ÔN THI TOÁN ĐẠI HỌC 2014

PHẦN I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐKhảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số là một trong những dạng toán mà chúng ta sẽ phải gặp trong các đề thi đại học chính vì vậy

PHẦN I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số là một trong những dạng toán mà chúng ta sẽ phải

gặp trong các đề thi đại học chính vì vậy phải thường xuyên làm bài tập dạng này một cách thuần thục Hãy làm đi làm lại nhiều lần vì chắc rằng nếu không làm thường xuyên chúng ta

- Chiều biến thiên

Tính đạo hàm cấp 1 và tìm nghiệm của đạo hàm (nếu có)

Kết luận tính đơn điệu của hàm số

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

VD3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 1

1

x y x

+

= +

Giải:

1 Tập xác định: D=R\{ }− 1

2 Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên:

Ta có ( 1) 0

1

2 >

+

=

′

x

y với mọi x≠- 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) vµ ( -1; +∞)

* Cực trị:

Hàm số không có cực trị

* Giới hạn tại vô cực:

lim lim 2

→+∞ = →−∞ = ; tiệm cận ngang: y = 2

( 1) ( 1)

→ − = +∞ → − = −∞; tiệm cận đứng: x = - 1

* Bảng biến thiên:

x -∞ -1 +∞

y’ + +

y +∞ 2

2 -∞

3 Đồ thị:

Chú ý: Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm

triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định.

II PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y( 0 ; 0) ( )∈ C

− Tính đạo hàm và giá trị f x'( )0

− Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f x'( ) (0 x x− 0) + y0

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

− Giải phương trình: f x'( ) =k , tìm nghiệm x0 ⇒y0

− Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x= ( − 0) + y0

Loại 3:Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x y( A; A) ( )∉ C .

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( )d :y k x x= ( − A) +y A

− Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( )d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

III CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN−NGHỊCH BIẾN

Cho hàm sô y= f( )x có tập xác định là miền D.

k k

tan cot 1

cos cot

sin 1

sin

k k

sin sinacosb sinbcosa cos cos a cos b sinasinb

Công thức nhân:

3

3 3 2

sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos3 4cos 3cos

sin 3 3sin 4sin

3tan tan tan 3 =

sin sin 2cos sin

* tanu=tanv ⇔ u=v+kπ * cotu=cotv ⇔ u=v+kπ (k∈ Z).

II MỘT SỐ PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các

cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình cĩ dạng

a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương

trình này ta đặt t bằng hàm số LG

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là a2 + ≥b2 c2

C

ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt b tan

a = α , ta được: sinx+tan α cosx= cosc

⇔sinx cosα + sin α cosx= cos c

a α ⇔ sin(x+α )= cosc

a α đặt=sinϕ C

ách 2: Chia hai vế phương trình cho a2 +b2 , ta được:

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.

Cách giải: Đặt t= sinx± cosx Điều kiện | t | ≤ 2

sin cos 2 sin 2 cos

a

x x

x

n n

x

dx

cot sin2

II Các tính chất của tích phân:

Tính chất 1: ∫ ( ) =

a

a

dx x

x f

Trong tính tích phân muốn đảo cận thì thêm dấu “ - “ vào trước tích phân

x f dx

x g x f

Đây là tính chất tách tích phân, tùy trường hợp mà tách được nhiều tích phân

x f dx

x f

Đây là tính chất tách miền tích phân

t f dx

f chỉ phụ thuộc vào hàm số f( )x , cận a và b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số tích phân

A Phương pháp 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VÀO VI PHÂN

NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP:

* Tích phân I = ∫b ( )

a

dx x

f ta đưa “g( )x ” vào vi phân thì phải đạo hàm g( )x , ta sẽ có g ( ) x

’ vậy tích phân của ta sẽ trở thành: I = ( ) ( ( ) )

( )

∫b

x g d x f

+ Ta thấy tích phân đã có sự thay đổi như sau: dx thành d(g( )x ) và tích phân phải chia cho

( )x

+ Và g( )x ’ thường sẽ rút gọn được với tử số

* Lưu ý khi chọn cái gì để đưa vào vi phân: Cái đó thường là 1 thành phần của Tích phân hoặc cái gì đó gần gần giống(liên quan đến Tích phân cần tính), khi đạo hàm cái đó thì được

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

cái mới mà cái mới này thường giúp cho Tích phân rút gọn được hoặc đưa Tích phân về dạng rất cơ bản

B Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT t

NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP:

1 Tích phân có n f ( ) x thì thường ta sẽ đặt t = n f ( ) x

2 Tích phân có dạng phân số thì thử ta sẽ đặt t = mẫu

3 Trong câu tích phân có thành phần nào phức tạp nhất thì ta có thể đặt t = cái đó

Và quan trọng là ta đặt cái gì thì khi đạo hàm cái đó sẽ được cái mới, cái mới này phải giúp tích phân được thu gọn và dễ biễu diễn lại Các em cùng xem các ví dụ trong phần này

để nắm rõ quy trình của phương pháp đặt t

C Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP:

Ví dụ ta tính: = ∫

b

a

Cdx A

C* . thì ta làm theo các bước sau:

Bdx du

Cdx dv

A u

b v u

b

a

Bdx D

a

b D A

Bước 3: Tính ( ) u v a b và ∫b

avdu

* Các dạng thường gặp trong Tích phân từng phần và nguyên tắc đặt:

dv

x P u

nx nx

n

/ / cos / sin

Đặc biệt: Pn( ) x là những đa thức ví dụ như x / ( x + 1 ) / ( x2 − 1 ) ( / 3 x3 + 5 x ) Tùy vào bậc của

nx nx

u

n

a

log / ln

- Dạng 3: sin ( ) nx / cos ( ) ( ) nx / ln nx / enx / anx kết hợp với nhau Đối với dạng này ta phải sử dụng tích phân từng phần đến 2 lần Tuy nhiên dạng này ít gặp

−−−−−−−−−− o0o −−−−−−−−−−

PHẦN 5: SỐ PHỨC TÓM TẮT KIẾN THỨC

1 Khái niệm về số phức:

• Dạng đại số của số phức là: z = a + b.i (a, b ∈ R và i2 = –1)

• Ta gọi a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo của số phức z

• Mô đun của số phức z là z = a 2 + b 2

• Số phức liên hợp của z là z a b.i = −

• Tập hợp các số phức kí hiệu là C

• Hai số phức bằng nhau: a + b.i = c + d.i ⇔ a cb d==



 Chú ý:

• Nếu a = 0 thì z = b.i là số thuần ảo (số ảo)

• Nếu b = 0 thì z = a là số thực

• Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo

• Tập số thực là tập con của tập số phức: R ⊂ C

h h

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

• Từ i2 = –1 ta suy ra i3 = –i ; i4 = 1 Tổng quát: in = i4.q + r = ir (0 ≤ r < 4 , r ∈ N)

• Trong mp(Oxy) điểm M(a ; b) gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z = a + b.i

2 Phép toán trên tập số phức

Với hai số phức z1 = a + b.i và z2 = c + d.i bất kì, ta có:

• Tính chất phép cộng và nhân trên tập C như trên tập R

• (a + b.i)2 = a2 + 2ab.i + b2.i2 = (a2 – b2) + 2ab.i

• (a + b.i)3 = a3 + 3a2b.i + 3a b2.i2 + b3.i3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3).i

3 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Trên tập số phức C, cho phương trình a.z2 + b.z + c = 0 (a, b, c ∈ R và a ≠ 0) (*)

Nếu ∆ = b2 – 4ac < 0 thì pt(*) có hai nghiệm phức là:

• Nếu hai số phức z1 = a + b.i và z2 = a – b.i có tổng S = z1 + z2 = 2a và tích P = z1.z2

= a2 + b2 thì z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình: z2 – Sz + P = 0

Khối chóp tam giác đều Khối chóp tứ giác đều

+ Đáy là đa giác đều

+ Mặt bên là các tam giác cân

+ Đường cao là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến tâm của đáy

h

h

h

+ Đường cao vuông góc với mp đáy

Chú ý: Tam giác đều thì tâm, chính là trực tâm ,trọng tâm của tam giác Hình vuông thì tâm

là giao điểm các đường chéo hình vuông.

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy,đường cao chính là cạnh bên đó

KHỐI CHÓP CÓ 1 MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

•

m n

m n m n

a

a a

log a

= và k a

a

1 log N log N

1 Phương trình tham số của đường thẳng:

Giả sử trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y0 ( ; ) 0 0 có vectơ chỉ phương

( ; )

ur= a b

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆:

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Bằng cách khử tham số t giữa hai phương trình (1) ta có phương trình tổng quát của ∆ có dạng:

ax + + =by c 0, với a2 +b2 ≠ 0

*Nhận xét:

a, Nếu ∆ có phương trình: ax + + =by c 0, với a2 +b2 ≠ 0 thì ∆ có vectơ pháp tuyến nr= ( ; )a b

Và nhận ur= ( ;b a− ) làm vectơ chỉ phương ( có thể lấy véc tơ chỉ phương ur= − ( ; )b a

b, Đường thẳng có phương trình y kx b= + là một dạng tổng quát trong đó hệ số k dược gọi là

+ Nếu hệ (I) có một nghiệm ( ; )x y0 0 khi đó ∆ 1 cắt ∆2 tại điểm M x y0( ; )0 0

+ Nếu hệ (I) có vô số nghiệm khi đó ∆ 1 trùng với ∆2.

+ Nếu hệ (I) vô nghiệm khi đó ∆ 1 song song với ∆2.

4 Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng đối với hệ tọa độ đề các vuông góc cho hai đường thẳng:

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

Chú ý: + ∆ ⊥ ∆ ⇔ ⊥ 1 2 nr1 nr2 ⇔a a1 2 +b b1 2 = 0

+ Nếu ∆ 1, ∆2 lần lượt có hệ số góc là k k1, 2 thì ∆ ⊥ ∆ ⇔ 1 2 k k1 2 = − 1

5 Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy khoảng cách từ một điểm M x y0 ( ; ) 0 0 đến đường thẳng ∆ : ax + + =by c 0

được tính theo công thức:

II Phương trình đường tròn

1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có phương tình tổng quát là: (x a− ) 2 + − (y b) 2 =R2 (1)

+ Nhận xét: Phương trình (1) có thể được viết dưới dạng

x2 +y2 − 2ax− 2by c+ = 0 với c a= 2 + −b2 R2

Ngược lại phương trình x2 +y2 − 2ax− 2by c+ = 0 là là phương trình đường tròn (C) với điều kiện a2 + − >b2 c 0 Khi đó đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R= a2 + −b2 c

2 Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình:

(x a− ) 2 + − (y b) 2 =R2

Tại điểm M x y0 ( ; ) 0 0 thuộc đường tròn là:

(x0 −a x x)( − 0 ) ( + y0 −b y y)( − 0 ) 0 =

III Phương trình đường Elip

1 Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định F F1 , 2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F F1 2 Elip là tập hợp các điểm M trong mạt phẳng sao cho:

F M F M1 + 2 = 2a

Các điểm F F1 , 2 được gọi là các tiêu điểm Độ dài F F1 2 = 2c được gọi là tiêu cự của Elip

2 Phương trình chính tắc của Elip

Chon hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1 = − ( ;0),c F2 = ( ;0)c

(E)={M| F M F M1 + 2 = 2a} có phương trình chính tắc là:

x22 y22 1

a +b = (a>b)

Với b2 =a2 −c2

3 Liên hệ giữa đường tròn và Elip

Từ hệ thức b2 =a2 −c2 ta thấy tiêu cự của Elip càng nhỏ thì Elip có dạng gần như đường tròn

Nếu phép co

' '

3 Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu:

Cho ( - )2 + ( - )2 + ( - )2 = 2

(S) : x a y b z c R và điểm M x y z( ; ; )0 0 0 , Gọi I a b c( ; ; ) là tâm mc(S), R

là bán kính của mặt cầu

 IM > R Điểm M nằm ngoài mặt cầu(S)

 IM < R Điểm M nằm trong mặt cầu(S)

 IM = R  Điểm M thuộc mặt cầu(S)(Hay Thay tọa độ điểm M vào PT mặt cầu thỏa

mãn)

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

4 Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu:

Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 ).

• I I1 2 < R R1 − 2 ⇔ (S 1 ), (S 2 ) trong nhau • I I1 2 >R R1 + 2 ⇔ (S 1 ), (S 2 ) ngoài nhau

• I I1 2 = R R1 − 2 ⇔ (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc trong • I I1 2 =R R1 + 2⇔ (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc ngoài

• R R1 − 2 <I I1 2 <R R1 + 2 ⇔ (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn.

II MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

a không cùng phươngbr là cặp vtcp của (α) Û r

a,br có giá song song với (α) hoặc nằm trong (α)

3 Quan hệ giữa vtpt nr và cặp vtcp ar,br: nr = [ar,br]

4 Pt mp(α ) qua M(x o ; y o ; z o ) có vtpt nr = (A;B;C):

(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có nr = (A; B; C)

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm thuộc mp và 1 véctơ pháp tuyến

*) Các bước viết phương trình tổng quát của mặt phẳng:

B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến nr= ( ; ; )A B C ( là vectơ vuông góc với mặt phẳng)

B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng

B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0

*) Chú ý:

 Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0

a VTPT của (P) nr= ( ; ; )A B C

b Nếu điểm M(x1; y1; z1)∈(P) thì Ax1+By1+Cz1+D=0

 Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương a br r; có giá song song hoặc nằm trong mp Khi đó VTPT của mp là: nr=   a br r; 

A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0

2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG:

Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0 Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là nr= ( ; ; ); 'A B C nur=(A B C'; '; ')

1 (P) // (P’) ' ( ; ; ) ( '; '; ')

' '

Viết PTTS, PTCT của đường thẳng

B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó

B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng

B3: PTTS:

0 0 0

b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là uuurAB

c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)

d) đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ thì d và ∆ có cùng VTCP

e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho ∆ qua M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vectơ chỉ phương ur=(a b c; ; )

∆’ qua M’(x’ 0 ; y’ 0 ; z’ 0 ) và có vectơ chỉ phương uur' =(a b c'; '; ')

TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau

TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau

*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG

Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:

0 0 0

0 0 0

1 2 3

TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song

TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1

điểm

TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)

Chú ý:

1 Trong trường hợp d // (P) hoặc d⊂( )P thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc

2 Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt phẳng (P)

−−−−−−−−−− o0o −−−−−−−−−−

PHẦN X: ĐỀ THI THỬ

A.

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )

Câu I : ( 2,0 điểm ) Cho hàm số : y 2x 1

x 1

−

= + có đồ thị là ( )C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Gọi Ilà giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C Tìm trên đồ thị ( )C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( )C cắt hai đường tiệm cận tại A và B

A Theo chương trình chuẩn:

Câu VIa : (2,0 điểm).

1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm K( 3 ; 2 ) và đường tròn (C) :x2 + y2 − 2x− 4y+ 1 = 0

với tâm là I Tìm tọa độ điểm M∈(C) sao cho ∠IMK = 60 0

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK

Câu VII a.(1,0 điểm): Giải phương trình : iz2 − 2( )1 −i z− 4 = 0

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb: ( 2,0 điểm )

1 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M( )2;1 và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:

x 1 2t

y 1 t

z t

= +



 = − +



 = −



Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông

góc với đường thẳng d

Câu VII b.( 1,0 điểm ) Giải bất phương trình sau : 8.3x+ x + 9 x+ 1 ≥ 9x

Hết

ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Cho hàm số : 2x 1 y x 1 − = + có đồ thị là ( )C 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 1,00 1 Tập xác định: D=R\{ }− 1 2 Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: Ta có: ( )2

3 ' 1 y x = + >0 ∀ ≠ −x 1. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ − ; 1)và (− +∞ 1; ) * Cực trị: Hàm số không có cực trị * Giới hạn tại vô cực: 2 1 lim lim 2 1 x x x y x →±∞ →±∞ − = = + => đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang. 1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x − + →− →− − = +∞ − = −∞ + + => đường thẳng x= −1 là tiệm cận đứng. * Bảng biến thiên: x - ∞ - 1 +∞

y' + || +

y +∞ 2

||

2 −∞

3 Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục Oxtại điểm 1;0

2

Đồ thị hàm số cắt trục Oytại điểm B(0; 1 − )

Đồ thị hàm số có giao điểm của 2 tiệm cận là I(− 1; 2).

0,25

0,25

0,25

0,25