Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến số

Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến số trình bày định nghĩa hàm số; các hàm số thông dụng; giới hạn hàm số; tổng hữu hạn của các vô cùng bé; tích của hai vô cùng bé; tính chất và quy tắc của vô cùng lớn.

Chương 2: Hàm số một biến số

ĐỊNH NGHĨA HÀM HÀM SỐ

• Tập X gọi là miền xác định.

• Tập Y =f(X) gọi là miền giá trị.

• x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối

số

• y=f(x) gọi là biến phụ thuộc hay còn

được gọi là hàm số và được gọi là giá trị

∀ , ∈ ; ≠ ⇒ ≠ ( ).

Đơn ánh.

Toàn ánh.

Song ánh (vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh).

∀ ∈ , ∃ ∈ : = .

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

∀ , − ∈ : = − ∀ , − ∈ : = − (− )

Hàm số tuần hoàn

( ) tuần hoàn trên vớichu kỳ nếu:

• Ta nói nói hàm là hàm giảm, nếu

• Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là

tăng (giảm) ngặt

x x1, 2  X  , x1  x2  f x( )1  f x( 2)

( )

f x

Cho Tìm các hàm sau và miền

2 Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = x2 trên R+

2

( ) 0

Các hàm số thông dụng

Hàm lũy thừa

=

Hàm lượng giác : ,

y = sinx , y = cosx  MXĐ: R, MGT: [–1, 1],Tuần hoàn chu kỳ = 2

y = tanx ( MXĐ: {R\ /2 + k }), y = cotx ( MXĐ: R\{ k}); MGT: R, Tuần hoàn chu kỳ =

Hàm lượng giác : tan ,

Hàm biến đổi Cho hàm y = ( ) và > 0.



cosh( )

tanh( )

BẢNG CƠNG THỨC HÀM HYPERBOLIC

1 cos

cos 2 cos

cos x  y  x  y x  y

2

ch 2

ch 2 ch

chx  y  x  y x  y

2

sin 2

sin 2 cos

cos x  y   x  y x  y

2

sh 2

sh 2 ch

chx  y  x  y x  yCohná thư ùc lư ơuná áãác Cohná thư ùc Hyperbolãc

Giới hạn hàm số

• Ta gọi −lân cận của điểm ∈ ℝ là khoảng :

Ta nói là giới hạn của khi tiến gần tới (hoặc tại ) nếu



     0  x D f , 0  a  x  

Định nghĩa (giới hạn trái)

Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm a, nếu

Định nghĩa (giới hạn phải)

Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm a, nếu

Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm

Nếu tìm được hai dãy (x n),(x n' )  x0 mà f x( n), (f x n' )

hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn.Liên hệ với dãy số

1 lim 1

2 0

Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x  0

e

LƯU Ý KHI TÍNH GIỚI HẠN

1.Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn

2.Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp

3.Nếu dạng VĐ là 0,   , chuyển về 0/0 hoặc /4.Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau:

a lấy lim của lnf(x)

1 cos 2 (2 )

x

x x

x x



2 2

(5 ) (2 )

x x

sin 0

1

3 / lim

x x

e x





sin 0

1 sin lim

sin

x x

2 0

3

4 / lim

x x x

e x





Dạng 0/0

2 0

1 (3 1) lim

lim 2

2

x x x

3 0

3 0

tan (1 cos ) lim

tan 1 cos lim

x x

2 2 0

2 0

ln(1 2 )

sin 2

x

x x

1 100 0

50 0

2

lim

1

x x

e u

Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x  x0

Các vô cùng bé thường gặp khi x  0

Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi x  0

Ví dụ.

0

ln(1 tan )lim

Ví dụ

0

ln(cos )lim

x

2 0

ln(1 cos 1) lim

2

2 0

sin

x  x  x

Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

0

lim Tổná hư õu haun các VCB

Tổná hư õu haun các VCB



VCB bậ

thấp nhất thấp nhấ

Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi x  0

Chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2 VCB

ban đầu không tương đương

Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x  x0

Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp cao

0

lim



Tổná hư õu haun các VCL

Tổná hư õu haun các VCL

1 Chỉ được thay tương đương qua tích các VCL

2 Nguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL khác cấp tương đương với VCL bậc cao nhất

1 Khi x  +, m > n >0:

x m là VCL bậc cao hơn x n.

2 Khi x  +, p > 0,  > 0, a > 1:

1 / lim

x

x x

xe e



x

x e

Liên tục của hàm số

Hàm y  f x( ) được gọi là liên tục tại , nếu xác định

tại điểm này và

Hàm liên tục một phía tại một điểm

f liên tục phải tại a nếu:

f liên tục trái tại a nếu:

f liên tục tại a  f liên tục phải và trái tại a

Điểm gián đoạn loại 1, loại 2

1) Điểm gián đoạn loại một:

Cho a là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y  f x( )

giới hạn trái f( ) và phải f( ) tồn tại và hữu hạn

a là điểm khử được: f( ) = f( )

2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một

Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tạihoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng

x = 2 là điểm giánđoạn loại một khửđược.

x = 0 là điểm gián đoạnloại hai.

Tính chất của hàm số liên tục

Cho y  f x y( ),  g x( ) là hai hàm liên tục tại a , khi đó

liên tục tại 1)  f x( ); ( )f x  g x( ); ( )f x  g x( )

2) Nếu g x ( ) 0 , thì ( ) liên tục tại

1.Hàm số f liên tục trên [a, b]

f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b),

f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b



2.* f liên tục trên [a, b] thì f bị chận trên [a, b]

* f liên tục trên [a, b] thì f đạt gtln và gtnn trên [a, b]

Hàm số liên tục trên [a,b]

Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì

tồn tại ít nhất một x 0 thuộc [a,b] sao cho f(x 0 ) = 0.

Định lý Bozano- Côsi ( giá trị nhị trung gian)

Nếu y  f x( ) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B

thì  C [ , ]A B tồn tại x0 a b,  sao cho f x( 0)  C.

Hàm số liên tục trên [a,b]

Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:1/ hàm hằng 2/ hàm lũy thừa y  x

Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bảnbằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,nhân, chia, khai căn và phép hợp.

1sin 3 ln

là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ

là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ

Bước nhảy: h  f  0  f  0   1 ( 1)  2