b Gọi số lập được là abcde Do số đó chia hết cho 5 nên có 1 cách chọn e.. Do số chữ số chẵn và số chữ số lẻ bằng nhau nên tương ứng với mỗi cách trên có 5 cách chọn chữ số cuối... b Gọi
Trang 1Ví dụ 1: (ĐVH)
a) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
Ví dụ 2: (ĐVH)
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
Ví dụ 3: (ĐVH) Cho X ={0,1, 2,3, 4,5 } Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số
đó không chia hết cho 3
Ví dụ 4: (ĐVH) Cho A={0,1, 2, 3, 4,5 } Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho tổng hai chữ số đầu nhỏ hơn tổng hai chữ số sau 1 đơn vị
Ví dụ 5: (ĐVH) Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn
a) gồm có 6 chữ số
b) gồm có 6 chữ số khác nhau
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2
Lời giải:
a) Gọi số đó là a a a a a a1 2 3 4 5 6
⇒ Có 6.6.6.6.6.6=46656 số thỏa mãn
b) Gọi số đó là a a a a a a1 2 3 4 5 6
⇒ Có 6!=720 số thỏa mãn
c) Gọi số đó là a a a a a a1 2 3 4 5 6
Chọn a có 3 cách 6
Chọn a a a a a1 2 3 4 5 có 5! cách
⇒ Có 3.5!=360 số thỏa mãn
Ví dụ 6: (ĐVH) Với 5 chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Gồm 2 chữ số?
b) Gồm 2 chữ số khác nhau?
c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
Lời giải:
a) Gọi số đó là a a1 2
⇒ Có 5.5=25 số thỏa mãn
b) Gọi số đó là a a1 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM CƠ BẢN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2⇒ Có A52 =20 số thỏa mãn
c) Gọi số đó là a a1 2
Chọn a có 3 cách chọn 2
Chọn a có 5 cách chọn 1
⇒ Có 3.5=15 số thỏa mãn
d) Gọi số đó là a a1 2
Chọn a có 2 cách chọn 2
Chọn a có 4 cách chọn 1
⇒ Có 2.4=8 số thỏa mãn
e) Gọi số đó là a a a a a1 2 3 4 5
⇒ Có 5! 120= số thỏa mãn
f) Gọi số đó là a a a a a1 2 3 4 5
Chọn a có 1 cách 5
Chọn a a a a1 2 3 4 có 4! cách
⇒ Có 1.4!=24 số thỏa mãn
Ví dụ 7: (ĐVH) Từ 6 số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a) Khác nhau?
b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
Lời giải:
Gọi số đó là a a a1 2 3
a) Chọn a có 5 cách 1
Chọn a a2 3 có 2
5
A cách
⇒ Có 5.A52 =100 số thỏa mãn
b) TH1: a1 =3
Chọn a có 5 cách 2
Chọn a có 4 cách 3
⇒ Có 5.4=20 số thỏa mãn
TH2: a1∈{ }4;5
Chọn a có 2 cách 1
Chọn a a2 3 có A cách 52
⇒ Có 2.A52 =40 số thỏa mãn
Vậy có 20+40=60 số thỏa mãn
c) TH1: a3 =0
Chọn a a1 2 có A cách 52
⇒ Có A52 =20 số thỏa mãn
TH2: a3 =5
Chọn a có 4 cách 1
Trang 3Chọn a có 4 cách 2
⇒ Có 4.4=16 số thỏa mãn
Vậy có 20 16+ =36 số thỏa mãn
d) TH1: a3 =0
Chọn a a1 2 có A cách 52
⇒ Có A52 =20 số thỏa mãn
TH2: a3∈{ }2; 4
Chọn a có 2 cách 3
Chọn a có 4 cách 1
Chọn a có 4 cách 2
⇒ Có 2.4.4=32 số thỏa mãn
Vậy có 20+32=52 số thỏa mãn
e) Có 100−52=48 số thỏa mãn
Ví dụ 8: (ĐVH) Từ các số: 1; 2; 3; 4; 5;6 ;7; 8
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải:
a) Gọi số lập được là abcdef
Có 8 cách chọn số ở vị trí a
Với mỗi cách đó, có 7 cách chọn số ở vị trí b
Với mỗi cách đó, có 6 cách chọn số ở vị trí c
Với mỗi cách đó, có 5 cách chọn số ở vị trí d
Với mỗi cách đó, có 4 cách chọn số ở vị trí e
Với mỗi cách đó, có 3 cách chọn số ở vị trí f
Vậy số cách lập là 8.7.6.5.4.3 = 20160
b) Gọi số lập được là abcde
Do số đó chia hết cho 5 nên có 1 cách chọn e
Khi đó có 7 cách chọn a
Với mỗi cách đó, có 6 cách chọn b
Với mỗi cách đó, có 5 cách chọn c
Với mỗi cách đó, có 4 cách chọn d
Vậy số cách lập là: 1.7.6.5.4 = 840
Ví dụ 9: (ĐVH) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ?
Lời giải:
Với 10 chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Có 9 cách chọn chữ số đầu
Từ vị trí thứ 2 đến thứ 6 mỗi vị trí có 10 cách chọn
Do số chữ số chẵn và số chữ số lẻ bằng nhau nên tương ứng với mỗi cách trên có 5 cách chọn chữ số cuối Vậy ta lập được 9.10 55 =4500000 số
Ví dụ 10: (ĐVH) Cho X ={0,1, 2,3, 4, 5, 6}
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một?
b) Có bao nhiêu chữ số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9
Trang 4Lời giải:
a) Gọi số lập được là abcd
- Số cách lập số có 4 chữ số khác nhau:
Có 6 cách chọn a Với mỗi cách chọn a có 6 cách chọn b Với mỗi cách chọn b có 5 cách chọn c Với mỗi cách chọn c có 4 cách chọn d
⇒ Tổng số cách lập số có 4 chữ số khác nhau đôi một là 6.6.5.4 = 720
- Số cách lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau:
Có 3 cách chọn d Với mỗi cách chọn d có 5 cách chọn a Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b Với mỗi cách chọn b có 4 cách chọn c
⇒ Số cách lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau đôi một là 3.5.5.4 = 300
Suy ra số cách lập số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một là 720 – 300 = 420
b) Gọi số lập được là abc
Số cách lập số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5:
Có 2 cách chọn c Với mỗi cách chọn c có 5 cách chọn a.Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b
⇒ Suy ra số cách lập số có 3 chữ số chia hết cho 5 là 2.5.5=50
c) Ta có: 1 2 6 1 3 5+ + = + + = + + = + + = + +2 3 4 3 0 6 4 0 5
- Với mỗi nhóm: (1, 2, 6), (1,3,5) và (2,3, 4) ta lập được 6 số chia hết cho 9 ⇒ Tổng là 6.3 = 18 số
- Với nhóm (3, 0, 6) hoặc (4, 0,5) ta lập được: 4 số chia hết cho 9 ⇒ Tổng là 4.2 = 8 số
Vậy ta có thể lập 18 + 8 = 26 số chia hết cho 9
Ví dụ 11: (ĐVH) Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
b) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
c) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau?
d) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau?
Lời giải:
Kí hiệu T ={0; 1; 2; ; 9 }
a) Số cần tìm có dạng ab trong đó a≠0 và b là số tự nhiên chẵn
+) Chọn b từ tập {0; 2; 4; 6; 8}⇒b có 5 cách chọn
+) Chọn a có 9 cách chọn (trừ số 0)
Theo quy tắc nhân thì có 5.9=45 số thỏa mãn
b) Số cần tìm có dạng ab trong đó a≠0 và b là số tự nhiên lẻ
+) Chọn b từ tập {1; 3; 5; 7; 9}⇒b có 5 cách chọn
+) Chọn a có 9 cách chọn (trừ số 0)
Theo quy tắc nhân thì có 5.9=45 số thỏa mãn
c) Số cần tìm có dạng ab trong đó a≠0; b là số tự nhiên lẻ và a, b phân biệt
+) Chọn b từ tập {1; 3; 5; 7; 9}⇒b có 5 cách chọn
+) Chọn a có 8 cách chọn (trừ b và số 0)
Theo quy tắc nhân thì có 5.8=40 số thỏa mãn
d) Số cần tìm có dạng ab trong đó a≠0; b là số tự nhiên chẵn và a, b phân biệt
Trang 5• TH1 b=0 khi đó chọn a có 9 cách chọn nên sẽ có 9 số thỏa mãn
• TH2 b≠0 khi đó ta chọn b từ tập {2; 4; 6; 8}⇒b có 4 cách chọn
Chọn a có 8 cách chọn (trừ b và số 0)
Theo quy tắc nhân thì có 4.8=32 số thỏa mãn
Tóm lại, theo quy tắc cộng có tất cả 9 32+ =41 số thỏa mãn
Ví dụ 12: (ĐVH) Cho tập hợp A{1; 2;3; 4;5; 6}
a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau hình thành từ tập A?
b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
c) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải:
a) Số cần tìm có dạng abcd trong đó a≠0 và a, b, c, d đôi một khác nhau
+) Chọn a có 6 cách chọn
+) Chọn b có 5 cách chọn (trừ a)
+) Chọn c có 4 cách chọn (trừ a và b)
+) Chọn d có 3 cách chọn (trừ a, b, c)
Theo quy tắc nhân thì có 6.5.4.3=360 số thỏa mãn
b) Số cần tìm có dạng abc trong đó a≠0; c chia hết cho 2 và a, b, c đôi một khác nhau
+) Chọn c từ tập {2; 4; 6}⇒c có 3 cách chọn
+) Chọn a có 5 cách chọn (trừ c)
+) Chọn b có 4 cách chọn (trừ c và a)
Theo quy tắc nhân thì có 3.5.4=60 số thỏa mãn
c) Số cần tìm có dạng abcde trong đó a≠0; e chia hết cho 5 và a, b, c, d, e đôi một khác nhau
+) Chọn e có 1 cách chọn (là số 5)
+) Chọn a có 5 cách chọn (trừ e)
+) Chọn b có 4 cách chọn (trừ e, a)
+) Chọn c có 3 cách chọn (trừ e, a, b)
+) Chọn d có 2 cách chọn (trừ e, a, b, c)
Theo quy tắc nhân thì có 1.5.4.3.2 120= số thỏa mãn
Ví dụ 13: (ĐVH) Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có bao nhiêu số tự nhiên:
a) Chẵn có 4 chữ số khác nhau?
b) Có 4 chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5?
c) Lẻ có 5 chữ số khác nhau
Lời giải
Trang 6a) Gọi số cần tìm có dạng abcd a,( ≠0)
TH1 Số d = 0, khi đó a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn Theo quy tắc nhân, có 6.5.4
= 120 số
TH2 Số d = { 2; 4; 6 }, tức là d có 3 cách chọn Khi đó chọn a sao cho a khác 0 và khác d vậy nên a có 5
cách chọn Chọn b sao cho b khác a,d nhưng có thể bằng 0 nên b có 5 cách chọn Chọn c khác a,b,d nên c
có 4 cách chọn Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3 = 300 số
Vậy có 120 + 300 = 420 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Gọi số cần tìm có dạng abcde
Vì abcde là số lẻ nên e = {1; 3; 5}, tức là e có 3 cách chọn
Khi đó chọn a sao cho a khác 0 đồng thời khác e nên a có 5 cách chọn
Chọn b sao cho b khác a,e nhưng có thể bằng 0 nên b có 5 cách chọn
Chọn c khác a,b,e nên c có 4 cách chọn
Chọ d khác a,b,c,e nên d có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3.3 = 900 số cần tìm
d) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau có mặt chữ số 5 và 4
chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5
Xét các số gồm 4 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5 Gọi số cần tìm có dạng acbd Khi đó a có 5 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3 = 300 số Xét các số gồm 4 chữ số khác nhau Gọi số cần tìm có dạng acbd Khi đó a có 6 cách chọn, b có 6 cách chọn, c có 5 cách chọn, d có 4 cách chọn Theo quy tắc nhân, có 6.6.5.4 = 720 số
Do đó có 720 – 300 = 420 số cần tìm
Ví dụ 14: (ĐVH) Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải a) Gọi số cần tìm có dạng abcdef
Theo giả thiết, các chữ số đôi một khác nhau và , , , , ,a b c d e f =1,8
Do đó có 8 cách chọn a , 7 cách chọn b , 6 cách chọn c , 5 cách chọn d , 4 cách chọn e , 3 cách chọn f
Nên theo quy tắc nhân, sẽ có 8.7.6.5.4.3=20160 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Gọi số cần tìm có dạng abcde
Vì abcde chia hết cho 5 nên e=5 Bài toán quy về dạng Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8
Theo quy tắc nhân, dễ dàng thấy có 7.6.5.4=860 số thỏa mãn yêu cầu bài toán