Xấp xỉ đều và ứng dụng trong toán sơ cấp

Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong nhiệm vụ chính của giải tích số, bằng việc thay một hàm có dạng phức tạp hoặc hàm dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn với sai số nhỏ.. N

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ MẠNH HÀ

XẤP XỈ ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ MẠNH HÀ

XẤP XỈ ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn trân trọng đến TS Nguyễn Văn Hùng, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và làm luận văn

Trong suốt quá trình học tập và làm luận văn thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô công tác tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tác giả xin tỏ lòng biết ơn các thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học và hoàn thành được luận văn

Tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân và các bạn trong khóa K18 đã giúp đỡ động viên, cổ vũ mình trong quá trình học tập tại trường cũng như thời gian hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả mong nhận được đóng góp của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

- Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Đỗ Mạnh Hà

MỤC LỤC

Mở đầu… 6

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN……… 8

1.1 Không gian tuyến tính……… 8

1.2 Không gian Banach……… 8

1.3 Không gian Hilbert……… 10

Chương 2 LÝ THUYẾT XẤP XỈ TỐT NHẤT……… 12

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Banach……… 12

2.2 Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian C[a;b]……… 14

2.3 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert……… 22

2.4 Xấp xỉ tốt nhất trong L2[a;b]……… 28

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA XẤP XỈ TỐT NHẤT 33

3.1 Ứng dụng trong toán sơ cấp……… 33

3.2 Một số ứng dụng khác……… 74

Kết luận……… 86

Tài liệu tham khảo 87

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán học tính toán, là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giải phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong nhiệm vụ chính của giải tích

số, bằng việc thay một hàm có dạng phức tạp hoặc hàm dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn với sai số nhỏ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán trong không gian Banch, không gian C[a;b] không gian Hilbert, L2[a;b] và một số ứng dụng vào toán sơ cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các hàm trong không gian Banch, không gian C[a;b] và không gian Hilbert và ứng dụng của xấp xỉ tốt nhất trong các bài toán sơ cấp

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số

6 Giả thuyết khoa học

Trình bày có hệ thống và rõ ràng một số vấn đề của lý thuyết xấp xỉ tốt nhất trong các không gian Banach, C[a;b], Hilbert và L2[a;b]

Ứng dụng của xấp xỉ tốt nhất giải quyết một lớp các bài toán sơ cấp và một số ứng dụng

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 1.1.1 Trên tập 𝑋 ≠ ∅ , xác định một cấu trúc tuyến tính nếu với mỗi x y, X với mỗi tϵℝ ( hoặc 𝑡 ∈ ℂ) xác định phép cộng x y X

và phép nhân txX thỏa mãn các tính chất sau:

Khi đó ( , )X  là không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.2 Cho hệ 𝑛 véc tơ 𝑥1, 𝑥2,…𝑥𝑛 trong không gian tuyến tính 𝑋 Xét đẳng thức véc tơ 1 1x 2 2x   n x n 0 Đẳng thức trên xảy ra

⟺ 1  2   n 0 thì hệ 𝑛 véc tơ đó là độc lập tuyến tính hoặc tồn tại bộ

1.2 KHÔNG GIAN BANACH

Định nghĩa 1.2.1 Tập 𝑋 khác rỗng gọi là không gian metric nếu với mỗi cặp phần tử x y, đều xác định theo quy tắc nào đó, một số thực ( , )x y

gọi là : "khoảng cách giữa x y, " và thỏa mãn các tiên đề sau:

, ( , ) 0

a  x y  nếu x y,

( , )x y 0 x y.

    , ( , ) ( , ), , ., ( , ) ( , ) ( , ), , ,

Hàm số ( , ) x y gọi là metric của không gian 𝑋

Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian metric 𝑋 Dãy  x n được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu  

Định nghĩa 1.2.3 Không gian tuyến tính định chuẩn

Giả sử 𝑋 là một không gian tuyến tính trên 𝑅

Ánh xạ : X R xác định trên 𝑋 lấy giá trị trên tập số thực:

x R thỏa mãn các điều kiện sau:

Không gian tuyến tính X cùng với . được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn 𝑋 gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong 𝑋 đều hội tụ

Định nghĩa 1.2.5 Không gian các hàm số liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏], kí hiệu là 𝐶[𝑎; 𝑏]

1.3 KHÔNG GIAN HILBERT

Trong phần này ta xét 𝑋 là một không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.3.1 Không gian tiền Hilbert

Một không gian tuyến tính thực 𝑋 được gọi là không gian tiền Hibert nếu trong đó có xác định một hàm hai biến ( , )x y gọi là tích vô hướng của hai véc tơ ( , )x y với các tính chất sau:

Ví dụ 1.3.1 Không gian C a;b gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn

 a b; với các phép toán thông thường và tích vô hướng cho bởi:

b

a

x y x t y t dt là một không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.3.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ là một không gian

Nhận xét

i) Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn

( , )

ii) Không gian tiền Hilbert luôn có bất đẳng thức Schwars:

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Banach

Cho X là không gian Banach và 𝑋1 là không gian con hữu hạn chiều của nó Với mỗi 𝑦 ∈ 𝑋 cho trước, hãy tìm 𝜑0 ∈ 𝑋1 sao cho:

‖𝜑0− 𝑦‖ = 𝑑(𝑦, 𝑋1) = inf

𝜑∈𝑋 1‖𝜑 − 𝑦‖

Phần tử 𝜑0 nếu tồn tại được gọi là xấp xỉ tốt nhất của y trong 𝑋1

Định lý 2.1.1 Nếu 𝑋1 là không gian con hữu hạn chiều của không gian Banach 𝑋 thì mỗi phần tử 𝑦 ∈ 𝑋 luôn tồn tại phần tử xấp xỉ tốt nhất trong 𝑋1

‖𝑦 − 𝑣‖ ≥ ‖𝑣‖ − ‖𝑦‖ > ‖𝑦‖ = ‖𝑦 − 𝜙‖

Do đó 𝑣 không xấp xỉ 𝑦 tốt bằng phần tử 𝜃 ∈ Ω Như vậy, ta có thể giới hạn việc tìm xấp xỉ tốt nhất trong Ω Do đó Ω là tập đóng, bị chặn trong không gian con hữu hạn chiều 𝑋1 nên Ω là tập compact

Hệ thức (∗) chứng tỏ (∗∗) đạt được dấu " = "

Do đó hệ thức (∗) tương đương với:

{|〈𝑥, 𝑦〉| = 〈𝑥, 𝑦〉 ⟺ {𝑦 = 𝜆𝑥 〈𝑥, 𝜆𝑥〉 ≥ 0𝑦 = 𝜆𝑥 ⟺ {𝜆〈𝑥, 𝑥〉 ≥ 0𝑦 = 𝜆𝑥 ⟺ {𝑦 = 𝜆𝑥

𝜆 ≥ 0Theo giả thiết 𝑥, 𝑦 ≠ 0 ⇒ 𝜆 ≠ 0 vậy 𝑦 = 𝜆𝑥 (𝜆 ≥ 0) (đpcm)

Chú ý: Không gian 𝐶[𝑎;𝑏] không phải là không gian lồi chặt

𝑥(𝑡) = 1, 𝑦(𝑡) = 𝑡 − 𝑎

𝑏 − 𝑎với 𝑡 ∈ [𝑎; 𝑏]

Khi đó ta có:

Thật vậy:

Xét ‖𝑥(𝑡)‖ = 1, ‖𝑦(𝑡)‖ = max

𝑡∈[𝑎;𝑏]‖𝑡 − 𝑎

𝑏 − 𝑎‖ = 1 ⇒ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ = 2 Mặt khác: ‖𝑥 + 𝑦‖ = max

2.2 Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian 𝑪[𝒂;𝒃]

Xét 𝑋 = 𝐶[𝑎;𝑏] là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] với chuẩn bởi ‖𝜑‖ = max

𝑡∈[𝑎,𝑏]‖𝜑(𝑡)‖, 𝑋1 là không gian con của X sinh bởi {1, 𝑥, … , 𝑥𝑛} Khi đó theo kết quả phần trên thì với mỗi 𝑦 ∈ 𝑋, tồn tại một xấp

Định lý 2.2.1 (Valleé-Poussin) Giả sử 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎;𝑏] và 𝑄 ∈ 𝑋1 Nếu tồn tại 𝑛 + 2 điểm phân biệt: 𝑎 ≤ 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛+1 ≤ 𝑏 sao cho 𝑓(𝑥𝑖) −𝑄(𝑥𝑖) lần lượt đổi dấu, nghĩa là sign{(−1)𝑖[𝑓(𝑥𝑖) − 𝑄(𝑥𝑖)]} = const

Định lý 2.2.2 (Chebyshev) Điều kiện cần và đủ để đa thức 𝑃 ∈ 𝑋1 là

đa thức xấp xỉ tốt nhất của hàm 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎; 𝑏] là tồn tại (𝑛 + 2) điểm

𝑎 ≤ 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛+1 ≤ 𝑏 sao cho

𝑓(𝑥𝑖) − 𝑃(𝑥𝑖) = 𝛼(−1)𝑖‖𝑓 − 𝑃‖, (𝑖 = 0, 𝑛 + 1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅), trong đó 𝛼 = 1 hoặc 𝛼 = −1 và với mọi 𝑖

Đặt 𝑧0 = 𝑎, 𝑧𝑚 = 𝑏 Theo phép xây dựng trên thì mỗi [zi−1, zi],

𝑖 = 1, 𝑚̅̅̅̅̅̅, có điểm 𝑦𝑖 ở đó sao cho 𝑓(𝑦𝑖) − 𝑄𝑛(𝑦𝑖) = (−1)𝑖−1𝐿, và không có điểm x để [𝑓(𝑦𝑖1) − 𝑄𝑛(𝑦𝑖)] = (−1)𝑖𝐿

Đặt 𝑣(𝑥) = ∏𝑚−1(𝑧𝑗− 𝑥)

𝑗=1 , 𝑄𝑛𝑑(𝑥) = 𝑄𝑛(𝑥) + 𝑑𝑣(𝑥)(𝑑 > 0)

Xét hàm số: 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛𝑑(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑄𝑛 − 𝑑𝑣(𝑥) trên đoạn [z0; z1] Trên [z0; z1) thì 𝑣(𝑥) > 0 do đó: 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛𝑑(𝑥) ≤ 𝐿 − 𝑑𝑣(𝑥) < 𝐿 Mặt khác |𝑓(z1)−Qdn(z1)| = |𝑓(z1)−𝑄𝑛(z1)| < 𝐿

Từ đó suy ra 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛(𝑥) > 𝐿, ∀𝑥 ∈ [z0; z1] Như vậy tồn tại 𝑑1dương đủ nhỏ để ∀𝑑 ∈ (0; 𝑑1) thì ta có 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛𝑑(𝑥) < 𝐿, ∀𝑥 ∈ [z0; z1]

Xét hàm số 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛𝑑(𝑥) trên đoạn [z0; z1], với (z0; z1) ta có:

𝑣(𝑥) < 0 Suy ra 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛𝑑(𝑥) ≥ −𝐿 − 𝑑𝑣(𝑥) > −𝐿

Ta lại có 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛(𝑥) > 𝐿, ∀𝑥 ∈ [z0; z1]

Vậy với 𝑑 < 𝑑2 thì 𝑓(𝑥)−𝑄𝑛(𝑥) > 𝐿, ∀𝑥 ∈ [z0; z1]

Mặt khác: |𝑓(𝑧1)−𝑄𝑛𝑑(𝑧1)| = |𝑓(𝑧1)−𝑄𝑛(𝑧1)| < 𝐿

|𝑓(𝑧2)−𝑄𝑛𝑑(𝑧2)| = |𝑓(𝑧2)−𝑄𝑛(𝑧2)| < 𝐿

Vậy tồn tại 𝑑2 dương đủ nhỏ để ∀𝑑 ∈ [0; 𝑑2] Ta có:

|𝑓(𝑥)−𝑄𝑛𝑑(𝑥)| < 𝐿 ∀𝑥 ∈ [𝑧0; 𝑧1]

Lập luận tương tự như trên đoạn [𝑧0; 𝑧1], đối với các đoạn [𝑧𝑖−1; 𝑧𝑖] với

𝑖 = 2𝑘 + 1, 𝑘 = 0,1,2, … , khi đó ∃0 < 𝑑𝑖 sao cho 0 < 𝑑 < 𝑑1 thì

Định lý 2.2.3 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎; 𝑏] là duy nhất

Từ đây suy ra: 𝐸𝑛(𝑓) = |𝑃(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑄(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖)|

Ta có: |1 + 𝜆𝑖| |𝑄(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖)| = (1 + 𝜆𝑖)𝐸𝑛(𝑓) = 𝐸𝑛(𝑓) ⇒ 𝜆 = 1

Từ đó suy ra: 𝑃(𝑥𝑖) = 𝑄(𝑥𝑖), (𝑖 = 0, 𝑛 + 1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) hay 𝑃 ≡ 𝑄

Định lý 2.2.4 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của 𝑃 ∈ 𝑋1 của một hàm

Do tính duy nhất của xấp xỉ đều tốt nhất ta được: 𝑃(−𝑥) = 𝑃(𝑥)

∀𝑥 ∈ [−1; 1]

Vậy 𝑃 ∈ 𝑋1 là hàm chẵn

Trường hợp là hàm lẻ chứng minh tương tự

Định lý 2.2.5 Giả sử 𝑓 ∈ 𝐶𝑛[𝑎; 𝑏] còn 𝑓(𝑛+1)(𝑥) giới nội và không đổi dấu [𝑎; 𝑏] Khi đó:

inf

𝑥∈[𝑎;𝑏]|𝑓(𝑛+1)(𝑥)| (𝑏 − 𝑎)(𝑛+1)

22𝑛+1(𝑛 + 1)! ≤ 𝐸𝑛(𝑓)

≤ supx∈[a;b]|𝑓(𝑛+1)(𝑥)| (𝑏 − 𝑎)(𝑛+1)

22𝑛+1(𝑛 + 1)!

Như vậy 𝑄 là đa thức nội suy của hàm 𝑓 với các mốc nội suy {𝑦𝑖}𝑖=0𝑛+1:

Hệ quả: Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc n của một đa thức bậc 𝑛 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1+ ⋯ + 𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1, 𝑎𝑛+1 ≠ 0 có dạng:

Từ định lý 2.5 ta có: 𝐸𝑛(𝑓) = |𝑎𝑛+1|.(𝑏 − 𝑎)𝑛+1

22𝑛+1 và đa thức 𝑄 có bậc không quá 𝑛, ngoài ra:

𝑓(𝑥) − 𝑄(𝑥) = |𝑎𝑛+1| |𝑇𝑛+1(2𝑥 − (𝑎 + 𝑏)

𝑏 − 𝑎 )|

(𝑏 − 𝑎)𝑛+1

22𝑛+1 Khi đó các điểm Chebyshev của 𝑄 là :

2.2.1 Xấp xỉ bằng đa thức bậc không

𝑥∈[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) , 𝑚 = min

𝑥∈[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) Khi đó 𝑄(𝑥) = 𝑀 + 𝑚

2 là đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc không của 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏]

Khi đó, gọi 𝑄(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f trên [𝑎; 𝑏] Ta có: 𝑓(𝑥) − (𝑎0+ 𝑎1𝑥) cùng là hàm lồi đạt cực trị tại một điểm trong duy nhất thuộc [𝑎; 𝑏] Theo định lý Chebyshev, tồn tại 3 điểm luân phiên Chebyshev Tại đó |𝑓(𝑥) − (𝑎0+ 𝑎1𝑥)| đạt cực đại, do đó 2 điểm Chebyshev còn lại phải là a và b, ta có: 𝑓(𝑎) − (𝑎0+ 𝑎1𝑎) =∝ 𝐿 (2.1)

𝑓(𝑏) − (𝑎0+ 𝑎1𝑏) = −∝ 𝐿 (2.2) 𝑓(𝑐) − (𝑎0 + 𝑎1𝑐) =∝ 𝐿 (2.3) Trong đó 𝐿 = ‖𝑓 − 𝑄‖, ∝= ±1 từ (2.1) và (2.3) suy ra

Ý nghĩa hình học của xấp xỉ bởi đa thức bậc nhất:

Nối 2 điểm 𝐴(𝑎; 𝑓(𝑎)), 𝐵(𝑏; 𝑓(𝑏)) bằng đoạn thẳng

𝐴𝐵: 𝑦 = 𝑎1(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) = 𝑎1𝑥 + 𝑓(𝑎) − 𝑎𝑎1

Kẻ tiếp tuyển song song với AB:

𝐶𝐷: 𝑦 = 𝑎1(𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑎) = 𝑎1𝑥 + 𝑓(𝑐) − 𝑐𝑎1 Đường cần tìm là trung bình của hai đường AB và CD, đó là:

2.3 XẤP XỈ TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HIBERT

〈𝑥 − 𝑆, 𝑒𝑘〉 = 𝑐𝑘 − 〈𝑆 − 𝑆𝑛, 𝑒𝑘〉 − 𝑐𝑘 = 〈𝑆𝑛 − 𝑆, 𝑒𝑘〉

Như vậy:

0 ≤ |〈𝑥 − 𝑆, 𝑒𝑘〉| = |〈𝑆𝑛− 𝑆, 𝑒𝑘〉 ≤ ‖𝑆𝑛− 𝑆‖ → 0 (𝑛 → ∞) hay 〈𝑥 − 𝑆, 𝑒𝑘〉 = 0, ∀ 𝑘 ∈ 𝑁

Do Span(e̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = H nên tìm được n)

Mệnh đề 2.3.2 Hệ vectơ {𝑒}1𝑛 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức Gramm G(𝑒1, … , 𝑒𝑛) = det (〈𝑒𝑖, 𝑒𝑗〉)𝑖,𝑗−1𝑛 ≠ 0

𝑖=1

Suy ra e = 𝜃 hay hệ {𝑒}1𝑛 phụ thuộc tuyến tính

2.3.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert

Bài toán: Cho 𝐻0 là một không gian con đóng của không gian Hilbert

H Tìm ℎ0 ∈ 𝐻0 sao cho:

‖𝑥 − ℎ0‖ = 𝑑0 ∶= inf

ℎ ∈ 𝐻0‖𝑥 − ℎ‖ = 𝑑(𝑥, 𝐻0) (2.6)

Mệnh đề 2.3.3 Giả sử ℎ0 = argmin

ℎ ∈ 𝐻0 ‖𝑥 − ℎ‖ Khi đó 𝑥 − ℎ0 ⊥ 𝐻0 Chứng minh: Cố định phần tử h ∈ 𝐻0 bất kỳ

Mệnh đề 2.3.5 Giả sử dim 𝐻0 < +∞

Khi đó xấp xỉ tốt nhất ℎ0 = argmin

ℎ ∈ 𝐻0 ‖𝑥 − ℎ‖ tồn tại và duy nhất Chứng minh: Kết luận của mệnh đề 2.3.3 và suy ra từ định lí 2.1, 2.2 chương 2

Tuy nhiên có thể chứng minh trực tiếp mệnh đề này

a Duy nhất: Giả sử ℎ𝑖 ∈ 𝐻0 (i = 1,2) là hai phần tử có:

b Tồn tại: Giả sử {𝑒1}1𝑛 là cơ sở của 𝐻0

1 Trường hợp hệ {𝑒1}1𝑛 trực giao:

〈𝑒𝑖, 𝑒𝑗〉 = ‖𝑒𝑖‖2𝛿𝑖𝑗

Hệ (2.7) trở thành 𝑐𝑖 =〈𝑒‖𝑒𝑖, 𝑒𝑗〉

𝑖‖2 Còn phương sai 𝛿𝑛2 tính theo công thức:

𝛿𝑛2 = ‖𝑥 − ℎ0‖2 = 〈𝑥 − ℎ0, 𝑥 − ℎ0〉 = 〈𝑥 − ℎ0, 𝑥〉 − 𝑥〈𝑥 − ℎ0, ℎ0〉 = 〈𝑥 − ℎ0, 𝑥〉

Thật vậy, với n = 1, G(𝑒1) = 〈𝑒1〉 = 〈𝑒1, 𝑒1〉 = ‖𝑒1‖2

Giả sử G(𝑒1, … , 𝑒𝑛) > 0 khi đó theo (2.7) ta có:

𝑑 (𝑒𝑛+1, 𝑆𝑝𝑎𝑛 ({𝑒𝑖}1𝑛)) =𝐺(𝑒1, 𝑒2… , 𝑒𝑛+1)

G(𝑒1, 𝑒2… , 𝑒𝑛) Theo giả thiết quy nạp

𝑑 (𝑒𝑛+1, 𝑆𝑝𝑎𝑛 ({𝑒𝑖}1𝑛)) > 0 và G(𝑒1, … , 𝑒𝑛) > 0

⟹ G(𝑒1, 𝑒2… , 𝑒𝑛+1) > 0

2.4 XẤP XỈ TỐT NHẤT TRONG 𝐋𝟐[𝐚; 𝐛]

Xét không gian các hàm bình phương khả tích với trọng p trên [a, b] Hàm p(x) không âm trên [a, b] và mes{x ∈ [a, b] : p(x) = 0} = 0 Ta định nghĩa tích vô hướng

Cho hệ hàm {𝑥𝑖}0∞ độc lập tuyến tính trên [a; b] Gọi 𝒫𝑛 là tập hợp tất

cả các đa thức có bậc không quá n Rõ ràng 𝒫𝑛 = 𝑆𝑝𝑎𝑛({𝑥𝑖}0𝑛) Theo mệnh

đề 2.3.3, tồn tại duy nhất đa thức P ∈ 𝒫𝑛 sao cho:

𝛿𝑛2 = ‖𝑓 − 𝑃‖2 = ∫ 𝑝(𝑥)[𝑓(𝑥) − 𝑃(𝑥)]2𝑑𝑥 = inf

𝑄 ∈ 𝑃𝑛‖𝑓 − 𝑄‖2

𝑏

𝑎Đặt

Chú ý: Khi p(x) = 1; a = 0, b = 1 thì

Ma trận này điều kiện rất xấu (ill-conditioned), do đó: Người ta thường không dùng cơ sở đại số mà dùng các cơ sở trực giao

2.4.2 Xấp xỉ bằng đa thức trực giao

Trong không gian 𝐿2𝑝[𝑎; 𝑏] các hàm bình phương khả tích với trọng p(x) ta có các khẳng định sau:

1 Hai hệ đa thức trực giao chỉ khác nhau những thừa số hằng số

2 Số nghiệm thực của đa thức trực giao 𝑄𝑛(x) trên [a; b] đúng bằng n

3 Nghiệm của 𝑄𝑛−1(x) và 𝑄𝑛(x) trên [a; b] xen kẽ nhau

4 Mỗi đa thức trực giao 𝑄𝑛 thỏa công thức truy hồi:

𝑎𝑛,𝑛+1𝑄(𝑥) + (𝑎𝑛,𝑛− 𝑥)𝑄𝑛(𝑥) + 𝑎𝑛−1,𝑛𝑄𝑛−1(𝑥) = 0 (a) Đa thức Legendre p(x) ≡ 1; a = -1; b =1

= √ 22𝑛 + 1

= {√𝜋 𝑛 = 0

√𝜋

2 𝑛 > 0

(d) Đa thức lượng giác p(x) = 1; a = -𝜋; 𝑏 = 𝜋

- Hệ lượng giác (1, cosx, sinx, … , cosnx, sinnx, …) và đầy đủ trong

Như ta đã biết, chuỗi Fourier hội tụ trong 𝐿2𝑝[𝑎, 𝑏] Nếu f ∈ 𝐶1(𝑎, 𝑏),

có thể chứng minh được rằng chuối Fourier hội tụ đều trên mỗi đoạn còn hữu hạn thuộc (a,b) (ở đây a≥ −∞; 𝑏 ≤ ∞)

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA XẤP XỈ TỐT NHẤT

3.1 Ứng dụng trong toán sơ cấp

Từ việc nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ đều tốt nhất ở chương 2 trong chương này sẽ đưa ra lời giải tổng quát cho một lớp các bài toán sơ cấp dựa trên lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất bằng đa thức bậc không và bậc nhất Chú ý ở đây tôi trình bày một cách giải tổng quát nhất cho các loại toán hay gặp, dựa trên lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất

3.1.1 Ứng dụng xấp xỉ bằng đa thức không cho các lớp bài toán

Bài toán: Cho hàm số f(x) liên tục trên [α; β] Tìm 𝑎 sao cho

Lời giải bằng toán sơ cấp:

Bước 1: Tìm GTLN, GTNN của 𝑓(𝑥)trên [𝛼; 𝛽]

⟺ 𝑎 = 𝑀 + 𝑚

2 Bước 3: Kiểm tra lại với 𝑎 = 𝑀 + 𝑚

2 thì a =

𝑀 + 𝑚

2 Cần kiểm tra lại với 𝑎 = 𝑀 + 𝑚

2 thì max𝑥 ∈[𝛼; 𝛽]|f(𝑥) − 𝑎| =𝑀 − 𝑚

2 Điều này sẽ xảy ra nếu ta sử dụng kết quả sau:

|𝑋 – 𝑎| ≤ max

∀ 𝑋 ∈[𝑚;𝑀]{|𝑚 − 𝑎|, |𝑀 − 𝑎|} với mọi a (*) Thật vậy, ∀ 𝑋 bất kì ∈ [𝑚; 𝑀]

Ta có 𝑚 ≤ 𝑋 ≤ 𝑀, suy ra 𝑚 – 𝑎 ≤ 𝑋 – 𝑎 ≤ 𝑀 – 𝑎

+ Nếu 𝑋 – 𝑎 < 0, khi đó: 𝑚 – 𝑎 ≤ 𝑋 – 𝑎 < 0,

suy ra |𝑋 – 𝑎| ≤ |𝑚 – 𝑎|

+ Nếu 𝑋 – 𝑎 ≥ 0, khi đó: 0 ≤ 𝑋 – 𝑎 ≤ 𝑀 – 𝑎,

𝑋 ∈[𝑚;𝑀]|𝑔(𝑋)| = 𝑀 − 𝑚

2 Bước kiểm tra lại cuối cùng để nhấn mạnh thêm mức độ chặt chẽ về mặt logic có thể chỉ ra rằng:

2 (3.2) 𝑔(𝑀) 𝑔(𝑚) ≤ 0 (3.3) Tuy nhiên, chỉ với (3.2), (3.3) là ta tìm được a nên việc kiểm tra (3.1) là cần thiết

3.1.2 Ứng dụng xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất cho lớp các bài toán

Bài toán: Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục, lồi (hoặc lõm) trên [α; β] Tìm a, b sao cho max

𝑀0 = |𝑓(𝛼) − [𝑘𝛼 + 1

2(𝑚 + 𝑛)]| = |𝑓(𝛽) − [𝑘𝛽 +

1

2(𝑚 + 𝑛)]| Chú ý:

- Cần kiểm tra f(x) có lồi trên [α; β] hay không?

- Với giá trị a, b ở trên thì |g(𝑥0)| = |g(α)| = |g(β)| = 𝑀0

Đồng thời ta thấy chỉ có thế xảy ra một trong hai trường hợp:

0

y

B

2(𝑚 + 𝑛)

} Chứng minh 𝑀 > 𝑀0

+ 𝑏 =1

2(𝑚 + 𝑛), chứng minh 𝑀 = 𝑀0 Khi đó bỏ qua bước 4

Nhận xét:

Lời giải tổng quát dựa trên lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất, giúp cho giáo viên định hướng ra một lớp các bài toán sơ cấp cho học sinh khá giỏi Tuy nhiên việc lựa chọn hàm số f(x) cũng như đoạn [𝛼; 𝛽] là không đơn giản Cần ghi nhớ: Đối với xấp xỉ bằng đa thức bậc không thì 𝑓(𝑥) phải liên tục trên đoạn [𝛼; 𝛽], còn xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất thì 𝑓(𝑥) liên tục và lồi (hoặc lõm) trên đoạn [𝛼; 𝛽] Cần đưa ra hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝛼; 𝛽] để quá trình tính toán không quá cồng kềnh Vì vậy giáo viên nên đưa ra gợi ý về các bước, hay các bài toán phụ để dẫn dắt

3.1.3 Lớp các bài toán cụ thể

Bài toán 1 Tìm a để max

x∈[−1;2]|−4𝑥2+ 2𝑥 + 𝑎)| đạt min

Lời giải :

Ta có hàm số 𝑓(𝑥) = −4𝑥2+ 2𝑥 liên tục trên đoạn [−1; 2]

Yêu cầu bài toán tương đương với:

Vậy − 𝑎 = −47

8 ⟺ 𝑎 =

47

8 Khi đó GTLN đạt được :

maxx∈[−1;2]|−4𝑥2+ 2𝑥 +47

Khi đó, bài toán đã cho có dạng:

Tìm a sao cho max

𝑥∈[−12;14]|𝑦(𝑋)|, từ ước lượng ở trên ta có

4+ 𝑎) ≥ 0

⟺ { 𝑎 =

4781

8 thì giá trị lớn nhất của hàm số y=|-4x2+2x+a| trên [-1;2] đạt GTNN là 49

Yêu cầu bài toán tương đương với:

Tìm đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc không của 𝑓(𝑥) = 4𝑥 trên [0; 2]

𝑋∈[1;16]|𝑦(𝑋)|, từ ước lượng ở trên ta có : 2𝐾 ≥ 1 ⇒ 𝐾 ≥15

2 Vậy 𝐾 = 15

2 khi