
10
t f
Ví dụ 5 Tìm các tiệm cận
Trang 3a)
3
2 3
1 2
1
t
x
t
t y
t
( 2
2 3
3 2 3
1 3 1
t x
t t y
t
(y = 3x 1)
c) 1)
3
3
1 1
2 1
x
t t y
t
( 2
2 3
3
3
1 1 3 1
x
t t y
t
(y = 3x + 1)
3)
3
3
2 1
1 1
x
t t y
t
( 1
3
3
3
1 1 3 1
t x
t y
t
(y = x + 1
3)
d)
3
3
2
1
1 2
1
t
x
t t y
t
( 3 1
III Đường cong cho trong hệ toạ độ cực
1) Hệ toạ độ cực Hệ gồm điểm O, trục Ox gọi là hệ toạ độ cực
M(r ; ),
r OM , 0 r < , = Ox OM , 0 ; 2
Ví dụ 1
a)
2 b) r cos c) r sin d)
1 cos
1 sin
r
Liên hệ với hệ toạ độ Descartes:
(r ; ) (x ; y), x = rcos , y = rsin
(x ; y) (r ; ), r x2 y , 2 arctan y
x, lấy : sin cùng dấu với y
Chú ý Trong hệ toạ độ cực suy rộng ta có < r < , < < +, khi r1 < 0 thì
định nghĩa (r1 ; ) = (r1 ; + )
2 Lược đồ khảo sát đường cong r = f( )
a) Tìm tập xác định
b) Chiều biến thiên: Xét tính chẵn (thì đồ thị đối xứng qua trục cực), lẻ (thì đồ thị đối xứng qua
2), tuần hoàn, chiều biến thiên, cực trị, bảng biến thiên,
tanV r
r , ở đó V là góc dương giữa
OM và vectơ chỉ phương của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M
Trang 4Ví dụ 3 r = asin2 , a > 0 Ví dụ 4 (x2 + y2)2 = a2(x2 y2), a > 0
Ví dụ 5 r = a(1 + 2cos ), a > 0 Ví dụ 6 r = a sinn , n , a > 0
Ví dụ 7 r = a cosn , n , a > 0
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!