Bài giảng giải tích 1 bài 7

Các phương pháp tính 1.

GIẢI TÍCH I BÀI 7 CHƯƠNG II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

§1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

 Đặt vấn đề

I Định nghĩa

1 Định nghĩa

f(x) trên (a ; b), F(x) là nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x),  x  (a ; b)

Ví dụ

a) f(x) = 2010 b) f(x) = 0 c) f(x) = x ,   

d) f(x) = sinx e) f(x) = lnx f) y = x2e x

g) f(x) = x2 lnx h) f(x) = x cosx i) f(x) = x3 sinx

Định lí. F’(x) = f(x), x  (a ; b), khi đó tập tất cả các nguyên hàm của f(x) là F(x) + C

Định nghĩa f x dx  F x C

2 Tính chất

a) f(x) liên tục trên (a ; b)   f x dx 

b) Tuyến tính  f x dx  , g x dx 

   f x  g x dx  f x dx  g x dx  , ,   

Toán tử  có khả nghịch trái, không có khả nghịch phải

c) d f x dx( ) f x( )

 d f x( ) dx f x( ) C dx

3 Bảng một số tích phân thông dụng













  





1

1

x

C

x dx

x C



1

arctan

1

cot

cos

dx

x C

1

arcsin 1

x

x

a

II Các phương pháp tính

1 Đổi biến số

Mệnh đề 1 Nếu g t dt  G t C  g w x w x dx     G w x  C

Mệnh đề 2. Nếu g x  ’(x)dx = G(x) + C  g t dt  G(1 t )C, ở đó

t =  (x) có hàm ngược là x = 1(t)

Ví dụ 1

a) x x 412dx b)





3 2

1

x dx x

c)



dx e

d) 

3

sin

cos

x

dx

x e)  ln 2ln 4x dx

1

dx

g)



4

dx





2 2

1

x dx x

k )



tan

1 cos

x dx

2 2

ln

x C

x )

m )



cot

1 sin

x dx

2 2

ln

2 1 sin

x C

x )



22 11

x

ln

ln 2 2

x x

Ví dụ 2

a) ln xdx2 b)  5x6 cos3 xdx c) sin ln x dx 

d)  arcsin x2dx e) cos2

x dx

cos sin

dx x



 ln1

1

x

x h) arcsin1 x dx





2 2

1

dx x

Ví dụ 3

a )

  

1

x

xdx

e x

(



 1

x

e

C

  

1

x

x dx



x

e

C

ln(1 2 )

x

dx

(2 1)ln(1 2 ) 1 4

x

ln(1 3 )

x

dx

(3 1)ln(3 1) 1 9

x

e 1) ln(x2 2x3)dx



2

2





2

2

ln( 2)

( 1)

x

dx



2

2

x

3 Sử dụng các lớp hàm có tính chất đặc biệt

Ví dụ

a) x e dx 8 x b) x9cosxdx c) x10sinxdx

d) x e dx n x e) x ncosxdx f) x nsinxdx

4 Tích phân của một vài lớp hàm khác

a) Hàm hữu tỉ    

 

n

P x

R x

Q x , Pm(x), Qn(x) là các đa thức bậc m, n của x

(m<n)

Định lí. Nếu Qn(x) = an(x  a)  (x  b)  (x2 + px + q)  (x2 + lx + s) , ở đó  ,

 , ,    ; a, b   , p2  4q < 0, l2  4s < 0,  +  + + 2( + +  ) = n

Khi đó

 

1 1

A A

R x

+  



1

A

x a   

B





1 1

B

x b

+







1

B





2

Mx N





1 2

M x N

+    

2

x px q

+





2

Px Q





1 2

P x Q

x lx s

+    

2

x lx s ,

các hệ số nêu trên được tính theo phương pháp hệ số bất định

Từ đó, để tính R x dx  ta sẽ dẫn đến tính các tích phân sau

1)

  

A

dx

x a

 2

Mx N

dx



Mx N

dx

;

ở đó p2  4q < 0

Ví dụ

a)

  

2

dx

x

 2

x

dx

c)



2

x

dx





2

3

1

x

dx





2

4

2

4

x

dx

dx

g)

1

dx

x x



2 3

1

x ( 3) ( 1)

x

d



ln

x

C

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!