Xấp xỉ và ổn định của một số lớp phương trình với các hàm splines

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ LUẬN XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VỚI CÁC HÀM SPLINES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH

VỚI CÁC HÀM SPLINES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH

VỚI CÁC HÀM SPLINES

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2016

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Nguyễn VănTuấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn đểtôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đã cổ

vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Luận

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn VănTuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Xấp xỉ và ổnđịnh của một số lớp phương trình với các hàm splines” được hoànthành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Luận

Mục lục

1.1 Không gian tuyến tính 8

1.1.1 Khái niệm không gian tuyến tính 8

1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con 10

1.2 Không gian định chuẩn 12

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 12

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 14

1.3 Không gian Hilbert 14

1.4 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân 16

1.4.1 Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân 16

1.4.2 Sự ổn định của bài toán sai phân 22

1.4.3 Phân tích ổn định Von-Neumann 25

2 Hàm spline và phương pháp kết hợp 29 2.1 Spline và B-spline 29

2.1.1 Không gian các hàm spline và B-spline 29

2.1.2 Hàm spline bậc 3 34

2.2 Phương pháp kết hợp (Collocation Method) 35

2.2.1 Định nghĩa 35

2.2.2 Ví dụ 362.3 Xấp xỉ và ổn định của một số lớp phương trình 402.3.1 Phương pháp kết hợp với cơ sở B-spline bậc 5 giải

phương trình truyền nhiệt một chiều 402.3.2 Phương pháp kết hợp với cơ sở B-spline bậc 3 giải

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong thực tế, để giải nhiều bài toán cần phải tính được giá trị củahàm số tại một điểm nhưng để tính đúng giá trị của hàm số tại một điểmcủa một số hàm gặp rất nhiều khó khăn Bởi vậy, người ta sử dụng nhiềuphương pháp gần đúng để giải quyết các vấn đề trên

Hàm spline là các đa thức trên từng đoạn có nhiều ưu điểm trong tínhtoán Do vậy, được sử dụng trong tính toán gần đúng Tính xấp xỉ giá trịcủa hàm số tại một điểm bằng phương pháp hàm spline rất thuận lợi.Đặc biệt, nghiên cứu để giải một số lớp phương trình bằng các hàmsplines đang được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm Cụ thể,các phương trình đạo hàm riêng như phương trình truyền nhiệt, phươngtrình Burgers mô tả dòng nhiệt, dòng chảy của chất lỏng và khí đượcnghiên cứu giải gần đúng bằng phương pháp kết hợp (Colocation method)với cơ sở là các hàm spline ([5], [6], [8])

Vậy để giải phương trình đạo hàm riêng thì tính ổn định của hệ sai phân

là rất quan trọng nên tôi đã nghiên cứu luận văn: "Xấp xỉ và ổn địnhcủa một số lớp phương trình với các hàm splines"

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình sai phân tương ứngvới các phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng như phương trìnhtruyền nhiệt, Burgers

- Giải xấp xỉ các phương trình trên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm về hàm spline, các tính chất của hàm spline

để giải gần đúng phương trình truyền nhiệt và phương trình Burgers

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các hàm splines, lý thuyết xấp xỉ, tính ổn địnhcủa hệ sai phân, phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers

- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu lớp phương trình trên trong khônggian một chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiếnchuyên gia

6 Đóng góp mới của luận văn

- Trình bày kiến thức cơ bản để giải xấp xỉ các phương trình đạo hàmriêng bằng phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng cơ sở là các hàm splines

- Nghiên cứu giải phương trình truyền nhiệt một chiều bằng hệ cơ sởspline bậc 5.

- Làm rõ giải xấp xỉ phương trình Burgers

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không giantuyến tính, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian cáchàm spline, sai số, sự ổn định của hệ phương trình sai phân để phục vụchứng minh ở chương sau

1.1 Không gian tuyến tính

1.1.1 Khái niệm không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng mà các phần tử được kíhiệu:x, y, z, vàK là một trường mà các phần tử được kí hiệu:α, β, γ,

Giả sử trên X được trang bị hai phép toán, gồm:

1 Phép toán cộng, kí hiệu + :

X × X −→ X(x, y) 7−→ x + y

2 Phép toán nhân, kí hiệu là · :

K × X −→ X

• Với mỗi phần tử x ∈ X tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao cho

x + (−x) = θ (phần tử −x gọi là phần tử đối của x);

• 1 · x = x, ∀x ∈ X và 1 là phần tử đơn vị của trường K;

Khi K =R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực

Khi K =C thì X được gọi là không gian tuyến tính phức

Người ta còn gọi không gian tuyến tính là không gian vectơ

Ví dụ 1.1.1

Trong mặt phẳng thực R2, Tập X = R2 là tập

R2 = n(x1, x2) : x1 và x2 là các số thựco,với mỗi số thực α và các vectơ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X, phép cộng

và nhân vô hướng được định nghĩa:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2),

αx = (αx1, αx2),

là không gian tuyến tính

Ví dụ 1.1.2

Không gian C[a,b]

C[a,b] = nx = x(t) : x(t) là hàm số liên tục trên [a, b]o,

với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C[a,b], phép cộng và nhân vô hướng đượcđịnh nghĩa:

(f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b

(αf )(t) = αf (t),

là không gian tuyến tính

1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con

Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian tuyến tính X

Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1, x2, , xn ∈ X là một tổng có

Chẳng hạn, hai vectơ x và −x là phụ thuộc tuyến tính vì:

1· x + 1 · (−x) = 0

Nếu trong các vectơ x1, x2, , xn có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụthuộc tuyến tính

Một không gian tuyến tính X được gọi là không gian k chiều nếu trong

X có k vectơ độc lập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyếntính

Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi làmột cơ sở của nó

Các không gian k chiều, với k là một số nguyên bất kì ≥ 0 gọi là không

gian hữu hạn chiều

Một không gian không hữu hạn chiều, tức là sao cho với mọi k đều tìmđược k vectơ độc lập tuyến tính của nó, gọi là không gian vô số chiều

x = α1x1+ α2x2 + + αkxk;

các sốα1, α2, , αk gọi là các tọa độ của vectơxđối với cơ sở{x1, x2, , xk}.

Nếu ta làm phép ánh xạ 1− 1 : x ↔ (α1, α2, , αk) thì đó là một phép

đẳng cấu giữa X và Rk Như vậy không gian tuyến tính k chiều bao giờcũng đẳng cấu với không gian Rk.

Định nghĩa 1.1.3 Một tập con không rỗngM của một không gian tuyếntính X gọi là một không gian con, nếu nó kín với phép cộng phần tử vàphép nhân phần tử với một số, nghĩa là:

1) ∀x, y ∈ M ⇒ x + y ∈ M,

2) ∀x ∈ M, α ∈ R ⇒ αx ∈ M

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyếntính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là k.k vàđọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:

Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn k.k1 và

k.k2 Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn và {xn}∞n=1 ⊂ X, x0 ∈ X Với

n→ ∞, khi đó ta có các kết quả sau đây:

1) xn −→ x0 (dãy xn hội tụ tới x0) có nghĩa là kxn− x0k −→ 0

2) Nếu xn −→ x0 thì kxnk −→ kx0k, tức là chuẩn kxnk là một hàm liên

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là:

kxn − xmk → 0 kéo theo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0, thì khônggian đó gọi là không gian Banach

1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1 (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trêntrường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C) Ta gọi là tích vôhướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường

P, kí hiệu (., ), thỏa mãn tiên đề:

1 (∀x, y ∈ X) (x, y) = (y, x);

2 (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;

3 (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α (x, y) ;

4 (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x 6= θ, (x, x) = 0, nếu x = θ (θ là ký hiệuphần tử không)

Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề trên gọi là tiên đềtích vô hướng

Định lý 1.3.1 Đối với mỗi x ∈ X Ta đặt

Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz

Công thức (1.1) xác định một chuẩn trên không gian X

Định nghĩa 1.3.2 Không gian tuyến tính trên trường P cùng với mộttích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.3.3 Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z,

nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1 H là không gian tuyến tính trên trường P;

2 H được trang bị một tích vô hướng (., );

3 H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 1.3.1

Không gian Rk cùng với tích vô hướng:

là một không gian Hilbert

1.4 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân

1.4.1 Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân

Thông qua một ví dụ cụ thể chúng ta minh họa cho khái niệm hệ phươngtrình sai phân

a Khái niệm về bài toán biên

Bài toán biên có phương trình vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và cóđiều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn một điểm

Chẳng hạn bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

bài toán trên được gọi là bài toán biên loại một.

Nếu điều kiện biên y(a) = α, y(b) = β được thay thế bởi điều kiện biên:

−p(a)y′(a) + σ1y(a) = α,p(b)y′(b) + σ2y(b) = β,

σ1 ≥ 0, σ2 ≥ 0, σ1 + σ2 > 0;

thì ta có bài toán biên loại 3

Còn nếu σ1 = σ2 = 0 thì ta có bài toán biên loại hai

Trong thực tế ta còn gặp những bài toán mà tại x = a và x = b có điềukiện biên khác nhau (chẳng hạn tại x = a ta có điều kiện biên loại 1 còntại x = b ta có điều kiện biên loại hai hoặc loại ba) khi đó ta có bài toánbiên hỗn hợp

Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thôngqua bài toán biên loại một

b Bài toán vi phân

Cho hai số a và b với a < b Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < x < b

Giả sử bài toán (1.4) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên [a, b]

c Lưới sai phân

Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau mỗi đoạn con dài

h = (b− a)/N bởi các điểm chiaxi = a + ih, i = 0, 1, , N Mỗi điểm xi

gọi là một nút lưới, h gọi là các bước lưới.

e Đạo hàm của hàm lưới

Xét hàm lưới v Đạo hàm của hàm lưới tiến cấp một của v, kí hiệu là

Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm vô cùng bé Để viết các vôcùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng quy ước sau đây:

Giả sử đại lượng ρ(h) là một vô cùng bé khi h → 0 Nếu tồn tại số α > 0

và hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho:

|ρ(h)| ≤ Mhα;

thì ta viết:

ρ(h) = 0(hα)

Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì ρ(h) là một đại lượng nhỏ và khi

h → 0 thì ρ(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mhα

g Công thức Taylor

Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được

sử dụng để xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân

Giả sử F (x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trongmột khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể dương hay âm Khi đó,theo công thức Taylor ta có:

m+1

(m + 1)!F

(m+1)(c),

(1.5)trong đó c là một điểm trong khoảng từ x đến x + ∆x

Có thể viết: c = x + θ∆x với 0 < θ < 1

Ta giả thiết thêm:

F(m+1)(x)

≤ M = const, x∈ [α, β],

khi đó (∆x)m+1

(m + 1)!F

(m+1)(c) là một vô cùng bé khi ∆x → 0 Tức là tồn tại

hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho:

(∆x)m+1(m + 1)!F

(m+1)(c)