Giải hệ phương.. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM =x 0.
Trang 1DE THI THU DAI HQC LAN II
NAM HOC: 2010-2011
Môn thi : TOÁN LÀM BÀI:180 PHÚTTHỜI GIAN (không kể thời gian giao dé)
PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7,0 diém)
Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = xỶ + 3x” + mx + 1 có đồ thị là (C„); (m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
2 Xác định m để (C„) cắt đường thắng: y = | tai ba điểm phân biệt C(0;1), D, E
sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
Câu II:(2 điểm)
1 Giải hệ phương Giải hệ phương trình: trình: J “27T =0
Xx-lI-4j2y-I=l
2 Tim x € (0; 2) thoả mãn phương trình: cotx— l = 008 2x | +sin? x- 1 in 2x
Câu III: (2 điểm
1 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM =x (0 <x<a) Trên đường thắng vuông góc với mặt phăng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a
a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất
2 Tính tích phân: I = ji (x+sin? 2x) cos 2xdv
Câu IV: (1 điểm) ; Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=l
a +b* b te" ¢ +a
PHÀN RIÊNG @ dim ( Chú ý!:Thí sinh chỉ được chọn bài làm ở một phần)
A Theo chương trình chuẩn
Câu Va :1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2: - 3), BQ; - 2), có diện tích bằng ; và
trọng tâm thuộc đường thẳng A: 3x — y — 8 =0 Tìm tọa độ đỉnh C
2.Trong không gin v với ne toa do Oxyz cho hai diém A(1;4;2),B(-1;2;4)
và đường thẳng A : T5 ott =F Tim toa d6 diém M trén A sao cho: M4’ + MB? = 28
4
2-3 Câu VIa : Giải bất phương trinh: (2 + V3)" 2"! 4(2- V3)" 1 <
B Theo chương trình Nâng cao
Cau Vb: 1 Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x”+ y —~6x+5=0 Tìm M thuộc trục tung sao cho
qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60°
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) va dwong thang d véi
d: <= = “ = viét phuong trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M,
cắt và vuông góc với đường thang d va tim toạ độ của điểm M' đối xứng với M qua d
ghey 2794 (xy)?
Câu VIb: Giải hệ phương trình 2
°P 8 log, (x? + y’)+1= log, 2x + log,(x+3y)
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
y=x”+3x”+ mx + Ï (Cm)
1.m=3:y=xÌ+3x +3x+1 (C;)
+ Giới hạn: lim y=-œ, lim y=+œ
+Y = 3x? + 6x +3 = 3(x? + 2x + 1) = 3(x +1)? > 0; Vx
e_ Bảng biến thiên:
x = = 0,25
+y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” =0x=-1 = tâm đối xứng U(-1;0)
Qua A(-2 ;-1) ; UC1 0) ; A’ 1)
1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C„) và đường thẳng y = 1 là:
x $ 3x7 +mxt 151 x(x? +3x4+m)=00 |",
x° +3x+m=0 (2)
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tai C(0;1), D, E phân biệt:
<= Phương trình (2) có 2 nghiệm xp, xe #0
0° +3x0+m+0 m< 3
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
0,25
Trang 3I
kg=y'(xe)= 3x¿ +6x; +m =~(3x¡ +2m)
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kpkg = —1
° (3xp + 2m)(3xr + 2m) =-1
° 9xpxe+6m(xp + Xe) + 4m? = -1
© 9m + 6m(-3) + 4m” = —1 (Vì Xp + Xe = —3; XpXe = mM theo dinh ly Vi-ét)
9+J65
m=
8
9-65
8
"So sénhDk (*): m= 5 (9- V5)
©4mˆ-9m+1=0©
m=
0,25
@)
®x—~y~0+#)=0©(x+\yx~2j»)=0
Xx-2jy=0
0,5
<> x=4y Thay vao (2) c6
A4y-1-A2y-1=1۩v4y-I=4j2y-I+l
©4y-I=2y-I+2/2y-I+I©2y-I=22y-1
1
| 2y-I=0_ | P=z™ fr?
2152 ly= 0m
0,25
Vay hé có hai nghiệm (x;y) = (2;1/2) va (x;y) = (1055/2) 0,25
tan x —l
Sin x + cosx # 0 cosx—sinx cos2x.cosx 9
PT & —— = ——_ + sin® x -sinxcosx
sin x
0,25
© (cos x — sin x)(sinxcosx — sin? x - 1) =0 0,25
Trang 4<© (cosx —sinx)(sin2x + cos2x — 3)=0
©(cosx—sim)(\2 sin2x+7)-3) =06
cosx-—sinx =0
V2 sin(2x + 2 = 3(voly)
0,25
© cosx-sinx=0 Stanx=1 0 va 7 t halk € Z)(tmdk)
a
Do xe(:z)>k=0Sx=
1
SA (ABCD)
Lai có
MH L AC =(S4C)¬(4BCD)
=> MH (SAC) => d(M, SAC) = MH = AM.sin45° =-}—
V2
"Ta có
AH = AM cos45° = => HC = AC - AH =aV2-—~
= Syme =~ MH.MC =~—=(aV2 -—= AMNC S2 2 “ J2
> Hy = 3 54 Saucn =g2a (2=)
Từ biểu thức trên ta có:
Vo <*af v2 V2 [=#
SMCH — 3 2 6
"5"
Ox=a
> M tring voi D
1
[= (x+sin? 2x)cos2xdx =
4
xcos2x4x+ | sin” 2xcos2xdx =I, +1,
Trang 5
aT
-2+ 1 y2yla=Z—L
0
Tính b
lƒ 22 1.3, |; 1
I, => [sin? 2xd(sin2x) =~ sin? 2x| 4 =—
0
8 4 6 8 12
Ta có VT =(—*—+ pe yy Pye ye )=A+B 0,25
* 2le+ )+( rortera]) er |
>—34(a+)(b+e)(e+ a)3¿ ==
2 (at ME +eNe+a) a+bb+cc+a 2
=a>3
2
P=(a+b+e? <(4—+ cuc Xa+b+b+e+e+a)
1s B2@ B25
Từ đó tacó VT>Ä+L=2=yP
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=l/3
1
Ta c6: AB= V2, trung điểm M ( 55-2),
pt (AB): x— y— 5=0
Trang 63
v2
Goi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thi d(G, AB)=
SAABC= sac AB).AB= ; => d(C, AB)=
1
0,25
v2
> is = ———=—— =- =(= Ì hoặc t=
=> G(1; - 5) hoac G(2; - 2)
Ma CM =3GM = C = (-2: -10) hoặc C= (1; -1) 0,25
1
x=l-íf
z=2t
Ta c6: MA? + MB? = 28 > 127 — 481+ 48 =0 1 =2 0,25
t=(2+3) “@>0)— BprTT: t4
oF -441<0 2-3 <1<2+3 (tm)
0,25
x?~2x
« xX -2x-1<01-V2 <x<1+y2 0,25
1
(C) có tâm I(3;0) và bán kính R=2;M e Oy—> M(0;:m)
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm) 0,5
Vậy Vì MI là phân giác của “MB
UMB = 120° (2) ()© YUM =30° 6 wự = aol & MI=2R eV? +9=40 m=FV7
sin
(2) <> MI = 60° <= MI=—4— © MI= 3 es neo = 43 vo
Trang 7
nghiệm Vậy có hai điểm M(0;^/7 ) và Ma(0:-^/7 )
1
Gọi H là hình chiêu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thăng đi qua M,
x=l+2t
d có phương trình tham số là: { y=-1+t
z=-t
Vì He dnên tọa độ H (1 +2t;— I+t;- t).Suy ra :MH= (2t—1;—2+t;-)
Vi MH L d và d có một vectơ chỉ phương là ũ =(2; l ; —1), nên : 0,25 2/2t—1)+ 12+ +(—1)(C)=0©t= : Vi thé, MH = (:-š:-)
3) 30.3
ty =3MH =(I:—~4:~2)
› ; Loe ` š a X=2_y-l_ Z 0,25 Suy ra, phuong trinh chinh tac cua duong thang MH là: ——
an nf, 7 1 2 > à cổ > " ^
Theo trên có #(—;——;——) mà H là trung điểm của MM' nên toạ độ
8 5 4
M'(—;:-—;-—
G 3 3) ĐK: x>0, y>0
2log; xv log; xv —
Slogxxy = 1 © xy =3€©y= —
x (2) loga(4x’+4y’) = loga(2x” +6xy) © x”+ 2y” = 9
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( ^/3 ;x/3 ) hoặc (^/6 ; »)