Bài 6 các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức I.. Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất.. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất.. Bài tập vận dụng.

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

biểu thức

I Phương pháp

1 Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất

= + M ≥ M (M  R) vậy Min = M

Ví dụ1: = (x – 2)2 + 7 ≥ 7 vậy Min = 7 khi x = 2

Ví dụ 2: = x2 + 3x + 1 = (x + )2  ≥ 

Vậy Min =  khi x + = 0 x = 

2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất

= N  ≤ N (N  R) vậy Max = N

Ví dụ 1: = 15 – (x – 5)2 ≤ 15 vậy Max = 15 khi x – 5 = 0 x = 5

Ví dụ: = x2 + 4x + 2014 = (x2  4x + 4) + 2018

= 2018  (x – 2)2 ≤ 2018 Vậy Max = 2018 khi x – 2 = 0 x = 2

3 Bất đẳng thức côsi chỉ áp dụng cho những số dương:

 Xét: (  )2 ≥ 0 (với a, b là hai số dương)

a + b  2 ≥ 0 a + b ≥ 2 (Cô si) Dấu “ = ” xảy ra a = b

Ví dụ: Cho số a dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a + + 1

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a ta có: a + ≥ 2 = 2.2 = 4

P = a + + 1 ≥ 4 + 1 = 5 dấu “=” xảy ra khi a = a = 2

Vậy PMin = 5 khi a = 2

II Bài tập vận dụng





đk: x ≥ 0, x ≠ 1

Hướng dẫn

 Rút gọn P = x  + 1 = (  )2 + ≥

 Theo điều kiện : x ≥ 0

 Giá trị nhỏ nhất của P = khi x =

+



):(

 1)

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Hướng dẫn

Do điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1 ≥ 3 thì

≤

≥  1

do đó Min P = 1 khi x = 0 Vậy với x = 0 thì BMin = 1





đk: x ≥ 0, x ≠ 4, 9 a) Rút gọn biểu thức A >

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = =

= 1 

Hướng dẫn

 Rút gọn A =

>

> 0 với x ≥ 0 – > 0 x > 9

 Do điều kiện x ≥ 0 +1 ≥ 1

≤ 4 

≥ 4

1 

≥ 1  4 = 3 do đó Min B = 3 khi x = 0 Vậy với x = 0 thì BMin = 3

 1):(





) a) Rút gọn M

b) Tìm x để 5M là số chính phương

c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Hướng dẫn

 Rút gọn M =

 Giá trị lớn nhất của M:

Do điều kiện x ≥ 0 ≥ 2

≤ do đó Max B = khi x = 0

 Để 5M

là số chính phương khi và chỉ khi thương của nó là các số chính phương ( khi căn bậc hai của số đó ra số tự nhiên)

 Vậy + 2 là Ư(25) + 2 = 1, 25

Bài 5: Cho biểu thức B =

với x > 0 a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B Hướng dẫn: B =

Giá trị nhỏ nhất của

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương ta có:

Như vậy

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy khi x = 1 Bài 6: Cho P =

với x ≥ 0, x ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Hướng dẫn Rút gọn P: P =

Tìm giá trị nhỏ nhất của P: P

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có:

Vậy Pmin = –

Dấu bằng xảy ra khi + 3 =

Vậy khi x = 4 Bài 7: Cho biểu thức N =

với x ≥ 0 a) Rút gon N

b) Tìm giá trị lớn nhất N

Hướng dẫn

Xét x > 0 N =

Áp dụng bất đẳng thức cô si :

Do đó: N =

Dấu “ =” xảy ra khi x = 1 Vậy khi x = 1 Bài 8: Cho biểu thức P =

:

a) Tính giá trị của P biết x = 6  2 b) Tìm giá trị lớn nhất của: Bài 9: Cho biểu thức A =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A  9 Hướng dẫn: Rút gọn biểu thức A =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = A  9 x

P =

Xét x > 0 Áp dụng bất đẳng thức cô si : Dấu “ =” xảy ra khi x =

Do đó: P =

Dấu “ =” xảy ra khi x = Vậy khi x =