Xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale bằng phương pháp stein

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN Chuyên ngành: Phương pháp to

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH

XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY

BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH

XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY

BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Dũng

Đà Nẵng - Năm 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Lê Trần Phương Thanh

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 4

1.1.1 Phép thử 4

1.1.2 Không gian mẫu 4

1.1.3 Đại số và δ – đại số 4

1.1.4 δ – đại số Borel 5

1.1.5 Độ đo xác suất 5

1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 5

1.2.1 Biến ngẫu nhiên 5

1.2.2 Khái niệm hầu chắc chắn 6

1.3 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 6

1.3.1 Định nghĩa 6

1.3.2 Các dạng phân phối 7

1.4 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 9

1.4.1 Kỳ vọng toán 9

1.4.2 Phương sai 10

1.4.3 Độ lệch tiêu chuẩn 10

1.4.4 Phân phối chuẩn 10

1.5 KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN 11

1.6 MARTINGALE 11

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP STEIN 13

2.1 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 13

2.2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP STEIN 13

BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 18

3.1 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

18 3.2 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 20 3.3 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ĐỊA PHƯƠNG 28

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE 31

4.1 UNORDERED MARTINGALE 31 4.2 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU

UNORDERED MATINGALE 32 4.3 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU UNORDERED MARTINGALE 34

KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

N: Tập hợp các số tự nhiên.

Z: Tập hợp các số nguyên

Z∗: Tập hợp Z\ {0}

R: Tập hợp các số thực

ω: Kí hiệu biến cố sơ cấp

Ω: Kí hiệu không gian mẫu

A, B, C: Kí hiệu các biến cố

A ∪ B: Hợp của A và B

A ∩ B: Giao của A và B

Ac: Biến cố đối của biến cố A

P(A): Xác suất của biến cố A

(Ω, F ,P): Không gian xác suất

h.c.c: Hầu chắc chắn

X ∼ Y: X tương đương với Y

X ∼ N (a, σ2): X được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫunhiên Nói một cách đại khái thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng takhông thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lầnquan sát Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượngngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp

ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này

Ngày nay lý thuyết xác suất là lĩnh vực toán học có cơ sở lý thuyếtchặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực hoạt động khác nhaucủa con người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ cơhọc tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, từ nônghọc tới y học

Lý thuyết xác suất trong nửa đầu thế kỷ 20 đã có những thành tựuvượt bậc trong việc lập công thức và chứng minh các định lý giới hạn

cổ điển như: Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tâm, Luật loga lặp chotổng các biến ngẫu nhiên độc lập Phương pháp cổ điển chủ yếu dựa vàophép biến đổi Fourier Tất cả các định lý đều liên quan đến tổng các biếnngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên quan hệ phụ thuộc thường xuất hiện nhiềuhơn trong áp dụng và bắt đầu được nghiên cứu nhiều từ năm 1950 Trongtrường hợp không độc lập thì phương pháp Fourier rất khó áp dụng và sựchính xác của xấp xỉ rất khó tìm ra

Trong các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất thì Định lý giớihạn trung tâm đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu thống kê và ứngdụng Tuy nhiên bài toán thống kê nói chung không cho phép chúng tanhiên cứu với cỡ mẫu lớn vô hạn, chính vì vậy bài toán “xấp xỉ phân phốichuẩn” cho phép chúng ta ước lượng được cỡ mẫu cần thiết để chúng ta

có thể áp dụng được Định lí giới hạn trung tâm Năm 1970, Charler Stein

đã giới thiệu một phương pháp xấp xỉ phân phối chuẩn mới và được gọi

là phương pháp Stein Các kết quả nghiên cứu chủ yếu đối với dãy biếnngẫu nhiên độc lập Trong đề tài này chúng tôi thiết lập một số kết quả

về xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy biến ngẫu nhiên hiệu unorderedmartingale Các kết quả này là mở rộng của các kết quả đối với dãy biếnngẫu nhiên độc lập

Với những lý do trên, tôi dưới sự hỗ trợ của giáo viên hướng dẫn

TS Lê Văn Dũng quyết định lựa chọn đề tài: "Xấp xỉ phân bố chuẩnđối với dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale bằng phươngpháp Stein"

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết lập một số kết quả về xấp xỉ phân bố chuẩn đối với dãy biếnngẫu nhiên độc lâp Một số điểm cố gắng đưa vào trong luận văn là:+ Trình bày vắn tắt các kết quả cơ bản nhất của xác suất cổ điển.+ Giới thiệu phương pháp Stein

+ Thiết lập một số kết quả của bất đẳng thức Berry Essence đối vớidãy biến ngẫu nhiên độc lập

+ Thiết lập một số kết quả về xấp xỉ phân bố chuẩn đối với dãy biếnngẫu nhiên unordered martingale

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức Berry Essence đối với dãy biếnngẫu nhiên

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là biến ngẫu nhiên và hàm phân phối,tính độc lập, phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứuliên quan đến phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence đối với dãybiến ngẫu nhiên unordered martingale

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kếtquả đang nghiên cứu

5 Đóng góp của đề tài

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đếnphương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence đối với dãy biến ngẫunhiên unordered martingale

Chứng minh chi tiết các định lí, hệ quả nhằm làm cho người đọc dễdàng tiếp cận vấn đề được đề cập

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm có bốn chương:

Chương 1 trình bày một số lý thuyết xác suất

Chương 2 trình bày những kiến thức cơ bản của phương pháp Stein.Chương 3 trình bày những kiến thức cơ bản của bất đẳng thức BerryEssence

Chương 4 trình bày những kiến thức của bất đẳng thức Berry Essenceđối với dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale

1.1.2 Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫunhiên được gọi là không gian mẫu Ta thường kí hiệu là Ω

1.1.3 Đại số và σ-đại số

Giả sử A là lớp nào đấy các tập con của Ω, A 6= ∅

Định nghĩa 1.1 A được gọi là một đại số (hay một trường) nếu:

1 Ω ∈ A;

2 A ∈ A ⇒ Ac ∈ A;

3 Ak ∈ A, k = 1, 2, , n ⇒ Sn

k=1Ak ∈ A

Định nghĩa 1.2 A được gọi là một σ-đại số (hay một σ-trường)nếu:

Cho ω là không gian mẫu, F là một σ đại số trên ω

Một hàm tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa

mãn 3 điều kiện sau:

+ Với mọi A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1

Bộ ba (Ω, F ,P) gọi là không gian xác suất.

1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN

1.2.1 Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất đã cho

Định nghĩa 1.3 Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω lấy giá trịtrên R gọi là hàm F- đo được hoặc biến ngẫu nhiên nếu

{ω: X(ω) ∈ B}=X−1(B) ∈ F với mỗi B ∈ B(R)

Ở đây B(R) là σ-đại số các tập Borel của trục thực R

1.2.2 Khái niệm hầu chắc chắn

Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là bằng nhau hầu chắc chắn(h.c.c) nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và X(ω) = Y (ω) với

ω /∈ N Khi đó ta viết X = Y (h.c.c) Một cách tổng quát, ta nói một tínhchất nào đó xảy ra hầu chắc chắn trên Ω nếu nó xảy ra bên ngoài một tập

N có xác suất không Khi X = Y (h.c.c) ta bảo X tương đương với Y vàviết X ∼ Y

1.3 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên(Ω, F ,P) nhận giá trị trên

R = (−∞; +∞)

1.3.1 Định nghĩa

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (kí hiệu là FX(x)

hoặc F (x)) được xác định bởi công thức sau:

FX(x) = P(X < x), x ∈R (1.1)Nhận xét 1.1 Theo định nghĩa, hàm phân phối của X là thu hẹpcủa độ đo xác xuất PX trên lớp các khoảng (−∞; x), x ∈ R.

Từ đó, hàm phân phối F (x) ≡ FX(x) có các tính chất sau:

(i) đơn điệu: x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y),

(ii) liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm,

(iii) F (−∞) := limx→−∞F (x) = 0, F (+∞) := limx→+∞F (x) = 1.Ngược lại, nếu hàm số F (x) bất kỳ có ba tính chất trên thì tồn tạimột độ đo xác suất µ trên (R, B(R)) sao cho:

F (x) = µ(−∞, x), x ∈ R.

Từ đó, nếu lấy X : R → R là ánh xạ đồng nhất thì X là biến ngẫu

nhiên trên không gian xác suất (R, B(R), µ) sao cho:

Do đó, hàm FX(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi P(X = x0) = 0

Từ định nghĩa hàm phân phối, ta còn có

Ví dụ 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất

f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất

Ví dụ 1.2 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xácsuất

5 khi 0 ≤ t ≤ 16

F (x) = 0 + 3t

2

5

1

0

+ −25t3

+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) thì :

1.4.4.Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số

a, σ2(σ > 0) (còn viết X ∼ N (a, σ2)), nếu hàm mật độ của nó có dạng

f (x) = 1

σ√2πe

−(x−a)2

2σ2 , x ∈R

Phân phối N (0, 1) còn được gọi là phân phối chuẩn chính tắc Khi

Định nghĩa 1.5 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, G là σ-đại

số con của F, X là biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng điều kiện của biếnngẫu nhiên X với G đã cho là biến ngẫu nhiên M thỏa mãn các điều kiệnsau:

Nếu thay điều kiện (iii”) bởi điều kiện E(Xn|Fn−1) = 0 với mọin ≥ 1

thì (Xn; n ≥ 1) được gọi là hiệu martingale đối với Fn

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP STEIN

Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản củaphương pháp Stein trong tài liệu [3]

2.1 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Cho (Xn; n ∈ N∗) là dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng 0 và phươngsai σ2 hữu hạn Đặt Sn = X1 + X2 + + Xn Kí hiệu Fn(x) và Φ(x) lầnlượt là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênSn/σ√

n và biến ngẫunhiên chuẩn tắc Định lý giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: nếu (Xn;

n ∈ N∗) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất thì Fn(x)

hội tụ đến Φ(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ R.

Tốc độ hội tụ của định lý giới hạn trung tâm được Berry[2] và

Esseen[5] chỉ ra rằng

supx∈R|Fn(x) − Φ(x)| = O(n−12 ) khi n → ∞

2.2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁPSTEIN

Một hàm số F (x) được gọi là tuyệt đối liên tục trên đoạn [a, b]

nếu với mọi ε > 0 cho trước đều có δ > 0 để cho với mọi hệ khoảng

Cho Z là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc Z ∼ N (0, 1)

Kí hiệu: Cbd là tập những hàm liên tục tuyệt đối,

f :R −→ R với E|f0(Z)| < ∞

Bổ đề 2.1 Cho W là biến ngẫu nhiên thực Khi đó, W có phân bốchuẩn tắc khi và chỉ khi

Ef0(W ) = E{W f (W )}, ∀f ∈ Cbd (2.1)Chứng minh ” ⇒ ” Cần:

Z ∞

0(

Cho f (ω) := fz(ω) là nghiệm của phương trình :

f0(ω) − ωf (ω) = I(−∞,z](ω) − Φ(z) (2.2)Nhân cả hai vế của (2.2) với e−ω22 ta được:

√2πeω22 [1 − Φ(ω)]Φ(z) nếu ω ≥ z

(2.3)

Theo Bổ đề 2.2 ta cófz là hàm liên tục, bị chặn, khả vi liên tục từngkhúc ⇒ fz ∈ Cbd Do (2.1) đúng ∀f ∈ Cbd nên đúng với fz

⇔ 0 = E{fz0(W ) − W fz(W )};

0 = E{I(−∞,z](ω) − Φ(z)};

0 = P {W ≤ z} − Φ(z);

⇒ P {W ≤ z} = Φ(z)

Do vậy W có phân bố chuẩn tắc

Kết luận: Phương trình Stein tổng quát dạng:

f0(ω) − ωf (ω) = h(ω) − Eh(Z); (2.4)với h là hàm đo được nhận giá trị thực và E|h(Z)| < ∞ có nghiệm tổngquát : f = fh

Trường hợp đặt biệt h = 1(−∞,z] phương trình Stein có dạng:

f0(ω) − ωf (ω) = 1(−∞,z] − Eh(Z);

có nghiệm

fz(ω) =

(√2πeω22 [1 − Φ(z)]Φ(ω) nếu ω ≤ z

√2πeω22 [1 − Φ(ω)]Φ(z) nếu ω ≥ z

(2.5)

Bổ đề 2.2 Hàm fz được xác định bởi (2.3) thì

ωfz(ω) là hàm tăng theo ω (2.6)Hơn nữa, ∀ ω, u, v thực, thì

|ωfz(ω)| ≤ 1, |ωfz(ω) − ufz(u)| ≤ 1; (2.7)

|fz0(ω)| ≤ 1, |fz0(ω) − fz0(v)| ≤ 1; (2.8)

0 < fz(ω) ≤ min(

√2π

4 )(|u| + |v|). (2.10)

Bổ đề 2.3 Cho hàm h bất kỳ, liên tục tuyệt đối , h: R → R.

Nghiệm fh tổng quát của phương trình Stein được cho ở (2.5) thỏamãn:

CHƯƠNG 3

BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI

DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả trong tài liệu [3]

3.1 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊNĐỘC LẬP

Cho ξ1, ξ2, , ξn là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãnEξi = 0,với 1 ≤ i ≤ n, sao cho Pn

i=1Eξi2 = 1 ,ở đâyξi không yêu cầu phải có phân

f0(ω) − ωf (ω) = h(ω) − Eh(Z).

Mục đích: ước lượng

Eh(W ) − Eh(Z) = E{f0(W ) − W f (W )}

Vì ξi độc lập với W(i) với mỗi 1 ≤ i ≤ n, nên:

E{W f (W )} =

n

X

i=1E{ξif (W )};

E{W f (W )} =

n

X

i=1E{ξi[f (W ) − f (W(i))]} do Eξi = 0, ∀i;

E{W f (W )} =

n

X

i=1E{ξi

Phương trình (3.4) và (3.6) có vai trò chính trong chứng minh xấp

xỉ chuẩn tốt (3.4) và (3.6) đúng cả với tất cả những hàm f liên tục tuyệtđối, bị chặn (3.6) được gọi là đẳng thức Stein đối với dãy biến ngẫu nhiênđộc lập

3.2 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃYBIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

Định lý 3.1 Giả sử tồn tại δ sao cho, với hàm h bất kỳ thỏa mãnđiều kiện Lipschitz đều

|Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ δkh0k (3.8)thì:

dW(L(W ), N (0, 1)) := suph∈Lip(1)|Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ δ (3.9)Trong đó Lip(1) = {h : R → R : |h(x) − h(y)| ≤ |x − y|};

dK(L(W ), N (0, 1)) := supz|P (W ≤ z) − Φ(z)| ≤ 2δ12 (3.10)Chứng minh

• (3.9): Theo định nghĩa của dW ta có:

h ∈ Lip(1) ⇒ kh0k ≤ 1 ⇒ |Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ δkh0k ≤ δ;

⇒ dW(L(W ), N (0, 1)) := suph∈Lip(1)|Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ δ

• (3.10): Giả thiết δ ≤ 14, vì nếu không (3.10) là tầm thường

Khi đó ta vẫn có kh0αk := supx|h0α(x)| = α1 nên

kFW − Φk∞ ≤ 2

vuu

t3

n

X

i=1E|ξi|3

Trường hợp đặc biệt, ta có

E|W | −

r

2π

... class="page_container" data-page="16">

+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) :

1.4.4 .Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn với tham số

a, σ2(σ... BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI

DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

Trong chương chúng tơi trình bày kết tài liệu [3]

3.1 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊNĐỘC LẬP

Cho... CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁPSTEIN

Một hàm số F (x) gọi tuyệt đối liên tục đoạn [a, b]

nếu với ε > cho trước có δ > với hệ khoảng

Cho Z biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc