Sử dụng phương pháp diện tích trong hình học

Trong khi giải toán có nhiều bài sử dụng các phưpưng pháp thông thường để giải thì gặp nhiều khó khăn , song nếu sử dụng diện tích của các hình để giải thì đơn giản đi rất nhiều.. I MỘT

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC

Trong hình học ta thường gặp những bài toán phải dùng diện tích của các hình mới giải quyết được Những bài toán mà sử dụng diện tích thường là những bài toán tương đối khó , phức tạp Trong khi giải toán có nhiều bài sử dụng các phưpưng pháp thông thường để giải thì gặp nhiều khó khăn , song nếu sử dụng diện tích của các hình để giải thì đơn giản đi rất nhiều Đối với khả năng của học sinh cấp 1 , cấp 2 thì việc sử dụng diện tích các hình để giải toán thì có lợi ích rõ rệt nhất là đối với các học sinh giỏi Bởi vì khi sử dụng phương pháp diện tích của các hình dễ suy luận và rất sáng tạo

Phương pháp suy luận để giải toán bằng diện tích các hình nó tuân theo một số quy tắc nhất định , ở trong bài viết nay tôi chỉ tóm tắt một số quy tắc cơ bản hay được sử dụng Và khi dựa theo quy tắc này tôi đã áp dụng vào để giải toán để các bạn tham khảo

I ) MỘT SỐ KIẾN THƯC CƠ BẢN

Ta đã biết công thức tính diện tích của hình tam giác khi biết độ dài của cạnh đáy là a và đường cao tương ứng là h thì diện tích của tam giác được tính theo công thức : S = 1/2 ah

Căn cứ vào công thức trên tôi xin nêu ra một số tính chất sau

1- Hai tam giác có diện tích bằng nhau :

Nếu chung cạnh đáy thì đường cao tương ứng với cạnh đó bằng nhau Nếu chung đường cao thì cạnh tương ứng với dường cao đó bằng nhau

2 - Hai tam giác có : Chung đường cao ( chung cạnh đáy ) và cạnh ứng với đường cao (Đường cao ứng với cạnh đó ) bằng nhau thì diện tích của hai tam giác đó bằng nhau

3 - Hai tam giác có diện tích bằng nhau và chung một cạnh ( Hai đỉnh đối diện với cạnh đó cùng nằm ở một nửa mặt phẳng ) thì hai đỉnh đó cách đều đường thẳng chứa cạnh đó hay dường thẳng chứa đi qua hai đỉnh đó song song với đường thảng chứa cạnh chung đó

4 - Hai tam giác có tỉ số diện tích là k

Nếu chung một cạnh thì tỉ số hai đường cao ứng với cạnh đó cũng bằng k

Nếu chung đường cao thì tỉ số hai cạnh ứng với đường cao đó cũng bằng k

Từ các điều kiện trên cũng suy ra diện tích của hai tam giác cũng bằng k 5- Hai tam giác có tỉ số các cạnh tương ứng bằng k thì tỉ số diện tích của hai tam giác bằng k 2

Thật vậy :

a

b A

Giả sử hai tam giác ABC và ADE có AB = k AD , AC

= k AE

BC = k DE

Ta có S(ABC) = k S(ADC) ( Chung đường cao hạ từ C )

và S(ADC) = k S(ADE) ( chung đường cao hạ từ D) Từ đó suy ra S(ABC) = k2 S(ADE)

hay tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và ADE bằng

k2

Chú ý : Trong phần này diện tích của tam giác ABC được kí hiệu là S(ABC)

hoặc diện tích của tứ giác ABCD được ký hiệu là S(ABCD)

II ) PHẦN BÀI TẬP VẬN DỤNG

A) Loại bài tập về tính toán diện tích của các hình

B

D A

Q M

C N

P

Bài 1 : Cho tứ giác ABCD , trên tia đối của tia

AB lấy diểm M sao cho AM = AB , Trên tia đối của tia BC lấy điểm N sao cho BN = CB ; trên tia đối của tia CD lấy điểm P sao cho

CP = CD ; trên tia đối của tia DA lấy điểm Q sao cho DQ = AD Tính diện tích của tứ giác MNPQ , biết S(ABCD) = 1

Lời giải

Trong AQM có MQ là đường trung tuyến nên dt(AMQ) = 2dt(AMD) vì chung đường cao hạ từ M và AQ = 2.AD

mà AM = AB nên dt(AMD) = dt(ABD) vì chung đường cao hạ từ D

Cho nên dt(AMQ) = 2.dt(ABD)

Chứngminh tương tự : dt(CPN) = 2.dt(BCD)

cho nên dt(MAQ) + dt(CPN) = 2( dt(ABD) + dt(BCD) ) = 2 dt(ABCD)

Và dt(NBM) + dt(PQD) = 2 dt(ABCD)

Vậy dt(MNPQ) = 5.dt(ABCD) Mà dt(ABCD) = 1 nên dt(MNPQ) = 5

D A

Q M

C N

P

Bài 2 Cho tứ giác ABCD và điểm O nằm trong tứ giác Gọi M , N , P , Q là các diểm đối xứng của O qua trung điểm các cạnh của tứ giác Hãy tính diện tích của tứ giác MNPQ Biết diện tích của tứ giác ABCD bằng 12 cm 2

Lời giải

Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD và AD Nối các điểm E , F , G H ta dễ chứng minh tứ giác E FGH là hình bình hành

Nối BD ta có dt(CGF) = 1/4 dt(BCD) vì có tỉ số các cạnh là 1/2

dt(AEH) = 1/4 dt(ABD) vì có tỉ số các cạnh là 1/2 Cho nên dt(FGC) + dt(AEH) = 1/4dt(ABCD)

Lý luận tương tự dt(FEB) + dt(DHG) = 1/4 dt(ABCD)

nên suy ra dt(FCG) +dt(AEH) + dt(FEB) + dt(DHG) = 1/2 dt(ABCD)

Do vậy suy ra dt(E FGH) = 1/2dt(ABCD) (1)

Mà dt(OMN) = 4.dt(OE F) vì có tỉ số các cạnh là 2

Tương tự dt(OMQ) = 4.dt(OEH) ; dt(OPQ) = 4.dt(OHG) ; dt(ONP) = 4.dt(O FG)

cho nên dt(MNPQ) = 4.dt(E FGH) (2)

Từ (1) và (2) suy ra dt(MNPQ) = 2.dt(ABCD) ; mà dt( ABCD) = 12 cm2

Cho nên dt(MNPQ) = 24 cm2

C

A K

Bài 3 Cho tam giác KML , trên KL lấy điểm A sao cho LA = 3.AK ; trên ML lấy điểm B sao cho BL

= 4.MB BK và MA cắt nhau tại C Hãy tính diện tích tam giác KML , biết rằng diện tích tam giác KLC = 2

Lời giải

Trên ML lấy điểm D sao cho MB = BD = 1/5 ML

Ta có dt(KBL) = dt(KBD) vì chung đường cao hạ từ K và BL = 4,BD

dt(KBL) = 4.dt(KAB) vì chung đường cao hạ từ B và KL = 4.KA

cho nên dt(KBD) = dt(KAB) mà hai tam giác có chung cạnh KB cho nên AD // KB

ta có dt(KMB) = dt(KBD) vì có chung đường cao hạ từ K và MB = BD

dt(MBC) = dt(BCD) vì chung đường cao hạ từ C và MB = BD

Cho nên dt(KMC) = dt(KCD) (1)

mà hai tam giác KCD và KAC có chung cạnh đáy KC và đường cao hạ từ A , D xuống KC bằng nhau nên dt(KCD) = dt(KAC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra dt(KMC) = dt(KAC) , mà hai tam giác chung đường cao hạ từ K

cho nên MC = AC Do vậy dt(MLC) = dt(ALC)

mà dt(KML) = dt(MKC) + dt(MCL) + dt(KLC) = 2.dt(KLC) = 4

O

N A

M

Bài 4 Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy M sao cho AM = 1/3 AB , trên AC lấy N sao cho

AN = 1/3 AC Nối CM và N cắt nhau tại O Biết diện tích tam giác ABC = 24 cm 2 Hãy tính diện tích của tứ giác OMAN

Lời giải

Cách 1 : dt(OBM) = 2.dt(AMO) vì chung đường cao hạ từ O và BM = 2.AM

dt(ONC) = 2.dt(ANO) vì chung đường cao hạ từ O và NC = 2.AN

mà dt(MBC) = dt(NBC) vì cùng bằng 2/3dt(ABC) ; hai tam giác có chung dt(OBC)

Do vâïy suy ra dt(BOM) = dt(NOC) và dt(AOM) = dt(AON)

Từ đó suy ra : dt(ABN) = 4.dt(AON) hay dt(ABN) = 2.dt(AMON)

Mà dt(ABN) = 1/3dt(ABC)

Cho nên dt(AMON) = 1/6dt(ABC) = 1/6 24 = 4 ( cm2)

Cách 2:

Ta có dt(MBC) = 2/3dt(ABC) vì chung đường cao hạ từ C và MB = 2/3 AB dt(BNC) = 2/3dt(ABC) vì chung đường cao hạ từ B và NC = 2/3 AC

nên dt(NBC) = dt(MBC) , mà hai tam giác có chung dt(OBC) cho nên dt(OBM) = dt(OCN)

mà dt(OBM) = 2/3dt(AOB) ; dt(OCN) = 2/3dt(AOC)

vì vậy dt(AOB) = dt(AOC) (1)

mà dt(AMO) = 1/3dt(AOB)(2) vì chung đường cao hạ từ O và AM = 1/3 AB

Từ (1) và (2) suy ra dt(AOM) = 1/3 dt(AOC) và dt(AOM) = 1/4dt(AMC) = 1/12 dt(ABC)

Lý luận tương tự dt(AON) = 1/12dt(ABC)

Mà dt(AMON) = dt(AOM) + dt(AON) = 1/6dt(ABC) = 4 ( cm2)

I

N M

A

E

Bài 5 Cho tam giác ABC , gọi I là trung điểm của

BC , nối AM Trên AM lây diểm N sao cho MN = 1/3 AN Nối BN cắt AC tại E Tính diện tích của tam giác NEC

Biết diện tích tam giác ABC bằng 1

Lời giải

Kẻ AI và CJ vuơng gĩc với đường thẳng BE

Ta có dt(ABM) = dt(AMC) và dt(BMN) = dt(MNC)

mà AN = 3.MN  dt(ABN) = 3.dt(BNM)(1) Vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ B

dt(BNC) = 2 dt(BMN) (2)

Từ (1) và (2)  dt(ABN) = 3/2 dt(BNC) , mà hai tam giác chung cạnh đáy BN cho nên đường cao hạ từ A bằng 3/2 đường cao hạ từ C hay AI = 3/2 CJ

Mà dt(ANE) = 1/2NE.AI ; dt(NEC) = 1/2 NE.CJ và AI = 3/2 CJ cho nên dt(ANE) = 3/2 dt(NEC)

Vì vậy dt(NEC) = 2/5dt(ANC)(3)

Mà MN = 1/3AN  AN = 3/4 AM cho nên dt(ANC) = 3/4dt(AMC) vì chung đường cao hạ từ C

mà dt(AMC) = 1/2dt(ABC) Vì vậy dt(ANC) = 3/8dt(ABC)(4)

Từ (3) và (4) suy ra dt(NEC) = 3/20dt(ABC) = 3/20

H

M A

D I

Bài 6 Cho tứ giác ABCD , vẽ hình bình hành DBCM

Tính diện tích của tam giác ACM Biết diện tích của tứ giác ABCD là 20cm 2

Lời giải

Từ A kẻ đường caoAH của tam giác ACM cắt BD tại I ; kẻ đường cao CN của hình bình hành DBCM ( N  BD )

Dễõ thấy tứ giác CNIH là hình chữ nhật cho nên CN = IH

mà AH = AI + IH cho nên AH = AI + CN

mà dt(ABCD) = dt(ABD) + dt(BDC) và dt(ABD) = 1/2BD.AI , dt(BDC) =

1/2BD.CN

cho nên dt(ABCD) = 1/2BD(AI + CN) = 1/2.BD.AH (1)

Mà dt(ACM) = 1/2.CM.AH và CM = BD (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra dt(ACM) = dt(ABCD) = 20 cm2

II )

Loại vận dụng các định lý hình học để chứng minh diện tích các hình

Ở phần này khi giải các bài tập có liên quan đến việc chứng minh diện tích của các hình mà sử dụng một số định lý hình học thì việc giải các bài tậïp trở lên đơn giản và tiện lợi Mục đích của phần này là thông qua một số tính chất của các hình và các định lý hình học để tìm ra mối quan hệ về cạnh và đường cao tương ứng của các hình mà ta đang cần xét

E

B

F G

K T

N

M B

C

D A

Bài 1 : Cho tứ giác ABCD ,gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD K và T là giao điểm của

MD và NC ; MA và NB Chứng minh : Diện tích của tứ giác MTNK bằng tổng diện tích của hai tam giác ABT và CDK

Lời giải : Từ B , C , M kẻ cac đường vuông góc BE , CF , MG xuống AD thì tứ giác

BE FC là hình thang

Mà BM = MC và MG//BE cho nên MG là đường trung bình , do vậy BE + CF

= 2MG

Mặt khác S(MAD) = 1/2 AD.MG ; S(ABN) = 1/2 AN.BE ; S(NCD) = 1/2 ND.CF

do vậy suy ra S(MAD) = S(ABN) + S(NCD) mà các tam giác này có các phần chung là S(ANT) và S(NDK)

Do đó suy ra S(MTNK) = S(ABT) + S(CDK)

O

H

A

D E

F

Bài 2 : Từ đỉnh B và C của tam giác cân ABC ( AB = AC) ta nối với trung điểm O của đường cao AH Các đường đó cắt AC , AB tại D , E Hãy tính diện tích của tứ giác AEOD Biết diện tích của tam giác ABC = 12 cm 2

Lời giải

Vì tam giác ABC là tam giác cân nên AH là đường cao vừa là đường trung tuyến , nên BH = HC

Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AC tại F

Trong BCD có HF//BD và BH = HC  FC = FD

Trong AH F có OD//HF và OA = OH  AD = DF

do vậy suy ra AD = 1/3 AC , cho nên dt(AOD) = 1/3 dt(AOC) (1) vì chung đường cao hạ từ O

dễ chứng minh dt(AOC) = 1/4dt(ABC) (2)

Từ (1) và (2)  dt(AOD) = 1/12 dt(ABC)

Lý luận tương tự dt(AOE) = 1/12 dt(ABC)

Mà dt(ADOE) = dt(AOD) + dt(AOE) = 1/6dt(ABC) = 1/6 12 = 2 cm2

Chú ý : Bài này có thể vận dụng cách giải của bài 5 của phần trên thì sẽ đơn giản hơn

N

F

C

A

B M

D P

E

Bài 3 Trong tam giác ABC có diện tích bằng 1 Dựng đoạn AD cắt trung tuyến CF tại M sao cho CF = 4FM

Tìm diện tích của tam giác ABD

Lời giải

Gọi N là trung điểm của CF , từ F và N kẻ đường thẳng song song với AD cắt BC tại P và E

Trong ABD có FE // AD và FA = FC cho nên E là trung điểm của BD (1) Trong  FCE có FN = NC và NP // FE cho nên P là trung điểm của CE (2) Trong hình thang FNPE có FM = 1/4 FC và FN = 1/2 FC cho nên FM = 1/2FN

hay M là trung điểm của FN , mà MD // FE cho nên D là trung điểm của PE (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra PD = DE = EB = 1/2 PC và BD = 2/5 BC

Do vậy dt(ABD) = 2/5 dt(ABC) vì chung đường cao hạ từ A ; hay dt(ABD) = 2/5

O

M N

G

F

E

H

A

B

C

D

Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N là trung điểm của hai đường chéo AC và BD Từ M kẻ đường thẳng song song với BD , từ N kẻ đường thẳng song song với AC Hai đường này cắt nhau tại O Chứng minh đoạn thẳng nối điểm O với trung điểm các cạnh chia tứ giác thành bốn phần có diện tích bằng nhau

Lời giải

Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm các canh BC , CD , DA và AB Nối ME ,

MF ta có  CFE có các cạnh tương ứng bằng 1/2 các cạnh của tam giác BDC cho nên dt(CFE) = 1/4dt(BCD)

Chứng minh tương tự dt(MFE) = 1/4dt(ABD)

mà MO // BD và EF // BD  OM // FE cho nên dt(OE F) = dt(MFE) vì có chung cạnh FE đương cao hạ từ O và M xuống FE bằng nhau

Mà dt(OE CF) = dt(OE F) + dt(CFE) = 1/4[dt(ABD) + dt(BDC)] = 1/4

dt(ABCD)

Chứng minh tương tự : dt(O FDG ) = dt(OHAG) = dt(OEBH) = dt(OE FC) =

1/4dt(ABCD)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Q P

O 1

O 2

O 3

E D

A

M

Bài 5 Cho điểm M nằm trong tam giác ABC Gọi O 1 , O 2 ; O 3 là trọng tâm của các tam giác MBC , MBC và MAB Chứng minh dt(O 1 O 2 O 3 ) = 1/9dt(ABC)

Lời giải

Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AO3 , AO2 thì PQ là đường trung bình của tam giác AO2O3

cho nên PQ = 1/2 O2O3 (1)và PQ // O2O3

Mà O2 ,O3 là trọng tâm của các tam giác MAC , MAB cho nên QO2 = O2E ; PO3 = O3D

Mặt khác dt(DEO3) = dt(DEO2) vì cùng bắng 2/3 dt(ADE) ; DE là cạnh chung cho nên O2O3 //DE

Do vậy suy ra PQ // DE và O2O3 là đường trung bình của hình thang PQED

 2.O2O3 = PQ + DE (2)

Từ (1) và (2)  O2O3 = 2/3 DE ;

mà DE là đường trung bình của tam giác MBC nên DE = 1/2 BC

Do vậy O2O3 = 1/3.BC

Chứng minh tương tự : O2O1 = 1/3.AB ; O1O3 = 1/3.AC

Vậy dt(O1O2O3 ) = 1/9 dt(ABC)

Q

P

N

M A

B

D

C

Bài 6 Qua giao điểm hai đường chéo của hình vuông kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau Chứng minh rằng hai đường thẳng này chia hình vuông thành 4 phần có diện tích bằng nhau

Lời giải

Dễ chứng minh các tam giác : OBQ = ODP = OAM = OCN ( g.c.g)

OAQ = OCP = ODM = OBN (g.c.g) Mà dt(OBQN ) = dt(OQB) + dt(OBN) ; dt(ONCP) = dt(OCN)+dt(OCP)

dt(OPDM) = dt(OPD) + dt(ODM) ; dt(OMAQ) = dt(OMA) + dt(OAQ)

Cho nên dt(OBQN) = dt(ONCP) = dt(OPDM) = dt(OMAQ) C) Loại toán có nội dung cực trị liên quan về diện tích của các hình

A

B

C

D

E

F

Bài 1 Cho ABC , trên các cạnh AB , BC , CA theo thứ tự đó ta lấy các điểm D , E , F sao cho AD = k.AB

BE = k.BC ; CF = k.AC (0< k < 1) Xác định

k để dt(DE F) có giá trị nhỏ nhất Với dt(ABC)

= 1

Lời giải

Ta có dt(ABE) = k.dt(ABC)(1) vì BE = k.BC và chung đường cao hạ từ A

mà AD = k.AB  BD = (1 - k).AB cho nên dt(BDE) = (1 - k).dt(ABE) (2)

Từ (1) và (2) suy ra dt(BDE) = k(1-k).dt(ABC)

Tương tự : dt(CFE) = k(1-k).dt(ABC) ; dt(AD F) = k(1-k).dt(ABC)

mà dt( DE F) = dt(ABC) - [ dt(BDE) + dt(FEC) + dt(FAD) ]

= 1 - 3k(1 - k) = 3k2 - 3k + 1

Hay dt(DE F) = 3k2 - 3k + 1 = 3(k2 - k + 1/3 ) = 3[ (k2 - k + 1/4 ) + 1/12 ]

= 3[(k - 1/2 )2 + 1/12 ] = 3(k - 1/2 ) 2 + 1/4  1/4 với mọi k

Vậy giá trị nhỏ nhất của dt( DE F) là 1/4 khi k = 1/2

d

I E

M A

Bài 2 Chứng minh rằng các tam giác có chung một cạnh và chu vi bằng nhau thì tam giác cân có diện tích lớn nhất

Lời giải Để chứng minh diện tích của tam giác cân ABC có diện tích lớn nhất ta chỉ cần chứng minh mọi tam giác có chung cạnh BC và cùng chu vi với tam giác cân ABC thì chỉ cần chứng minh tam giác cân có đường cao lớn nhất

Qua đỉnh A của tam giác cân ABC ta vẽ đường thẳng d song song với đường thẳng chứa cạnh BC Ta chứng minh mọi tam giác có đỉnh nằm trên đường thẳng

d hoặc nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không chứa BC và có chung cạnh BC thì sẽ có chu vi lớn hơn chu vi của tam giác ABC Từ đó suy ra các tam giác có cùng chu vi với tam giác ABC sẽ có đỉnh nằm giữa hai đường thẳng d và đường thẳng BC Do vậy mà đường cao ứng với cạnh BC nhỏ hơn đường cao của tam giác ABC Do đó diện tích của tam giác ABC là lớn nhất

Thật vậy lấy điểm M  A nằm trên d hoặc nửa mặt phẳng bờ d không chứa

BC Gọi E là điểm đối xứng của B qua d , đễ chứng minh 3 điểm E , A , C thẳûng hàng và AB + AC = CE

mà MB > ME cho nên MB + MC > ME + MC

Trong MEC có ME + MC > CE

cho nên AB + AC < MB + MC  chu vi  ABC < chu vi MBC

Do vậy các tam giác có cùng chu vi với tam giác ABC và chung cạnh BC thì có đỉnh đối diện nằm giữa hai đường thẳng d và BC Do vậy suy ra điều phải chứng minh