Xây dựng các l hàm padic

Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xâydựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của cácL-hàm p-adic này tại s = 1

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sứ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH

LỜI NÓI ĐẦU

Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adicchỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng

40 năm trở lại đây Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện nhữngmối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hìnhhọc đại số Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của cácdạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổitiếng

Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quantrọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các L-hàm p-adic”

Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xâydựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của cácL-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s > 2

về bố cục, luận văn được chia làm ba chương

Chương 1 Đại số và giải tích p-adic Trình bày các bước xây dựng trường sốp-adic Qp, nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệm

đại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mở

nào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic

Chương 2 Hệ số Bemoulli và L-hàm phức Bao gồm hai §

§1 trình bày về hệ số Bemoulli, đa thức Bemoulli, nêu khái niệm về đặc trưngDirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bemoulli tổng quát, đa thức Bemoulli tổng quátliên kết với các đặc trưng Dirichlet

§2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet,nêu một số tính chất cơ bản của L-hàm phức như : phương trình đặc trưng của L-

Bn

hàm phức, thăng dư của F (z)z tai z = 0, công thức L(1 - n,x) = -— với

n

n > 1 và giá trị của L-hàm tại s = 1 Từ đó suy ra giá trị các hệ số Bemoulli tổng

quát và tính chất của hàm zeta

Chương 3 Xây dựng L-hàm p-adic Đây là chương quan trọng nhất của luậnvăn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàmp-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và giá trị của nó tại s = 1 dựatheơlwasawa, đặc biệt chúng tôi đã tính giá trị L-hàm p-adic tại các điểm nguyêndương bằng cách sử dụng r- biến đổi của một hàm số Cụ thể chương III gồm năm

§

§ 1 Phép nội suy hàm phân hình p-adic Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để mộtdãy số p-adic trong Qp có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic

§2 L-hàm p-adic Như ta đã biết L(l-n,x) = -— G Q(x) là các số đại số

ntrên Q nên ta xem chúng thuộc Qp Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình

p-adic f sao cho f(l-n) = -— L(1 -n,x), n > 0 hay không ? Rât tiêc dãy

không phải là dãy nội suy p-adic Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa mộtchút để có được dãy nội suy p-adic Trong § này chúng tôi chứng minh dãy

Ị- —j với b„ = (l - x„(p)pn~' )B„,X , x„ = X®J"n là dãy nội suy p-adic Do

L

đó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả L p (1 - n,ỵ) = được gọi là L- hàm p-adic

liên kết với đăc trưng

X-§3 Toán tử T- biến đổi Xây dựng T- biến đổi và một số tính chất của nó.T- biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L - hàmp-adic tại các điểm nguyên dương

§4 Công thức tính Lp(l,x) • Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1

p-§5 Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương Xây dựngchi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tạicác số nguyên s > 2

Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót.Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồngnghiệp

Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sưphạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quátrình học tập Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang đãtrực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu

Tp.HCM, ngày 01/06/2009

Người thực hiệnCao Trần Tứ Hải

- P^i^P^-Tk11 tronể đó p,pi ,P2, ,Pk là các số nguyên tố phân biệt và

ước ordp(0) = oo Với mọi X, y e Q dễ dàng chứng minh được

CHƯƠNG 1.

ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC.

Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số V giảitích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3)

1.1.1 Trường số p-adic.

Cho trước số nguyên tố p, mọi X e Q\{0} đều có thể phân tích được dưới dạngordp(xy) = ordp(x) + ordp(y) và ordp(x + y) > min|ordp(x),ordp(y)| Khi đó

ánh xạ trên Q được xác định bởi

lập thành chuẩn phi Archimade trên Q, nghĩa là

i) |x|>0, VxeQ, |x| = 0 X = 0

ii) |xy|=|x||y|, Vx,ysQ

iii) |x + y| < maxỊ|x|,|y|Ị, Vx,yeQ

Nguyên lý tam giác cân có vai trò hết sức quan trọng trong trường với chuẩnphi Archimade : “Nếu |x| * |y| thì |x + y| = max||x|,|y|Ị ”

Chú ý rằng trên trường Q với chuẩn trên là không gian định chuẩn không đầy

đủ Ta xây dựng được trường bao đủ Qp của Q , chuẩn trên Qp là sự mở rộngMỗi phần tử trong Qp đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

X = a_mp-rn + + a0 + ajp + + anpn + với 0<aị<p-l,i> -m, a_m ^ 0được gọi là biểu diễn p-dic của X, khi đó |x| = pm

Trường Qp có các tính chất đặc trưng sau đây

§1 CÁC TRƯỜNG SÓ p-ADIC.

khi x^Okhi x= 0

i) Qp chứa Q.

ii) Q trù mật trong Qp

iii) Qp đầy đủ

Trường thoả ba tính chất trên được xác đinh duy nhất Trường Qp được gọi là

trường số p-adic Trường Qp không đóng đại số.Vành Zp=|xeQp:|x|<ljc= Qpđược gọi là vành các số nguyên p-adic Đây làvành địa phương với ideal tố đại duy nhất pZp = Zp = |xeQp :|x|<lỊ Zp làtập compact nên Qp compact địa phương Các tập Z,N,|meN I m:p-lỊ trù

mật trong Zp với tôpô cảm sinh từ Qp

Trường k = Zp/pZD=Z/pZ = FD được gọi là trường thặng dư của QD Tập

= X X e

/pZp = Z/pZ = Fp được gọi là trường thặng dư của Qp Tập

Qp* = Ịpr I r e zỊ cùng với phép nhân lập thành một nhóm gọi

là nhóm giá trị của Qp.Gọi Qp là bao đóng đại số của Qp, với mỗi aeQp, ta gọi

X n+an_1xIÌ_1 + + a0 E Q P [ X ] là đa thức tối tiểu của a Khi đó Qp cùng với

1

chuẩn được xác định bởi |a| = |a0|n là không gian định chuẩn phi Archimade chứa

Qp Lúc này Qp lại không đầy đủ theo chuẩn trên Bao đủ của Qp là không gianp-adic phức Cp Đồng thời ta cũng có Qp không compact địa phương Qp có

trường thặng dư k là bao đóng đại số của k = Fp, nhóm giá trị:j|x| xeQp Ị = |pr| reQỊ Dãy -ỊxnỊcQp là dãy Cauchy khi và chỉkhi lim |xn+1 -xn| = 0 Neulimxn=x^O thì tồn tại N > 0 sao cho

n|, Vn > N Cho K là trường với chuẩn phi Archimade, M ^ 0 là số p-dic cho trước.Va,beK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M nếu |a -b| < |M| Kí hiệu

a = b ( mod M ) Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theomodulo M là một quan hệ tương đương

Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức f(x)=anxIÌ+ +a1x+ a0, vớiaịeZp,i = 0,n thoả mãn aị=0(mod p) với 0<i<n-l, an^O(mod p),

a0 = 0 (mod p2

) Khi đó f(x) bất khả quy trên Qp.9?

= sup

n

1.1.2 Căn của đon vị và đại diện Teichmuller

các căn bậc n của đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n Căn của đơn vị là một cănbậc n của đơn vị với n là một số nguyên dương nào đó £, được gọi là căn nguyênthuỷ bậc n của đơn vị nếu nó là phần tử căn bậc n của đơn vị và không tồn tại số

nguyên dương m < n sao cho Ẹ, là căn bậc m của đơn vị, nói cách khác Ẹ, có cấp là

n trong nhóm cyclic các căn bậc n của đơn vị hay Ẹ, là phần tử sinh.

a e Zp sao cho F(a) = 0 (mod p) và F'(a) ^ 0 (mod p) Khi đó tồn tại duy nhất

b e Zp là nghiệm của đa thức F(x) và b = a (mod p) ”

Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy ra được trên trường Qp , phương trình-x = 0 luôn có p nghiệm phân biệt a0,a1, ,ap_1 thoả aị =i (mod p) Các

nghiệm này tương ứng được gọi là các đại diện Teichmuller của 0,l, ,p-l

Nhận xét rằng các đại diện Teichmuller của 1,2, , p -1 là các căn bậc p -1 củađơn vị Hơn nữa nếu p > 2 thì các đại diện Teichmuller của 2,3, ., p -1 không là

số hữu tỉ

Với mỗi aeZn , tồn tai duy nhất môt đai diên Teichmuller a; sao cho

= a (mod p) Kí hiệu ĩu(a) = ai() được gọi là đại diện Teichmuller của a Khi đó

có thể kiểm tra được co(ab) = rữ(a)ĩn(b) và co(a + p) = Uĩ(a) Đặt

U = Zp = ỊxeZp I |x| = lj, D = l + qZp

, khi đó u là nhóm nhân các số nguyên p-dic khả nghịch

[p khi p=2

và D là nhóm con của u chứa tất cả các phần tử dạng 1 + qa , a e Zp Đặt

V = {±l} nếu p = 2, đặt V là nhóm cyclic gồm tất cả các căn bậc p -1 của đơn vị

nếu p > 2 Với mỗi a e u, ta dễ dàng chứng minh được xn(a) = a (mod q) do đó

(ĩn(a)) asl (mod q) Đặt <a > = (tn(a)) 1 a e 1 + qZp = D , khi đó ađược biểudiễn thành tích của nj(a) eV và < a >e D Rõ ràng cách biểu diễn này là duy nhất

nên u = V X D.

Q cz Qp và mọi căn đơn vị trong Qp đại số trên Q nên đều nằm trong Q Nhóm

V <z Qp có thể đồng nhất với nhóm nhân các căn bậc p - 1 của đơn vị trong

Q cz Qp ( nếu p > 2) hoặc là đồng nhất với nhóm nhân căn bậc hai của đơn vị

trong Q c= Qp (nếu p = 2) Vì vậy ta có thể xem tu(a) e c, tu(a) đại số trên Q

Khi đó ánh xạ m: a h-> ĩn(a) từ z —» c được gọi là đăc trưng Teichmuller

Trên trường Qp , nếu p > 2 thì căn bậc n của đơn vị tồn tại khi và chỉ khi

n = p -1, nghĩa là căn đơn vị trong Qp chỉ có thể là các đại diện Teichmuller khác

không, nếu p = 2 thì căn đơn vị chỉ có thể là 1 hoặc - 1 Trên trường Qp đóng

đại số nên tập căn bậc n của đơn vị gồm n số khác nhau

§2 CHUỒI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC.

Hàm chỉnh hình p-dic.

Trên trường con K của trường p-dic đóng đại số Qp, xét chuỗi vô hạn ^an , ta

nhận thấy ^ an hội tụ khi và chỉ khi lim an = 0

X —^CO00

Ta gọi bán kính hội tụ của f(x) = ^ anxn (an e Q ) là số thực được xác định

(0,r) = {xeK I I x| < r Ị Thương hai hàm chỉnh hình trên một tập mở nào đó

gọi là hàm phân hình trên tập mở đó

<||A|||d —» 0 khi n ^ GO.

Do đó A chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1) = Ịx E Qp I |x| < 1 Ị Nhưng hàm

chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc PR ■A(x)=^anxn, B(x) = ^ bnxn ta dễ dàng khẳng định

(P^,||.||) là đại số Banach trên trường K.

Giả sử {Ak} là dãy Cauchy bất kỳ trong (P K ,||.||),

logarithm p-adic.

log(xy) = logx + logy , V x,y e D

và logex = X, e ogx = X trong đó ex = V ——

_ n!

n=n

Bây giờ ta thác triên hàm logarithm p-adic từ log: D —»Qp thành

—* — —*log : Qp —» QD mà vẫn đảm bảo tính chỉnh hình Vx e Q v , giả sử |x| = pr với

với ĨU(XJ ) là đại diện Teichmuller tổng quát của Xị, <Xị> nằm trong quả cầu mở

B(l,l) = D Do đó x=Xpĩn(x1) < Xị > Đặt

00 /1x11

logx = log < X! >= 2 -— (< X1 > -!)n ,

n=l nkhi đó logx không phụ thuộc vào cách chọn nghiệm Xp và là hàm chỉnh hình trên

—* ■> ,

Đồng thời hàm này có các tính chất sau :

CHƯƠNG 2.

HỆ SÓ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC

Chương này không liên quan gì với p-adic Chúng tôi trình bày những kiến thức

về hệ số Bemoulli, đa thức Bemoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó địnhnghĩa hệ số Bemoulli tổng quát, đa thức Bemoulli tổng quát liên kết với các đặctrưng Dirichlet và L-hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet Một vài kếtquả mang tính hệ thống về tính chất của L-hàm phức chỉ được nêu ra không chứngminh Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1]

§1 HỆ SỐ BERNOULLI ĐA THỨC BERNOULLI.

, khai triển Taylor hàm F(t,x) theo biến

2.1.3 Đặc trưng Dirichlet.

tố cng nhau với f theo modulo f Mỗi đồng cấu nhóm X : (Z/fZ)* —> c* từ đến nhóm nhân các số phức khác không c* được gọi là một đặc trưng

R mg ảnh của X chỉ chứa những căn của đơn vị trong c, do đó ảnh của X chỉgồm các số phức đại số trên Q

Cho X là một đặc trưng Dirichlet theo modulo f Khi đó ta có thể định nghĩa

X': z —> c xác định bởi

jx(a + fZ) khi (a,f)=l[o khi (a,f)>lKhi đó x' cĩ cc tính chất

ii) X '(ab) = X '(a)x '(b), Va, b E z ;iii) x '(a) ^ 0 khi V chỉ khi (a,f) = 1

Ngược lại với mỗi ánh xạ x' • z —> c thỏa ba tính chất trên ta cũng xác định được

X theo modulo f : x(a + fZ) = x'(a), V a + fZe(Z/fZ) Do

đó ta có thể xem đặc trưng Dirichlet X theo modulo f 1 nh xạ X‘.z^>c thỏa mn

ba tính chất như tm

Cho x’ là một đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n là ước số của f Khi đó

ánh xạ X".z^c được xác định

x'(a) khi (a,f)=l

0 khi (a,f)> 1

là đặc trưng Dirichlet theo modulo f Ta nói đặc trưng X được cảm sinh từ đặc

trưng x’ Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f là nguyên thủy nếu không tồn

tại đặc trưng x’ theo modulo n với n < f sao cho X được cảm sinh từ x’ Khi đó f

được gọi là conductor của

X-Cho p 1 số nguyn tố, VaeZ, ĩu(a) eQp czc là đại diện Teichmuller của a

Dễ dàng chứng minh được ánh xạ ĨU : z —» c là đặc trưng Dirichlet nguyn thủy

Cho Xi, X2 là hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng là fj, f2 Khi

đó tồn tại duy nhất một đặc trưng nguyn thủy X với conductor f chia hết fjf2 saocho x(a) = Xi(a)X2(a), Vae z thoả (a, fif2)=l X được gọi là đặc trưng tích của Xỉ

và X 2 , kí hiệu X = X1-X2 Tập tất cả các đặc trưng Dirichlet nguyên thủy cùng vớiphép toán nhân ở trên lập thành nhóm Abel với

+ Đặc trưng đơn vị x° thoả x°(0) = 1, Va e z\{0} được gọi là đặc trưng tầmthường x° có conductor f 0 = 1

x(a) = X(N)ã(N)ã(a) = x(N)Õc(aN)

Cho đặc trưng nguyên thủy bất kỳ X với conductor f = fx > 1>

fvậy X đuợc cảm sinh từ đặc trung x' theo modulo — < f Điêu này mâu thuân với

ptính nguyên thủy của X -D

2.1.4 Hệ số Bernoulli tổng quát Đa thức Bernoulli tổng quát.

Cho đặc trưng X với conductor f = fx Khai triển Taylor của hàm số

at

— 1 L 1 a=l

và Bo,x = fZx(a) = 0

n=0 n!

được gọi là hệ số Bemoulli tổng quát thứ n > 0 Khai triển Taylor của

f y ( a ) te(a +x)t(t)ext = ^——y - tại t = 0, ta được

Gọi Q(x) là trường mở rộng của Q bởi các số đại số x(a), a = 1,2, ,f (nghĩa

là Q(x) = Q(x(l),x(2)>->xơ)) )• Rõ ràng Bnx e Q(x) là số đại số trên Q nên2.I.4.2 Nếu X = x° (f = 1) thì Fy(t) = F(t) và Fz(t,x) = F(t,x) nên Bn 0 = Bn và

Bn0 (x) = Bn(x) với n > 0 Bây giờ ta xét X * x° khi đó

(mod 2) (Ta sê chứng minh điều này dựa vào phuơng trình đặc trưng của L-hàm ở

n+I,x( )- n+I,x( - ) = (n + l)Jx(a)(a + X -f) , n > 0

f

= Zx(a)te'

a=

l f

f a=l f

= (n + !)Z x(a)an + (n + 1)X x(a)(a + f)n + +(n +1)£ x(a) (a + (k - l)f )n

= (n +1) zx(a)an + 2 x(a + f)(a + f )n + + 2 X (a + (k - l)f )(a + (k - l)f )n

§2 L-HÀM DIRICHLET PHỨC.

Trong § này chúng tôi trình bày L-hàm Dirichlet phức, hàm zeta và một sốtính chất của chúng Một vài chứng minh liên quan đến giải tích phức như phưougtrình đặc trưng của L-hàm phức, thặng dư của hàm phưc Fx(z)z_n_1, khôngđược chứng minh ở đây Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1]

Khái niệm hàm zeta và L-hàm.

00 ỊVới mỗi số phức s có Re(s) >1, chuỗi số <^(s) = ^— hội tụ đồng thời ợs)

n=l nchỉnh hình trên nữa mặt phang phức Re(s) >1 Hàm <^(s) có thể thác triển thành

hàm phân hình trên mặt phẳng phức

«*)=n

qeP

với p là tập tất cả các số nguyên tố Hàm £(s) được gọi là hàm zeta phức Hàm

này có một cực điểm đơn duy nhất s =1 với thặng dư bằng 1 (nghĩa làlim(s-l)«s) = i)

s—>1

00

Tổng quát hơn, cho X là đặc trưng Dirichlet, chuỗi L(s,x)= ^x(n)n_s hội tụ

n=i

tuyệt đối với Re(s) > 1 Khi đó L(s,x) là hàm chỉnh hình trên nữa mặt phang phức

Re(s) >1 và được gọi là L-hàm phức đối với đặc trưng X• Đặc biệt nếu X = x° thìL(s,x°) = «s) Hàm L(s,x) có thể được biểu diễn bằng tích vô hạn

L(s,x) = n(1-x(q)q”s) •

qeP

0 với Re(s) > 1 Nếu X * x°> L-hàm được biểu diễn bằng tích vô

hạn này chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức

00

Với s là số phức cho trước, tích phân suy rộng T(s) = I xs- 1e-xdx luôn hội tụ

r(l-s)sin7CSTiếp theo là một số tính chất cơ bản của L(s,x)

Vì L(n,x)^0, n>l nên B -*0, kết hợp với 2.1.4.2 và nếu X^XO’ ta c°

^0 nếu n = ôy (mod 2) và Bn = 0 nếu n * ôy (mod 2)

Cho X là đặc trưng khác đơn vị với conductor f, người ta chứng minh được công

thức

L(l,x) = “~ ỉ x(a)log(l-ra) vớif=fz, í = e“f\ (2.15)

a=l (a,f)=l

Với p là số nguyên tố, xét trên trường bao đóng đại số Qp của trường số p-dic

Qp Vấn đề quan trọng đặt ra là xây dựng một hàm p-adic được xem là tương tựp-dic của hàm L(s,x) Để giải quyết vấn đề này chúng tôi đưa ra một hàm phân

hình p-dic lấy giá trị gần giống với giá trị của L(s,x) tại s = 0, -1, -2, gọi là hàm p-dic Lp(s,x) • Một việc hết sức tự nhiên là tính giá trị của L-hàm tại s = 1,2,

L-3, đặc biệt tại s = 1 có một vai trò quan trọng trong lý thuyết số Trong chương

này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy adic để xây dựng các L-hàm adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L-hàm p-adic nàytại s = 1 và tại các điểm nguyên dương khác

p-§1 PHÉP NỘI SUY HÀM PHÂN HÌNH p-DIC.

Nội suy hàm phân hình p-dic nghĩa là tìm hàm phân hình f trên một đĩa mở nào

đó sao cho f(n) = bn với {bn J,n > 0 là dãy số p-dic trong Qp cho trước Neu tìmđược hàm phân hình p-adic thỏa điều kiện như trên thì dãy {bn},n > 0 gọi là dãynội suy p-adic Trong § này chúng ta tìm điều kiện của dãy {bn} ,n > 0 để tồn tại

hàm nội suy p-adic Trước hết chúng tôi xin nêu các bổ đề sau

Cho xeZ+ , X được biểu diễn X = ŨQ + dịp + + a N p N với 0<dị<p -1 ,

0 < i <N, a N ^ 0 Đặt s x = ƠQ + ciị + + a N (s x là tổng các chỉ sổ trong biểu diễn p-dic của x) Khỉ dó ord (x!) = ——— (3.1)

p-ì

Chứng minh Ta chứng minh bằng qui nạp theo n, với X = 1 hiển nhiên đúng,

giả sử ord (x!) =———, ta cần chứng minh ord ((x + 1)!) = x + ^—J ã cô

p-1

Xét hai trường họp sau

Nếu a0<p-l, x+1 có biểu diễn p-dic là (a0+l) + a1p + + aNpN nênordDp(x +1) = 0 và sx+1 = sx +1 suy ra ord ((x +y 1)!) = ——— = x + ^ —

Nếu a0,a2, ,aj =p-l,aj+1 < p-1 với 0 < j < N, X có khai triển p-dic nhu sau

X = (p-l) + (p-l)p + + (p-l)pj+aj+1pJ+1+ + aNpN nên x+1 có khai triểnp-dic là x +1 = (aj+1 + l)pJ+1 + + aNpN vì vậy ordp(x + l) = j + l và

Sx+1 = (aj+i + !) + •••+ aN

- a0 +ai +" + aj +aj+i + + aN +1“ (p — l)(j + l)

= sx+l-(p-l)(j + l)suy ra

Cho hai chuỗi luỹ thừa hình thức A(x),B(x) e K[[x]] hội tụ trong lân cận của

0 e Q p với K là trường mở rộng hữu hạn của Q p Giả sử A{Ẹ n ) = B(Ẹ n ) với thoả lim ệ n =0 Khi đó A(x) = B(x).

72—^00

00Chứng minh Gọi A(x)-B(x)= ^ cnxn , giả sử phản chứng A(x)^B(x), khi

= 1 Ta thấy là đa thức bậc n với hệ số của luỹ thừa X cao nhất

là — còn các hê số khác là số hữu tỉ có mẫu số tối giản chia hết n! Do đón!

3.1.5 Dịnh lý( Diều kiện cần để một dãy là dãy nội suy p-adic)

b n = ẳ

Cho dãy so p-adỉc {b n }, đăt c n = V(-l)n_ b k , r là sổ thưc sao cho

k=0 w

1

0<r<\p\ p , giả sử \c n \ < c.r n , \/n> 0, c>0 Khi đó tồn tại duy nhất

A(x) e P K tho ả mãn các tỉnh chất sau :

1

ỉ) hội tụ vón mọi ẽ, e Qp sao cho \ệ\ < với ĩị = \p\ P 1 r-1 > 1

ii) Với mọi n > 0, A(n) = bn

(P K ,||.||) Giả sử lim Ak = A trong (P K ,||.||), ta chứng minh A(x) là hàm số

(n) Hơn nữa, với k > n,

Cho X là đặc trung Dirichlet với conductor f, là đặc trung Teichmuller Dễ

dàng chứng minh đuợc là đặc trung Dirichlet có conductor là q ( với m, q đã

được xác định trong mục 1.1.2) Với mỗi số nguyên n, Xn = X TO_ nlà một đặctrưng Dirichlet Conductor fn của Xn là ước của fq, vì X = Xn^11 ưên f là ước của

fnq Do đó fn và f sai khác một thừa số là luỹ thừa của p tức là fn = pmf vớimeZ Với mọi a e z, (a, p) = 1, ta có (a,fn) = (a,f), Xn( a ) - 5C(a)tn(a)-n •

Gọi K = Qp(x) là trường mở rộng của trường Qp bởi tất cả các sốx(a), a e z Vì x(a) e G <z Qp, Va e z và tập Ịx(a) I a E zj chỉ gồm hữu hạn

phân tử nên K là mở rộng hữu hạn của Qp trong Qp

, Bn y , ,

Như ta đã biêt L(l-n,x) = -— e Q(x) là các sô đại sô trên Q nên ta xem

nchúng thuộc Qp Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình p-adic f sao cho

n =0

— = L(l-n,%), n > 0 hay không ? Rất tiếc dãy ] -—Ikhông

phải là dãy nội suy p-adic Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một chút để có được

dãy nội suy p-adic Cụ thể ta có định lý sau

(Định lý xây dựng L - hàm p-adic).

Tồn tại duy nhất hàm phân hình p-dỉc L p {s,ỵ) thoả mãn các tính chất sau :

ỉ) L p (s,ỵ ) có thế được khai trỉến thành chuỗi hàm luỹ thừa

L p (s,z)=^j-+f t a n (s-ì) n , a n G<Q p (z) (3.4)

1 khi z=z°

với a_ị = < p

0 khi X * X Chuỗi hàm luỹ thừa trên hội tụ trong miền

(3.7)

' (theo công thức (2.7))

i=oV J

^Ỵn + rii=ov 1 7

n-l-i

BijJtx n-1-i

=> Bn+loc(x)-Bn+ 1 > 3 C(0) =(n + l)Bn>xx+x'Hơn nữa Sn x (phf) = —Bn+1 x (phf) - Bn+1 x (0) (theo công thức(2.10))