Đề tổng hợp lần 1 (3)

Tính thể tích khối lăng trụ.. Viết phương trình mặt phẳng  ABC  và tìm tọa độ giao điểm của d với mặt phẳng  ABC  Thầy Mẫn Ngọc Quang Thời gian làm bài: 180 phút... Tuy nhiên ta cần

ĐỀ BÀI Câu 1: Cho hàm số 1 3 2  

3

y x  x  x C Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   C của hàm số đã cho

Câu 2: Cho hàm số   4 2 4 2

f x  x  x  x  x Chứng minh rằng

 

f x    x R

Câu 3: Cho 5

4

a a và

  Tính sin 2 , cos 2a a và tan 2a

Câu 4: Tính tích phân  

3

0 cos 3



Câu 5: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện 1 1 2

821 2

C C   A  Tìm hệ số của x31 trong khai triển

Newton của 12  2

n

x

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' , đáy ABC có AC  a 3, BC  3 , a ACB  300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng  A BC '  vuông góc với mặt phẳng  ABC  Điểm H trên cạnh BC sao cho

3

BC  BH và mặt phẳng  A AH '  vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối lăng trụ

' ' '

ABC A B C và khoảng cách từ B đến mặt phẳng  A AC ' 

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A   1;1; 2 ,  B  0;1;1 ,  C  1;0; 4  và đường thẳng

3

 







  



Viết phương trình mặt phẳng  ABC  và tìm tọa độ giao điểm của d với mặt phẳng  ABC 

Thầy Mẫn Ngọc Quang

Thời gian làm bài: 180 phút

a) Giải hệ phương trình sau    

2







b) Giải hệ phương trình sau  







Câu 10: , 0

1

x y

x y



  Tìm min của :

Lời giải

Câu 1:

- TXĐ: DR

- Sự biến thiên:

+ lim ; lim

x  x 

3

x

x

  

 



 + Bảng biến thiên:

y



1



7 3





+ Hàm số dồng biến trên  ; 3 và  1; 

Hàm số nghịch biến trên  3; 1 

+ Hàm số đạt cực đại tại x 3; y C D   1

Hàm số đạt cực tiểu tại 1; 7

3

C T

- Đồ thị:

Câu 2:   4 2 4 2

Biến đổi ta được:

x

x









Từ đó suy ra f x 0.Đây là điều phải chứng minh

Từ giả thiết ta có:

Có

2

cos 2 0

a a







Câu 4:

2

 

Ta đi tinh I I1; 2



2 3

0

x









 Đặt

3 3

3

' 1

sin 3

u

x







Khai triển trở thành:  

40

40

2

1

Ck k.k Ck k

x

Số hạng TQ: 40 3

40

Ck x k Số hạng chứa 31

x   k  k 

Từ đó suy ra hệ số cần tìm là 3

40

C

Câu 6:

Từ giả thiết, áp dụng định lí Cosin trong tam giác AHC ta tinh được A H a







Do A A H vuông tại H suy ra A H d A ;A B C  A H.tan 60 a 3

A B C A B C A B C

a

V    S d A A B C  a a a 











Kẻ H K  A D   A A C H K d H ;A A C  

Xét tam giác A H D vuông tại H có

2

a

H K

Mà ta lại có    

;

H C









Câu 7:

Có A B 1;0; 1 ,   A C 2; 1;2  

n



là VTPT của A B C n A B A C;      1; 4; 1 

  



Suy ra phương trình mặt phẳng A B C: x4yz50

Gọi M dA B CM t;2t;3t Do M A B C nên ta có:

 

Từ đó suy ra M 3; 1;6  

Câu 8b:

Do A IB 90A C B 45A D C vuông cân  D thuộc trung trực A C ID A C

Gọi A C ID  E Có 1; 2 : 2 9 0  3;3 







Gọi A 2a9;aA C E C 32 ;6a a Ta có:

   





Bước 1 : Chứng minh tính chất : EH vuông góc BH

Cách 1 : Dùng kỹ thuật chuẩn hóa :

Chúng ta chuyển trục tọa độ :

O  A Ox  AB Oy  AD

Khi đó ta được tọa độ các điểm như hình vẽ

Việc quan trọng hơn cả là ta xác định đượng tọa độ điểm H trên hệ trục tọa độ mới :

Ta viết phương trình đường thẳng AN qua

 0, 0 ,  ( , ) : 3 –

Phương trình đường thẳng DM

  , ( , 2 )

3

10 10

H



HE  



,

Cách 2 : Dùng phương pháp véc tơ : biểu diễn các vecto EH và HB qua 2 vecto AB , véc tơ AD

Cách 3 : Dùng hình học thuần túy : Vẫn chứng minh được AN vuông góc DM như cách 2

Tứ giác AHMB nội tiếp trên đường tròn đường kính AM , Tâm N là trung điểm của AM cũng chính là trung điểm của BE (Do ABME là hình chữ nhật ) , như vậy ABME và ABMH cùng nội tiếp một đường tròn tâm N đường kính AM , BE , vậy EHB =

90O

Bướ 2 : Tính toán :

Phương trình đường thẳng BH có véc tơ pháp tuyến là EH , và qua điểm H : 9x – 7y + 1 = 0 Điểm B thuộc đường thẳng BH và thỏa mãn :

HB HE 

 

Từ đó ta tính được 2 điểm B(3,4) , do yB > 0

Câu 9 :

2







Xét phương trình 2 trước :

Nhận thấy phương trình (1) có :  2 

1 1

x   ta nghĩ ngay đến việc nhân liên hợp với

1 1

x   Tuy nhiên ta cần xét trước :

   

Nhận thấy VT(*) 0, VP (*)  0, do điểu kiện x  1, y  1,  2 

x     x 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (x,y)=-(0,1)

 







Đặt

2

2







Hệ phương trinh trở thành:  

 

2

2

2





 Xét hệ phương trình với ẩn ;a b; tham số ; x y

 

2

2

7 2 1

a

a

b b

D

D

D





  



Lấy  2  2

9x 0 x  3 x x 3

2y 1 32y  8y  4x y 2

Vậy ta có nghiệm của hệ là x y;   3;2 

1

x y





 



Cách 1 :

Ta xét hai đánh giá sau:

2

5

4





Dấu " " xảy ra 1.

 





 



 xy1x1y1 Xét   2 2

f x

2

2

1

1

x

f x

x





   

1

1

y y





5

2 2

0

4 5



Dấu " " xảy ra

1

1 1

2 2

y

  









Từ hai đanh giá trên ta suy ra 2 5 4

5

P   Dấu " " xảy ra 1

2

xy



Ta chứng minh một số BĐT phụ đã sử dụng:

 1 1 4 ; x y; 0

 đpcm

Xét u  a b; ;vc d;  uvac b; d

 2  2

Cách 2 : Bài toán 2 biến đối xứng là dễ nhìn thấy điểm rơi nhất 1

2

xy

1

x y





 



Dùng phương pháp tham số hóa để dùng BĐT Bunhia - Copxky

Nên A = 2 2

Vậy ta có :

Tiếp đến ta tìm max :

B

Vậy ta có : 2 5 4

5

P   Dấu " " xảy ra 1

2

xy



2



BÀI GIẢI NGÀY 5/12/2015

Thầy Quang Sưu tập và chỉnh sử bài làm của Nguyễn Đình Huynh –

THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh