Xấp xỉ chuẩn bằng phương pháp stein cho cặp hoán đổi được và một số ứng dụng

º ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö cõa ành lþ giîi h¤n trung t¥m ng÷íi ta dòng mët sè kho£ng c¡ch nh÷ kho£ng c¡ch Kolmogorov v kho£ng c¡ch Wasserstein... Hìn núa, vîi... Ti¸p theo chóng ta s³ thi¸t

NGUY™N CHŸ DÔNG

X‡P XŸ CHU‰N BŒNG PH×ÌNG PHP STEIN CHO CP HON ÊI ×ÑC V€ MËT SÈ ÙNG DÖNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ngh» An - 2019

NGUY™N CHŸ DÔNG

X‡P XŸ CHU‰N BŒNG PH×ÌNG PHP STEIN CHO CP HON ÊI ×ÑC V€ MËT SÈ ÙNG DÖNG

Chuy¶n ng nh: LÞ THUY˜T XC SU‡T V€ THÈNG K– TON HÅC

M¢ sè: 8460106

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

C¡n bë h÷îng d¨n khoa håcPGS.TS L¶ V«n Th nh

Ngh» An - 2019

MËT SÈ KÞ HI›UTH×ÍNG DÒNG TRONG LUŠN V‹N

R+ tªp hñp c¡c sè thüc khæng ¥m

B(X ) σ- ¤i sè Borel cõa X

logx logarit cì sè tü nhi¶n cõa sè thüc d÷ìng x

exp(x) h m sè mô vîi cì sè e, sè mô l  x

EX k¼ vång cõa ph¦n tû ng¨u nhi¶n X

V ar(X) ph÷ìng sai cõa X

I(A) h m ch¿ ti¶u cõa tªp hñp A

C kþ hi»u cho mët h¬ng sè d÷ìng v  câ thº khæng gièng

nhau ð méi l¦n xu§t hi»n

X = Yd kþ hi»u hai ph¦n ng¨u nhi¶n X, Y còng ph¥n phèi

Möc löc

Ch÷ìng 1 Ph÷ìng ph¡p Stein èi vîi c°p ho¡n êi ÷ñc 51.1 °c tr÷ng Stein v  ph÷ìng tr¼nh Stein 6

1.2 Ph÷ìng ph¡p Stein cho c°p ho¡n êi ÷ñc 12

Ch÷ìng 2 Sai sè trong x§p x¿ chu©n èi vîi mæ h¼nh N-vector vîi

2.1 Mæ h¼nh N-vector vîi tr÷íng trung b¼nh v  mët sè k¸t qu£ li¶n quan 202.2 Sai sè trong x§p x¿ chu©n èi vîi mæ h¼nh N-vector vîi tr÷íng trung

b¼nh 23

Líi nâi ¦u

Lþ thuy¸t x¡c su§t nûa ¦u th¸ k 20 ¢ câ nhúng th nh tüu v÷ñt bªc trongvi»c chùng minh c¡c ành lþ giîi h¤n cê iºn nh÷ luªt sè lîn, luªt logarithm l°p,

ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp Ph÷ìng ph¡p cê iºn

º chùng minh ành lþ giîi h¤n trung t¥m düa v o h m °c tr÷ng Trong tr÷íng hñpkhæng ëc lªp th¼ ph÷ìng ph¡p h m °c tr÷ng r§t khâ ¡p döng v  th÷íng khængt¼m ÷ñc tèc ë hëi tö

N«m 1972, Charles Stein ¢ giîi thi»u mët ph÷ìng ph¡p mîi m  ng y nay gåi l ph÷ìng ph¡p Stein º chùng minh ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho d¢y c¡c bi¸n ng¨unhi¶n m-phö thuëc Möc ½ch ban ¦u cõa ph÷ìng ph¡p Stein l  x§p x¿ mët thèngk¶ n o â m  ta ang quan t¥m vîi ph¥n phèi chu©n v  ¡nh gi¡ sai sè Ph÷ìngph¡p n y mang l¤i ÷îc l÷ñng t÷íng minh cõa sai sè x§p x¿ khi c¡c bi¸n ng¨u nhi¶nthäa m¢n nhi·u c§u tróc phö thuëc kh¡c nhau Nhí nhúng ÷u iºm n y m  nâ ng y

c ng ÷ñc ùng döng nhi·u trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau Tø vi»c t¼m hiºu chõ ·

n y v  nghi¶n cùu c¡c t i li»u li¶n quan, chóng tæi lüa chån · t i cho luªn v«n caohåc cõa m¼nh l : X§p x¿ chu©n b¬ng ph÷ìng ph¡p Stein cho c°p ho¡n êi ÷ñc v mët sè ùng döng.

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦ygi¡o L¶ V«n Th nh T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh ¸n th¦y,

ng÷íi ¢ trüc ti¸p, tªn t¼nh h÷îng d¨n v  gióp ï t¡c gi£ r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nhhåc tªp v  nghi¶n cùu çng thíi t¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn ¸n c¡c th¦y cægi¡o ð Vi»n s÷ ph¤m tü nhi¶n v  pháng sau ¤i håc tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ gi£ngd¤y v  t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi trong thíi gian håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n.T¡c gi£ xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc K25- Lþthuy¸t x¡c su§t v  thèng k¶ to¡n håc ¢ gióp ï, ëng vi¶n v  çng h nh còng t¡cgi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu.

Do tr¼nh ë v  thíi gian h¤n ch¸, m°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, nh÷ng luªn v«nkhæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n

âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v  b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn T¡c gi£xin ch¥n th nh c£m ìn!

P

k=1

Xk, n ≥ 1

º ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö cõa ành lþ giîi h¤n trung t¥m ng÷íi ta dòng mët

sè kho£ng c¡ch nh÷ kho£ng c¡ch Kolmogorov v  kho£ng c¡ch Wasserstein Vîi haibi¸n ng¨u nhi¶n X v  Y cho tr÷îc, khi â

bi¸n ng¨u nhi¶n X, Y.

1.1 °c tr÷ng Stein v  ph÷ìng tr¼nh Stein

Trong möc n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y v· °c tr÷ng v  ph÷ìng tr¼nh Stein côngnh÷ c¡c t½nh ch§t cõa nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Stein Bê · sau ¥y n¶u l¶n °ctr÷ng cì b£n cõa bi¸n ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi chu©n t­c

1.1.1 Bê · (°c tr÷ng Stein) N¸u Z l  bi¸n ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi chu©n t­c

N (0, 1) th¼

vîi måi h m li¶n töc tuy»t èi f : R →R thäa m¢n E|f0(Z)| < ∞

Ng÷ñc l¤i n¸u (1.1) óng vîi måi h m li¶n töc, bà ch°n, kh£ vi tr¶n tøng kho£ngvîi E|f0(Z)| < ∞ th¼ Z ∼ N (0, 1)

Chùng minh Chi·u thuªn: Gi£ sû Z ∼ N (0, 1)

Vîi h m f :R −→R li¶n töc tuy»t èi thäa m¢n E|f0(Z)| < ∞, ta câ

e−ω22 (f0(ω) − ωf (ω)) = e−ω22 (I(ω ≤ x) − Φ(x)),hay

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi

√2π.Φ(ω)(1 − Φ(x)) n¸u ω ≤ x

√2π.eω22 Φ(ω)(1 − Φ(x)) n¸u ω ≤ x

(1.3)

H m f nh÷ tr¶n l  li¶n töc, bà ch°n v  câ ¤o h m t¤i måi iºm ch¿ trø t¤i iºm

ω = x

Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m li¶n töc, bà ch°n duy nh§t

Ð ph÷ìng tr¼nh (1.2) ta thay ω bði Z, l§y ký vång hai v¸ v  chó þ gi£ thi¸t

Ef0(Z) = EZf (Z) ta ֖c

0 = Ef0(Z) − EZf (Z) = E(I(Z ≤ x)) − Φ(x),hay

P (Z ≤ x) = Φ(x) vîi måi x ∈ R.Nh÷ vªy Z ∼ N (0, 1)

Ti¸p theo chóng ta s³ tr¼nh b y hai bê · v· t½nh ch§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhStein C¡c bê · n y ÷ñc sû döng º ch°n kho£ng c¡ch Kolmogorov v  kho£ng c¡chWasserstein cho c°p ho¡n êi ÷ñc

1.1.2 Bê · Gi£ sû x ∈ R v  f l  nghi»m bà ch°n cõa ph÷ìng tr¼nh

f0(ω) − ωf (ω) = I(ω ≤ x) − Φ(x) Khi â ωf (ω) l  h m t«ng cõa ω Hìn núa, vîi

4 ,

|(w + u)f (w + u) − (w + v)f (w + v)| ≤ |w| +

√2π4

!(|u| + |v|)

2π

vîi ω < x,

√2πΦ(x)(1 + ω2)eω2/2(1 − Φ(ω)) − ω

2π

vîi ω > x,

2π ≤ 1 − Φ(ω) ≤ e

−ω 2 /2

ω√

Sû döng ch°n d÷îi trong b§t ¯ng thùc (1.6) trong tr÷íng hñp ω > x cho biºu thùc(ωf (ω))0 ta suy ra (ωf (ω))0 > 0, do â ωf (ω) l  h m t«ng cõa ω.

x

4 − 2Φ(x)√

2π .Khi â

g0(x) = e−x2/2g1(x), g1(0) = 0, g10(0) < 0, g001(x) = x

πe

−x 2 /2, lim

x→∞g1(x) = ∞

Do â g1(x) lçi tr¶n [0, ∞) v  tçn t¤i x1 > 0 sao cho g1(x) < 0 vîi x < x1 v 

g1(x) > 0 vîi x > x1 °c bi»t, tr¶n [0, ∞) h m sè g(x) t«ng khi x > x1 v  gi£mkhi x < x1, v¼ vªy nâ ph£i ¤t gi¡ trà lîn nh§t t¤i ho°c x = 0 ho°c x = ∞, tùc l 

g(x) ≤ max (g(0), g(∞)) = 0 vîi måi x ∈ [0.∞)

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi f (x) ≤

√2π

4 K¸t hñp vîi (1.3) ta ÷ñc

0 < f (w) ≤

√2π

!(|u| + |v|)

Ti¸p theo chóng tæi giîi thi»u mët bê · kh¡c v· t½nh ch§t nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh Stein d¤ng têng qu¡t Chùng minh chi ti¸t cho bê · n y câ thº xem trong [3,trang 38]

1.1.3 Bê · Gi£ sû h : R →R l  h m o ÷ñc, khi â ph÷ìng tr¼nh

f0(ω) − ωf (ω) = h(ω) − Eh(Z) câ nghi»m f bà ch°n duy nh§t

• N¸u h bà ch°n th¼

kf k ≤

rπ

2kh − Eh(Z)k v  kf0k ≤ 2kh − Eh(Z)k

• N¸u h li¶n töc tuy»t èi th¼

kf k ≤ 2kh0k, kf0k ≤

r2

πkh0k, kf00k ≤ 2kh0k

1.2 Ph÷ìng ph¡p Stein cho c°p ho¡n êi ÷ñc

Trong möc n y, chóng ta s³ tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p Stein cho c°p ho¡n êi ÷ñc,mët nëi dung trung t¥m cõa ph÷ìng ph¡p Stein Tr÷îc h¸t, chóng ta s³ giîi thi»u

ành ngh¾a v· c°p ho¡n êi ÷ñc

1.2.1 ành ngh¾a Hai ph¦n tû ng¨u nhi¶n W v  W0 nhªn gi¡ trà tr¶n khæng gianmetric X ÷ñc gåi l  mët c°p ho¡n êi ÷ñc n¸u (W, W0) v  (W0, W ) còng ph¥nphèi, tùc l  vîi måi A, B ∈ B(X ), ta câ

P (W ∈ A, W0 ∈ B) = P (W ∈ B, W0 ∈ A)

1.2.2 Bê · N¸u (X, Y ) l  c°p ho¡n êi ÷ñc th¼ (f (X), f (Y )) công l  c°p ho¡n

êi ÷ñc vîi måi h m f o ÷ñc b§t ký

Chùng minh V¼ (X, Y ) l  c°p ho¡n êi ÷ñc n¶n (X, Y ) = (Y, X)d , k¸t hñp vîi

f l  h m o ÷ñc ta suy ra (f (X), f (Y )) = (f (Y ), f (X))d i·u n y câ ngh¾a l (f (X), f (Y )) công l  c°p ho¡n êi ÷ñc

1.2.3 Bê · Gi£ sû (X, Y ) l  mët c°p ho¡n êi ÷ñc, khi â

Eg(X, Y ) = 0,vîi måi h m o ÷ñc ph£n èi xùng g(x, y) sao cho ký vång tçn t¤i

Chùng minh V¼ g(x, y) l  h m ph£n èi xùng n¶n

g(X, Y ) + g(Y, X) = 0

K¸t hñp vîi (X, Y ) l  c°p ho¡n êi ÷ñc ta suy ra

2Eg(X, Y ) = Eg(X, Y ) + Eg(X, Y ) = Eg(X, Y ) + Eg(Y, X) = 0

1.2.4 V½ dö Cho X, Y l  hai bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi Khi â d¹th§y (X, Y ) l  c°p ho¡n êi ÷ñc.

1.2.5 V½ dö Cho{Xi, 1 ≤ i ≤ n}l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp Gåi Xi0, 1 ≤ i ≤ n

l  b£n sao ëc lªp cõa {Xi, 1 ≤ i ≤ n} Gi£ sû I l  bi¸n ng¨u nhi¶n ph¥n phèi ·utr¶n tªp{1, 2, , n} v  ëc lªp vîi Xi, Xi0, 1 ≤ i ≤ n .Khi â (Sn, SnI) l  c°p ho¡n

êi ÷ñc, trong â

X = (X1, X2, , Xn),

Y = (X1I, X2I, , XnI),trong â

i6=k

P (Xi ≤ min {xi, yi}).P (Xk ≤ xk).P (XkI ≤ yk)

B¬ng c¡ch t÷ìng tü ta công bi¸n êi ÷ñc v¸ ph£i cõa (1.12) v· d¤ng nh÷ tr¶n Vªy(X, Y ) l  c°p ho¡n êi ÷ñc

X²t h m o ÷ñc

f : Rn −→Rx¡c ành bði

f (x1, x2, , xn) = x1 + x2 + + xn.Khi â Sn = f (X), SnI = f (Y ) V¼ (X, Y ) l  c°p ho¡n êi ÷ñc n¶n (Sn, SnI) công

l  c°p ho¡n êi ÷ñc

Ti¸p theo chóng ta s³ thi¸t lªp ch°n tr¶n èi vîi kho£ng c¡ch Wasserstein v kho£ng c¡ch Kolmogorov cho c°p ho¡n êi ÷ñc

1.2.6 ành l½ Gi£ sû (W, W0) l  c°p ho¡n êi ÷ñc thäa m¢n

E(W − W0|W ) = λW vîi 0 < λ < 1 Khi â

sup

x∈R

|P (W ≤ x) − Φ(x)| ≤ 2

sE



1 − 12λE(∆

2|W )

2

+

sE|∆|3

λ ,trong â ∆ = W − W0, Φ(x) =

Khi â ta câ I(ω ≤ x) ≤ h(ω) ≤ I(ω ≤ x + )

Thay ω bði W v  l§y ký vång ta ÷ñc

P (W ≤ x) ≤ Eh(W ) ≤ P (W ≤ x + ) (1.13)Ngo i ra ta cán câ h bà ch°n, li¶n töc tuy»t èi v  khk ≤ 1, kh0k ≤ 1

.

X²t ph÷ìng tr¼nh Stein f0(ω) − ωf (ω) = h(ω) − Eh(Z),

trong â Z ∼ N (0, 1) v  v¼ h bà ch°n, li¶n töc tuy»t èi n¶n theo Bê · 1.1.3 ta câ

kf k ≤

rπ

2|W )

+ E

2|W )

+ 12λE(E(f

0(W )∆2|W ))

+ 12λE∆(f (W

0) − f (W ))

= Ef0(W )



1 − 12λE(∆

2|W )

+ 12λEf

0(W )∆2 + 1

2λE∆(f (W

0) − f (W ))

= R1 + R2,

trong â

R1 = Ef0(W )



1 − 12λE(∆

2|W )

,

Ef0(W )



1 − 12λE(∆

2|W )



≤ E

f0(W )



1 − 12λE(∆

2|W )



≤ 2

sE



1 − 12λE(∆

0 − x) + f

00(˜

2! (x

0 − x)2vîi x˜ n¬m giúa x v  x'

0 − W ) + f

00(

∼

W )2! (W





E|∆

3| = 12λE|∆

3|

Nh÷ vªy ta câ

|Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ 2

sE



1 − 12λE(∆

2|W )

2

+ 12λE|∆



1 − 12λE(∆

2|W )

2

+ 12λE|∆

3

| + √

2π.Chån  = 4

r

π

2.

rE|∆|3

2 ta ֖c

|P (W ≤ x) − Φ(x)| ≤ 2

sE



1 − 12λE(∆

2|W )

2

+

s2E|∆|3

√2πλ

≤ 2

sE



1 − 12λE(∆

2|W )

2

+

sE|∆|3

λ .

1.2.7 M»nh · Gi£ sû (W, W0) l  c°p ho¡n êi ÷ñc thäa m¢n E(W − W0|W ) =λ(W + R) vîi bi¸n ng¨u nhi¶n R = R(W ) v  0 < λ < 1, khi â

sup

kh 0 k≤1

|Eh(W ) − Eh(Z)| ≤

r2

πE

1 − 12λE(∆

2|W )

+ 12λE|∆|

3 + 2E|R|,trong â h : R → R l  h m o ÷ñc thäa m¢n kh0k ≤ 1 v  E|h(Z)| < ∞

Chùng minh Gi£ sû h : R →R l  h m o ÷ñc thäa m¢n kh0k ≤ 1v  E|h(Z)| < ∞

v  gi£ sû f := fh l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh Stein

2|W )

+ 12λ∆(f (W

0) − f (W ) + ∆f0(W )) + f (W )R



+ 14λkf00kE|∆|3 + kf kE|R|

(1.14)Theo Bê · 2.4 trong [3] ta câ

kf k ≤ 2, kf0k ≤

r2

π, kf

K¸t luªn cõa m»nh · ÷ñc suy ra tø (1.14) v  (1.15)

Kho£ng c¡ch Kolmogorov th÷íng xuy¶n sû döng hìn trong lþ thuy¸t x¡c su§t

v  thèng k¶, tuy nhi¶n nâ l¤i th÷íng khâ xû lþ hìn kho£ng c¡ch Wasserstein G¦n

¥y, Shao v  Zhang [10] chùng minh mët bà ch°n têng qu¡t hìn K¸t qu£ cõa hånh÷ sau

1.2.8 M»nh · D÷îi c¡c gi£ thi¸t cõa M»nh · 1.2.7, ta câ

sup

z∈R

|P (W ≤ z) − Φ(z)| ≤ E

... kh0k ≤ 1v  E|h(Z)| < ∞

v  gi£ sỷ f := fh l nghiằm nhĐt cừa phữỡng tr¼nh Stein

2|W )

+ 12λ∆(f (W

0)... dửng hỡn lỵ thuyát xĂc suĐt

v thống kả, nhiản nõ lÔi thữớng khõ xỷ lỵ hỡn khoÊng cĂch Wasserstein GƯn

Ơy, Shao v Zhang [10] chùng minh mët bà ch°n têng qu¡t hìn Kát quÊ cừa hồnhữ sau