Biến Đổi Đơn Giản Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai 1... Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.. Hướng dẫn Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào
Trang 1Biến Đổi Đơn Giản Biểu Thức Chứa Căn Thức
Bậc Hai
1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Ví dụ: = 3
với a < 0 với a,b ≥ 0 với a < 0, b ≥ 0 với x > 2y >0 4 3
+ +
2 + 3 2 +
2 Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Ví dụ: 2 3 2a với a ≥0 3x với x,y ≥0 3 Bài tập luyện tập: Bài 2: So sánh các căn thức bậc hai: a) 3 và có 3 = = > nên 3 >
b) > < ≥ 4
c) 4 và 5 và và
d) với
Hướng dẫn =
=
=
=
Mà > nên >
Vậy >
e)
+
> +
Trang 2Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
> +
>
2017( ) > 2016.( )
2017 > 2016 ( luôn đúng)
+
> +
Bài 3: Thực hiện phép tính 1 2 – + 2
2 2 + = 0 2 + 3
3 + + +
4 ( + ) 2 (6 3 2 ):
5
( 2).
6 + 2 2 3
5
7
8
9 Tính giá trị biểu thức: A =
:
10 Tính 2 5 2 8 5 2 5 4 Hướng dẫn
11 Rút gọn biểu thức: A =
4 Trực căn thức ở mẫu: a) Với A,B ≥ 0, B ≠ 0 ta có:
Ví dụ: =
=
b) Với A ≥ 0, A ≠ B2 ta có:
Trang 3c) Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B ta có:
Ví dụ:
với x ≥ 0 và x ≠ 1 với a > b > 0 Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a)
1 1 3 7 3 7 =
b) 4 1 6 3 1 3 2 3 3
+
c)
+
+
+
= 1
d) ( +
).( )
+
Hướng dẫn
e)
– +
+
+
f)
g)
Bài 2: Cho x, y là các số dương Chứng minh rằng: x + y – 2( + ) + 2 ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi nào ? Hướng dẫn Ta có: VT = x + y – 2( + ) + 2 = x – 2 + y 2 + 2
= (x – 2 + 1) + (y 2 + 1) = ( 1)2 + ( 1)2 ≥ 0 ∀x, y > 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
x = y = 1 Bài 3: Tính tổng sau a) A = +
+
+ … +
= 9
b) A = +
+
+ … +
Hướng dẫn
Trang 4Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
Ta có:
=
A = 1 + + + … + = 1
c) A = +
+
+ … +
Hướng dẫn A = + + … +
=
d) Tìm số nguyên dương n sao cho: +
+
+ … +
= n 6 e) Hướng dẫn Ta có: =
1 = n 6 (n + 1) 6 = 0
n = 8
Bài 4: Tính tổng a) B =
+
… +
= 7
b) E =
+
…
= 4
c) P 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 Hướng dẫn c) Ta có: = ( + )
P = ( ) + …
=
Bài 5: Tính tổng a) B = +
+
+
+… +
= 6
b) B = +
+
+ … +
= 11
c) M = 3 4 1 4 1
9 13 1 5 9 1 1 5 1 n n Hướng dẫn Ta có:
=
=
Trang 5=
=
M =
Hướng dẫn
Ta có:
=
=
e) Tìm giá trị của x thỏa mãn:
+
+ … +
=
Hướng dẫn
Ta có:
=
=
+
+ … +
=
+
+ … +
=
+
+ … +
+
=
=
=
=
= 45 x = 2024
Bài 6: Tính tổng:
A = + + + … +
B = + + … +
C =
Hướng dẫn:
Ta chứng minh:
2
1
1
2 2
1
1
n n
=
1
n n
=
1
2
1 1
1
n n
=
A = (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + … + (1 +
)
Trang 6Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
= 99 + + 1 + + 1 + + … + 1 +
= 100 = 99,99 B = 1 + + 1 + + … +1 +
+ 1 +
= 2014 +
= 1007(2 + )
C =
= 2017
= 2007
5 Bài toán bất đẳng thức chứ căn bậc hai Bài 1: Cho >
Hướng dẫn Ta sử dụng bất đẳng thức Cô si a + b ≥ 2 : ≥
Ta có: > =
=
> =
=
> =
=
> =
=
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được: +
+
+ … +
>
= 2 (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: B = 1 + +
+
+ … +
> 86 Hướng dẫn Ta có: B =
+
+
+
+ … +
B =
+
+
+
+ … +
B >
+
+
+
+ … +
B > 2
Trực căn thức ở mẫu ta được: B > 2( 1) > 2( 1) = 2(44 – 1) = 86 Bài 3: Chứng minh: 1 + + + + … + > 2( 1)
1 1 1 1 A
Trang 7Hướng dẫn
Ta chứng minh:
=
> =
= 2
Vậy: 1 + +
+
+ … +
> 2( + … + + 1
+ + 0) = 2( 1)
Bài 4: Chứng minh: 1 +
+
+
+ … +
>
Hướng dẫn Ta có:
> > > > … >
Nên 1 +
+
+
+ … +
> =
Bài 5: Chứng minh: < 1 + +
+
+ … +
<
Hướng dẫn Ta có:
> > > > … >
Nên 1 +
+
+
+ … +
> =
Ta có: =
< = 2( )
Do đó: 1 +
+
+
+ … +
> 2( + … +
1 – + 0) = 2 Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương k ta có: Hướng dẫn Ta có: =
= (
) = (
) (
+
)
= (
) (1 +
) < 2(
) (đpcm) Bài 7: Chứng minh : Hướng dẫn Áp dụng: < 2(
)
+ +
+ … +
< 2(1 ) + 2(
) + 2(
) + … + 2(
) = 2(1 ) < 2 (đpcm) Bài 8: Cho A =
+
+ … +
1 1 1 2 ) 1 ( 1 k k k k 2 ) 1 ( 1
3 4
1 2 3
1 2
n n
Trang 8Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
B = 1 +
+
+ … +
Chứng minh B > A
Hướng dẫn
Ta có:
=
A = 1 + + + … + = 1 = 10 (1) Với mọi k N* ta có:
=
>
= 2
Do đó: B = 1 +
+
+ … +
B > 2(1 + + + … + ) = 2(1 + 6) = 10 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: B > A
Bài 9: Cho 25 số tự nhiên a1, a2, a3, … a25 thỏa điều kiện:
+
+
+ … +
= 9
Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau
Hướng dẫn
Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau Không mất tính tổng quát, giả sử: a1 < a2 < … < a25 suy ra a1 ≥ 1, a2 ≥ 2 , … a25 ≥ 25
Thế thì:
+
+
+ … +
≤
+
+ … +
(1)
Ta lại có:
+
+ … +
+
=
+
+ … +
+ 1 <
+
+ … +
+ 1 = 2( 1) + 1 = 9 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
+
+
+ … +
< 9, trái với giả thiết Vậy tồn tại hai
số bằng nhau trong 25 số a1, a2, a3, … a25
Bài 10: Cho 2015 số tự nhiên a1, a2, a3, … a2015 thỏa điều kiện:
+
+
+ … +
≥ 89
Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên đó tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
Hướng dẫn
Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau Không mất tính tổng quát, giả sử: a1 < a2 < … < a2015 suy ra a1 ≥ 1, a2 ≥ 2 , … a2015 ≥ 2015
Thế thì:
+
+
+ … +
≤
+
+ … +
(1)
Trang 9Ta lại có:
+
+ … +
+
=
+
+ … +
+ 1 <
+
+ … +
+ 1 = 2( 1) + 1
Mà 2( 1) + 1 = 89
+
+ … +
+
< 89 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
+
+
+ … +
< 89, trái với giả thiết Vậy tồn tại
ít nhất hai số bằng nhau trong 2015 số a1, a2, a3, … a2015