SỬ DỤNG HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Trong bài viết này tôi đưa ra một số ứng dụng của hệ thặng dư đầy đủ trong một số bài toán
Trang 1SỬ DỤNG HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM
TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
Trong bài viết này tôi đưa ra một số ứng dụng của hệ thặng dư đầy đủ trong một số bài toán đếm liên quan đến tổ hợp số học Các bài toán này có thể giải quyết theo một số hướng khác nhưng chúng tôi thấy rằng việc sử dụng kiến thức về hệ thặng dư đầy đủ làm cho lời giải được tự nhiên hơn và gần gũi với kiến thức và nhận thức của học sinh
Hệ thặng dư đầy đủ Cho số nguyên dương m>1 Khi đó tập hợp các số nguyên {a a1, , ,2 a m} được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ mod m nếu thỏa mãn điều kiện a i ≡ a j(modm),∀ ≠i j i j; , ∈{1,2, ,m}
Nhận xét Nếu {a a1, , ,2 a m} là hệ thặng dư đầy đủ mod m thì với mọi số nguyên x, tồn tại i∈{1,2, ,m} sao cho x a≡ i(modm)
Bổ đề Cho số nguyên a a m,( , )=1 và {a a1, , ,2 a m} là hệ thặng dư đầy đủ
mod m Khi đó {aa aa1, 2, ,aa m} là hệ thặng dư đầy đủ mod m
Bổ đề này chứng minh rất dễ dàng và ta thấy phát biểu của nó của khá đơn giản nhưng có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán đếm liên quan đến phần số học tổ hợp Sau đây ta bắt đầu từ bài toán 1, đây là bài toán rất quan trọng liên quan đến tính chất chia hết của tổng các phần tử của các tập hợp con của một tập hợp
Bài toán 1 Cho p là một số nguyên tố và tập hợp A={1,2, ,p}; ,i k là các số
tự nhiên thỏa mãn 0≤ ≤ −i p 1, 1≤ ≤ −k p 1 Chứng minh rằng số các tập con gồm k phần tử của tập A và tổng các phần tử của mỗi tập con đó ≡i(modp)
bằng
k
p
C
p
Lời giải
Kí hiệu A i là tập hợp các tập con có k phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con ≡i(mod p) Xét hai số tự nhiên phân biệt m n, ∈{0,1,2, ,p−1} Xét {a a1, , ,2 a k}∈A n Do (k p, )=1 nên {kx x=0,1, 2, ,p−1} là hệ thặng dư đầy
đủ mod p suy ra tồn tại số nguyên c∈{0,1,2, ,p−1} sao cho kc m n≡ − (modp) Xét tập hợp {a1+c a, 2+c, ,a k +c}, ta có
a + +c a + + +c a + = +c a a + +a +kc n m n m≡ + − ≡ p
Trang 2Suy ra {a1+c a, 2+c, ,a k +c} tương ứng với một phần tử trong tập A m Do đó
−
Vậy bài toán 1 được chứng minh
Sau đây ta đưa ra một số bài toán ứng dụng của bài toán 1 Đầu tiên ta xét bài toán Problem 6, IMO 1995 Đây là bài toán khó và sâu sắc, có một số lời giải bài toán này theo hướng sử dụng số phức, phân lớp tập hợp… nhưng dưới đây tôi xin đưa ra một lời giải dựa vào bài toán 1 và cũng dựa vào bài toán 1 để đưa ra lời giải tổng quát cho bài toán này
Bài toán 2 (IMO 1995) Cho p là một số nguyên tố lẻ và tập hợp
{1,2, ,2 }
X = p Tìm số tập con gồm p phần tử của tập X sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con chia hết cho p ?
Lời giải
Do p là số nguyên tố lẻ nên ( 1)
1 2
2
p p
+ + + = M và
1 2 2
2
p p
+ + + + + = + M suy ra hai tập hợp {1,2, , p} và
{p+1,p+2, ,2p} là hai tập thỏa mãn có p phần tử và tổng các phần tử chia hết cho p
Xét tập hợp A A, = p và 0 mod( )
x A
∈
≡
∑ , A≠{1,2, ,p} {, p+1,p+2, ,2p}
Giả sử trong A có k phần tử được chọn từ {1,2, , p} và tổng các phần tử này
≡ thì p k− phần tử còn lại phải được chọn từ tập {p+1,p+2, ,2p} và tổng p k− phần tử này phải ≡ −p i(mod p) Như vậy theo bài toán 1 thì mỗi cách chọn k phần tử thuộc tập {1,2, , p} thì số cách chọn p k− phần tử còn lại của A bằng
−
= Do đó số cách chọn tập A A, = p và 0 mod( )
x A
∈
≡
{1,2, , } {, 1, 2, ,2 }
( ) ( )0 2 1 2 ( )2
1
2 1
p
k
−
=
∑
Do đó số các tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Trang 32 2
2
p p
C p
− +
Bài toán 3 (Mở rộng IMO 1995) Cho p là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương m≥ p và tập X ={1,2, ,m} Tìm số tập con gồm p phần tử của tập X
sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con chia hết cho p ?
Lời giải
Đặt m pq r,0 r p q m
p
⎡ ⎤
= + ≤ < ⇒ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦ Chia tập X thành các tập như sau :
1 1,2, ,
2 1, 2, ,2
A = p+ p+ p
…
{ 1 1, 1 2, , }
q
A = q− p+ q− p+ pq
1 1, 2, ,
q
A+ = pq+ pq+ pq r+
Do p là số nguyên tố lẻ nên A A1, 2, ,A q là các tập thỏa mãn yêu cầu bài toán Xét tập hợp A A≠ i,∀ =i 1, 2, ,q thỏa mãn yêu cầu bài toán, dễ thấy A≠ A q+1 Tập hợp A gồm có i1+ + +i2 i q+1= p phần tử gồm i k phần tử thuộc tập , 1, 2, , 1
k
A k= q+ , kết hợp với A A≠ i,∀ =i 1, 2, ,q nên 0≤i i1, , ,2 i q+1< p
Theo bài toán 1 thì số tập hợp A bằng
1
0 1 2, , , 1
0 1 2, , , 1
q q
i i i q p
q
i i i q p
i i
i i
i i i p
C
+
+
+
− ⎢ ⎥
∑
∑
Vậy số tập thỏa mãn yêu cầu bài toán là :
q
−⎢ ⎥⎣ ⎦+ = −⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦
+ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Trang 4Bài toán 4 (Baltic Way 2014) Cho p là một số nguyên tố và n là một số nguyên dương Tìm số bộ sắp thứ tự (a a a a1, , ,2 3 4) thỏa mãn
1, , ,2 3 4 0,1,2, , n 1
a a a a ∈ p − và p a a n ( 1 2+a a3 4 +1) ?
Lời giải
Nhận xét Nếu (x p, )= ⇒1 (x p, n)= ⇒1 {x k k =0,1, 2, ,p n−1} là hệ thặng dư đầy đủ mod p n
Th1 Nếu a1 ≡ 0 mod( p) và với mỗi cách chọn a a3, 4 thì tồn tại duy nhất một số
2 0,1,2, , n 1
a ∈ p − thỏa mãn p n (a a1 2+a a3 4+1) Do đó số bộ sắp thứ tự
(a a a a1, , ,2 3 4) trường hợp này là số cách chọn a1 ≡ 0 mod( p) và
3, 4 0,1,2, , n 1
a a ∈ p − suy ra số bộ là : ϕ( )p n p p n n = p3n− p3 1n−
Th2 Nếu a1 ≡0 mod( p)⇒a a3, 4 ≡ 0 mod( p) và với mỗi cách chọn
3 0 mod , 2 0,1,2, , n 1
4 0,1, 2, , n 1 , 4 mod
a ∈ p − a ≡ p thỏa mãn p n (a a1 2+a a3 4+1) Do đó số bộ sắp thứ tự (a a a a1, , ,2 3 4) trường hợp này là số cách chọn a1 ≡0 mod( p) và
3 0 mod , 2 0,1,2, , n 1
a ≡ p a ∈ p − suy ra số bộ là :
( )
(p n −ϕ p n ) .p nϕ( )p n = p3 1n− − p3n− 2
Do đó số bộ sắp thứ tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
p − p − + p − − p − = p −p −
Bài toán 5 (Canada Mathematical Olimpiad 2014) Cho p là một số nguyên
tố lẻ Tìm số bộ số nguyên, sắp thứ tự (a a1, , ,2 a p) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
(1) a a1, , ,2 a p∈{0,1,2, ,p−1} ;
(2) a1+a2 + + a p không chia hết cho p ;
(3) a a1 2+a a2 3+ + a a p−1 p +a a p 1 chia hết cho p
Lời giải
Trang 5Kí hiệu A i i, =0,1, ,p−1 là tập hợp các bộ sắp thứ tự (a a1, , ,2 a p) thỏa mãn điều kiện (1), (2) và thỏa mãn a a1 2+a a2 3+ + a a p−1 p+a a p 1 ≡i(modp)
Xét bộ (a a1, , ,2 a p)∈A i
Do (2(a1+a2+ + a p),p)= ⇒1 {2(a1+a2 + + a k k p) =0,1, ,p−1} lập thành một hệ thặng dư đầy đủ suy ra với mỗi số j∈{0,1, ,p−1} thì tồn tại số
{0,1, , 1}
c∈ p− sao cho 2(a1+a2+ + a c p) ≡ −j i(modp)
Xét bộ (a1+c a, 2+c, ,a p +c), ta thấy bộ này thỏa mãn điều kiện (2) Tiếp theo
ta kiểm tra điều kiện (3),
(a1+c a)( 2 + +c) (a2+c a)( 3+ + +c) (a p+c a) ( 1+c)
Suy ra (a1+c a, 2 +c, ,a p +c) thỏa mãn điều kiện (2), (3) Do đó, bằng cách xét theo mod p thì mỗi bộ (a1+c a, 2+c, ,a p +c) tương ứng với một bộ thuộc A j
p
−
−
A + A + + A − là số bộ (a a1, , ,2 a p) thỏa mãn điều kiện (2), dễ thấy số bộ này bằng p p− 1(p−1), kết hợp với (*) ta có
1
0
1
p
−
Vậy số bộ cần tìm bằng p p− 2(p−1)
Bài toán 6 Cho p là một số nguyên tố lẻ Tìm số bộ số nguyên sắp thứ tự
(a a1, , ,2 a p) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
(1) a a1, , ,2 a p∈{0,1,2, ,p−1} ;
(2) a1+a2 + + a p không chia hết cho p ;
a +a + +a chia hết cho p
Lời giải
Trang 6Kí hiệu A i i, =0,1, ,p−1 là tập hợp các bộ sắp thứ tự (a a1, , ,2 a p) thỏa mãn điều kiện (1), (2) và thỏa mãn 2 2 2 ( )
a +a + +a ≡i p Xét bộ (a a1, , ,2 a p)∈A i
Do (2(a1+a2+ + a p),p)= ⇒1 {2(a1+a2 + + a k k p) =0,1, ,p−1} lập thành một hệ thặng dư đầy đủ suy ra với mỗi số j∈{0,1, ,p−1} thì tồn tại số
{0,1, , 1}
c∈ p− sao cho 2(a1+a2+ + a c p) ≡ −j i(modp)
Xét bộ (a1+c a, 2+c, ,a p +c), ta thấy bộ này thỏa mãn điều kiện (2) Tiếp theo
ta kiểm tra điều kiện (3),
a +c + a +c + + a +c
Suy ra (a1+c a, 2 +c, ,a p +c) thỏa mãn điều kiện (2), (3) Do đó, bằng cách xét theo mod p thì mỗi bộ (a1+c a, 2+c, ,a p +c) tương ứng với một bộ thuộc A j
Từ đó suy ra A0 A1 A p 1 A0 A1 A p 1
p
−
−
A + A + + A − là số bộ (a a1, , ,2 a p) thỏa mãn điều kiện (2), dễ thấy số bộ này bằng p p−1(p−1), kết hợp với (*) ta có
1
0
1
p
−
Vậy số bộ cần tìm bằng p p−2(p−1)
Bài toán 7 (Mở rộng Canada Mathematical Olimpiad 2014) Cho p là một
số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n Tìm số bộ số nguyên, sắp thứ tự
(a a1, , ,2 a p) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
(1) a a1, , ,2 a p∈{1,2, ,np};
(2) a1+a2 + + a p không chia hết cho p;
(3) a a1 2+a a2 3+ + a a p−1 p +a a p 1 chia hết cho p
Trang 7Bài toán 7 hoàn toàn tương tư bài toán 5
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán rời rạc,
NXB Giáo dục, 2008
[2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc và một số vấn đề liên quan, Tài
liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội
[3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK -
ĐHQG TP Hồ Chí Minh
[4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese
Maththematical Olympiad (1962 - 2009), World Scientific
[5] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA
[6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates,
Birkhauser
[7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer
[8] Titu Andreescu and Zuming Feng 102 combinatorial problems from the
training of the USA IMO team
[9] Các nguồn tài liệu từ internet
www.mathlinks.org; www.imo.org.yu