Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu

Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu thông tin đến các bạn các nội dung: giới hạn của dãy số; hàm số hàm số một biến; phép tính vi phân hàm một biến số; tích phân xác định; lý thuyết chuỗi. Để nắm chi tiết nội dung kiến thức mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Cơ sở tp Hồ Chí Minh

Khoa Cơ bản 2 – Bộ môn toán

-Giải tích 1

• Giảng viên: Trần Thị Khiếu

• Email: ttkhieu@gmail.com

- Cách tính điểm

+ Chuyên cần : 10% (điểm danh hằng ngày).

+Bài tập : 10% (lên bảng làm bài tập 5 lần).

+Kiểm Tra giữa kỳ: 10% (trắc nghiệm 20 câu).

+Thi cuối kỳ: 70%

Tài liệu học

- Giáo trình giải tích 1, Học viện Công nghệ Bưu

chính Viễn thông, TS Vũ Gia Tê (chủ biên), ThS Nguyễn Thị Dung, ThS Đỗ Phi Nga.

Chương 1: Giới hạn của dãy số.

Số thực

Cho ⊂ ℝ và ∈ ℝ là một cận trên của trong ℝ nếu

Cho ⊂ ℝ và ∈ ℝ là một cận dưới của trong ℝ nếu

Giá trị nhỏ nhất của tập các chặn trên (cận trên) của tập hợp

X được gọi là chặn trên nhỏ nhất (cận trên đúng) của X và kýhiệu là supX, (supremum của X)

Giá trị lớn nhất của tập các chặn dưới (cận dưới) của tậphợp X được gọi là chặn dưới lớn nhất (cận dưới đúng) của X

và ký hiệu là infX, (infimum của X)

Sự hội tụ, sự phân kỳ của dãy số

Dãy được gọi là hội tụ nếu có số ∈ ℝ để

Dãy số được gọi là hội tụ về ∈ ℝ nếu

Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)

Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng lim 1

1

n

n n

Nếu dãy hội tụ đến thì là duy nhất.

Định lý 1.1 (tính duy nhất của giới hạn)

::

n n

Tính chất đại số của dãy hội tụ

• Nếu dãy hội tụ, thì bị chặn trong tập ℝ.

• Nếu dãy tiến đến +∞ thì bị chặn dưới trong tập ℝ

• Nếu dãy tiến đến −∞ thì bị chặn trên trong tập ℝ

Tính bị chặn

    Đặt: M  Maxu1 , u2 , , u n0 ,1 | | a 

Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ

Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy   2

1

n n

k

n u

11

n n

n n

Dãy đơn điệu

• Ta nói dãy  u n là dãy tăng, nếu

Định lý 1.2 (định lý Weierstrass)

Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

1.Xét hiệu số: un+1 – un (so với “0”)

2.Xét thương số: un+1/un (so với “1”)

(dùng cho dãy số dương)

3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = un

Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:

Ví dụ: Chứng tỏ dãy  

!,





Dãy con

Cho dãy   u n  u u1, 2, ,u n, 

kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải

của nó được lấy từ dãy  u n theo một cách chọn bấtDãy con của dãy  u n là một dãy  u n k mà các phần tử

Nếu dãy hội tụ về ∈ ℝ , thì mọi dãy con của nócũng hội tụ về

Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn

Ví dụ:

 

1

2 11

3 2

n

n

n n

Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k

Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau

Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1

Vậy dãy đã cho không có giới hạn

Số e

Xét dãy:   1 1

n n

Một số giới hạn cơ bản

11) lim 0, 0

12) lim 0, 0

n e

p n

lim n 0, 1

n

n

a a

n n

n n

p n

Các phương pháp tìm giới hạn của dãy

1) Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sửdụng các đẳng thức quen biết, …)

Ví dụ Tìm giới hạn của dãy

Ví dụ Tìm giới hạn của dãy

Ví dụ Tìm giới hạn của dãy

Ví dụ Tìm giới hạn của dãy

2

3 1 2

2

3lim

5

n

n

n n

Ví dụ Tìm giới hạn của dãy

3 ( 1)lim

1

n n

n n

1 1 1 lim 1