Bài giảng giải tích 1 bài 11

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TT II.. Ứng dụng hình học 1... Tính thể tích vật thể... Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 5.

GIẢI TÍCH I BÀI 11

§4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT)

II Ứng dụng hình học

1 Tính diện tích hình phẳng

a) Đường cong cho trong toạ độ Descarter

+) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b

   

  1  2

b

a

+) x = g1(y), x = g2(y), y = c, y = d

   

d

c

Ví dụ 1. Tính diện tích giới hạn bởi các đường:

a) y = x(x  1)(x  2) và trục Ox b) y = x2 và 

3 3

x y

c) x = y2(y  1) và trục Oy d) y = x2, 

2 2

x

y , y = 2x

e) x2 + y2  8, y 

2 2

x



2 2

1 ,

2 1

x

x

g) y2  x x 12

h) 1) x  y2 , x2 y2 2y (  1

4 3) 2) 

2

x y , x2 y2  2y (  1

4 3)

b) Đường cong cho dưới dạng tham số

 

 







x x t

y y t ,   t  , không kín Khi đó







 

S y t x t dt

 

 







x x t

y y t , 0  t  T, kín, giới hạn miền nằm bên trái Khi đó

S y t x t dt x t y t dt            

0

1 2

T

x t y t x t y t dt

Ví dụ 2 Tính diện tích giới hạn bởi đường cong:

a) x = a cost, y = b sint, 0  t  2

b) Cycloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost), 0  t  2, y  0

c) Astroide: x = a cos3t, y = b sin3t

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

d) Cardioide: x = a(2cost  cos2t), y = a(2sint  sin2t)

e) x = 3t2, y = 3t  t3

f) x = t2  1, y = t3  t

g) Lá Descarter: 

 3

3 1

at x

t ,  

2 3

3 1

at y

t

c) Đường cong trong toạ độ cực: r = r( ),  = ,  = 





 12 2

Ví dụ 3 Tính diện tích giới hạn bởi đường cong:

a) r = R b) r = a cos2  (hoa hồng 4 cánh)

c) r = a sin3  (hoa hồng 3 cánh) d) r = a(1 + cos ) (cardioide)

e) r2 = a2 sin4

f) r = a cos  , r = a(cos  + sin), miền chứa điểm  

 ; 0 2

a

g) r = 2a cos3  , r  a

2 Tính thể tích

a) Thể tích vật thể có tiết diện thẳng góc với Ox với diện tích S(x) là hàm liên

tục, a  x  b là    

b

a

V S x dx

Tương tự nếu vật thể có tiết diện thẳng góc với Oy với diện tích S(y), c  y  d

thì ta có   y

d

c

b) Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Ox có thể tích là  2 

b

a

Tương tự khi quay hình x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy có thể tích là

 



  2

d

c

 Khi quay y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Oy tạo nên vật thể tròn xoay

có thể tích là 2  

b

a

c) Khi quay r = r( ), 0         quanh trục cực tạo nên vật thể tròn xoay

có thể tích là  







 2  3 sin 3

Ví dụ 4. Tính thể tích vật thể

a) x2 + y2 + z2  R2 b)   

c) Quay y = sinx, y = 0, 0  x   quanh trục Ox ; trục Oy

d)  

2 1

z , z = 1, z = 2 f) x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2

g) z = x2 + 2y2, x2 + 2y2 + z2 = 6

h) Quay một nhịp của đường xicloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost) quanh trục Oy; Ox và y = 2a

i) Khi quay hình y  xarccotx , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox

(  

k) Khi quay hình y  xarctanx , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox

(  

ln 2

l 1) Khi quay hình 

 2

arctan 1

y

x , y = 0, x = 1, quanh trục Ox, (



8 )

2) Khi quay hình 

 2

ar cot x 1

x c y

x , y = 0, x = 1, quanh trục Ox, (

2

8 )

m 1) Khi quay hình phẳng y e x  1, y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy,

( )

2) Khi quay hình y ln(x 1), y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy, (

2)

n 1) Giới hạn bởi x2 z2 4, y2 z2 4 (128

3 )

2) Giới hạn bởi x2 y2 4, x2 z2 4 (128

3 )

3 Tính độ dài cung

a) AB : y = y(x), a  x  b, y’(x) liên tục trên [a ; b], khi đó có  1 2 

b

a

b) AB : x = x(t), y = y(t),   t  , khi đó có    





c) AB : r = r( ),     , khi đó có    





PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

Ví dụ 5 Tính độ dài đường cong

a) x2 + y2 = R2 b) y2 = x3 từ (0 ; 0) đến điểm có hoành độ x = 4

c) r = a(1 + cos ) d)   

2

x a x a

a





 

/2 cos

x

f) Tìm chu vi của tam giác cong giới hạn bởi Ox, y = ln cosx và y = ln sinx

g 1) x = t + cost, y = sint, 0  t   ( 8 4 2 )

2) x = sin2t, y = 2t  cos2t, 0  t   (8)

3) y = arcsin e x , 0  x  ln2 (ln 2  3)

h)











6

4

1

3

1 4

2

,  0 t 48 (26

3 )

i 1)     





2 cos 2

, 0 sin 2

t





 





sin 2

, 0

2 cos 2

t

k 1)   



 



3 2

1

2 3

, 0 t 5 (19) 2)   





3 2

2 3

3 2

, 0 t 3 (14)

3)   





3 2

1

2 3

, 0 t 5 (19) 4)   





2 3

2 3

3 2

, 0 t 3 (14)

l 1)







 



cos ln tan ,

sin ,

t

(ln 2)













sin

cos lncot ,

t

3 ln

2 )

m 1)   2 

2

[ ln( 1)] 1

x

y t t dt , 2 x 3 ( 3  3

4 ln 4 ln3

2)   2

3 [( 1)ln ] 1

x

y t t dt , 3 x 4 ( 15 11

12ln 4 ln 3

4 Tính diện tích mặt tròn xoay

a) y = f(x), a  x  b quay quanh trục Ox, f’(x) liên tục:

 2 1 2

b

a

y y dx (y  0)

+) Tương tự, x = x(y), c  y  d quay quanh trục Oy, x’(y) liên tục:

 2 1 2

d

c

x x dy (x  0)

 

 







x x t

y y t ,   t   quay quanh trục Ox





 2y t x2 t y2 t dt (y  0)

Tương tự, nếu quay quanh trục Oy





 2x t x2 t y2 t dt (x  0)

c) r = r( ),      quay quanh trục cực

     





 2r  sin r2  r2  d 

Ví dụ 6. Tính diện tích tròn xoay

a) y = tanx, 0  x  /4 quay quanh trục Ox

b) x2 + y2 + z2 = R2

c) r = 2R sin  quay quanh trục cực

d) r = a(1 + cos ) quay quanh trục cực

e) x = a(t  sint), y = a(1  cost), 0  t  2 quay quanh trục Ox ; Oy

2

a

y e e , 0  x  a quanh trục Ox (   

2

4

a

h) x2/3 y2/3 a2/3 quay quanh Oy; quay quanh y = x

i) Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn (x + 3)2 + y2 = 1 quay

quanhtrục Oy (122)

g) 1) y  cosx,   

2 x , quay quanh ox ([ 2 ln(1 2)])

2) y  sinx ,    0

2 x , quay quanh ox ([ 2 ln(1 2)])

3) r 3(1cos ) , quay quanh trục cực (288

5 )

Have a good understanding!